【转帖】小学数学学科核心素养及其培育的基本路径
今天忙于中考阅卷筹备事宜，无睱留意文字。转贴网络上看到的一篇不错的文章。
小学数学学科核心素养及其培育的基本路径
曹培英
(上海市静安区教育学院，上海200040)
摘要：小学数学学科核心素养体系由两个层面（数学思想方法、数学内容领域）、六项素养（抽象、推理、模型、运算能力、空间观念、数据分析观念）构成。落实数学学科核心素养培育的基本路径有：基础性内容不同领域各有侧重的培育路径，综合性、拓展性内容专题教学的培育路径。两条路径都可采取从整体到局部"上挂下联"的教学落实对策。
一、小学数学学科的核心素养
(—)何为学科核心素养
关于核心素养，北京师范大学林崇德教授领衔的课题组在中国学生发展核心素养的总体框架中已有普适性界定。关于学科核心素养，目前尚处于探索阶段，现在给出学科核心素养的定义还为时过早。
可以借鉴数学对于不加定义的"原名"，用公理刻画其特征的方法，暂且将学科核心素养视为"原名"，寻找它必须具备且容易达成共识的特征，来刻画学科核心素的内涵。
已有一些趋同的认识，可以给我们带来启发。例如："素养"比"能力"含义更为广泛；素养是知识、能力、态度的整合。又如：核心素养具有整体性、综合性和系统连贯性，是所有人为了适应个人终身发展和社会发展都需要的必备素养，是各种素养中最关键、最重要的共同素养；核心素养应当少而精，有必要将核心素养与由核心素养衍生出来的其他素养区别开来。
在此基础上，经反复研究、筛选，笔者认为，一门学科的核心素养必须同时满足以下三个特征（也可以说是"条件"或"辨别标准"):其一，必须体现学科本质。真正处于学科核心位置的素养必然反映了学科的本质，这是学科核心素养非常显然的也是最为基本的特征。其二，必须具有普适性意义。有必要澄清，学科核心素养不是针对学科专业人才的特殊需要，而是适用于普遍情境和所有人的共同素养，因而必须具有普适性的意义。其三，必须承载不可替代的学科育人价值。某一学科的核心素养常常会在其他学科中也有表现，但本学科具有其他学科无法企及的培育优势。[1]
以抽象素养为例。首先,数学的—切研究对象都是抽象得来的，没有抽象就没有数学，也没有数学的学习。所以抽象是数学本质的思想之—.也是数学核心的能力之一。其次，数学的抽象，它的大众化的意义在于，人人都需要从数与形的视角去观察、认识周围的事物。也就是说，面对人类赖以生存的客观世界，人人都需要数学的眼光。再次，无论是文科还是理科，凡是理论知识都有不同程度的抽象性，但是数学抽象的与众不同（撤开事物各种质的属性，纯粹研究事物数量关系和空间形式），决定了只有数学学科才能胜任这种抽象思维能力的培养任务。
且不说数学抽象的层次性、理想化、形式化、符号化对发展学生抽象思维具有其他学科难以比拟的作用与贡献，仅当儿童从现实世界形态各异、异彩纷呈的事物中抽取共同的量或形的属性时，他们就已经得到了从考察对象中分离多种属性，提取本质属性，排除各种非本质属性干扰等一系列的以抽象为主线的思维训练。[2]
事实上，每一位数学教师都知道，学习数学离不开抽象，反过来数学学习又能有效地发展学生的抽象能力，这已被无数次实践所证实。这里只是在理论层面上，阐述将抽象确立为小学数学学科核心素养的依据。
(二）小学数学学科核心素养体系的架构
基于以上认识，结合长期的实践性研究，笔者经过多次提炼、修改，提出了小学数学学科核心素养体系的一个初步框架。该框架由两个层面、六项素养组成，可借用空间三棱台模型加以直观呈现:[1]
图1
上面已经简要论述了"抽象"满足学科核心素养的三项要求，其他五个素养均为《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的核心词（又被称作"核心概念"),已有大量的理论与实践的研究，直接或间接地论证了这些素养符合上述三项辨别标准。
还有必要指出以下三点。
其一，《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十个核心词，只有"创新意识"未出现在上述框架里。其主要原因在于，早在1999年中共中央国务院《关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》中就明确提出："实施素质教育……以培养学生创新精神和实践能力为重点。”既然两个重点，课标只取其一，且培养创新精神是中小学所有学科的共同目标，不是数学学科所特有的，那么，不特别列出也要予以足够重视。[1]再者，数学思想方法层面的三大核心素养，是创新精神的学科体现与具体落实。
其二，为什么数学思维、数学交流、数学问题解决未出现在上述框架中。确实，思维、交流与问题解决在数学学科中占据非常突出的地位。但笔者认为，它们都是通用能力。学科核心素养不是"复述"泛学科的共同核心素养，不是学科名称加素养名称的组合（如数学交流），而是本学科独有的对形成共同核心素养具有不可替代贡献的素养。上述六项核心素养都是数学的思维，它们联结在一起共同发挥作用的主要表现形态就是交流与问题解决。换句话说，交流与问题解决是数学六项核心素养综合的衍生素养。
其三，在这个框架里，符号意识、应用意识、几何直观及数感都被视为由核心素养衍生而来的素养。这里略作阐明。数学抽象的主要表征形态是数学的符号，数学符号是数学抽象思维的外壳。一般认为数学语言有三种形态（文字语言、符号语言、图形语言），而最本质的就是符号语言，因此符号意识是数学抽象的衍生素养。数学的模型思想与建模能力，是沟通数学与外部联系的桥梁，是数学应用的关键，它与数学的应用意识相伴而生、如影随形、难以分割。换句话说，模型思想包含应用意识。小学生对于数学的直观感知、直观理解与直观思考，主要依赖生活经验直观与几何直观，其中的几何直观离不开空间观念的基础，主要表现为数形结合。可以说没有一定的空间观念，就没有任何的几何直观。运算能力虽不能完全涵盖数感，但毕竟是小学生数感的重要生成渠道和主要表现途径之一。下面稍加展开。
一般认为，数概念的形成先于运算能力的形成。但事实上在自然数1的基础上，认识2、3及后继各数，都伴随着1的累加；再到认识更大的数，比如认识10000，既是1000、1000地数，累加生成10000,也有1000×10在起作用。
类似地，数的现实意义直观作用的阶段性，以及运算、推理对于数感支撑作用的持续性，也反映在认识小数、分数的教学中。比如，由1推出小数的计数单位0.1、0.01.0.001,还能依靠直观，继续推，就要借助除以10了。
再看数感在运算中的表现。
面对计算360×0.125与120÷25%的任务，多数学生实际选择的算法是口算360÷8与120×4。为什么会有如此的自动反应？除了源于分数乘除运算意义的理解，无疑还有数感在起作用。
又如，解决"谁发送信息更快"问题，条件如下表：
当比较小亚与小玲的快慢时，学生都知道根据已知条件计算每分钟各发送多少个字母。多数学生笔算除法，少数同学采用估算得出结论：小亚每分钟超过90个，小玲每分钟不到90个。学生的估算思考即推理过程用算式表示：
因为570÷6>540÷6=90，
672÷8<720÷8=90,
所以570÷>672÷8。
这里，学生自觉地把570估成540，把672估成720，显然是由乘法口块衍生而来的乘法运算中数感的典型表现。
此外，小学阶段数运算教学的课时数远大于数概念教学的课时数，数运算的应用机会也远大于单纯数概念的应用机会，这些都是将数感归属于运算能力的有力论据。
二、落实学科核心素养培育的基本路径与对策分析
如何落实数学学科核心素养的培育？热潮之下的实践必须脚踏实地。鉴于教育改革进程中多次出现理论宣传"疾风暴雨""惊涛骇浪"，课堂教学"波满不惊""风平浪静"，教训与经验归结为一点，前瞻性的实践路径研究很有必要。
(—)基础性内容不同领域各有侧重的培育路径
如前所述，数学学科第一层面的核心素养体现了数学最本质、最基本的思想方法，反映了数学对事物的认识方式、处理方式和表征方式；数学学科第二层面的核心素养则进一步与数学三大内容领域固有的重要能力相关。因此，根据"数与代数""图形与几何""统计与概率""综合与实践"四个内容领域各自的特点，分别进行各有侧重的培育实践，无疑是最容易受到关注的首选培育路径。这条路径的优势在于能够调动已有的相关教学经验，在传承的基础上针对学科核心素养的培育要求与时俱进地探索、发展。
例如，图形与几何领域的教学应重点实践和研究如何在原有的基础上进一步凸显空间观念的培养。因为空间观念作为图形与几何领域最基础、最具生长性的核心素养，其发展关键期的特点以及教学促进发展的特点都相当明显。
按照范希尔关于几何思维水平及其相应教学阶段的理论：学生几何思维水平的发展是循序渐进的，后一水平的顺利发展，必须以掌握前一水平的概念、策略为基础；学生几何思维水平的提升是经由教学，而不是随年龄增长或心理成熟自然而然的；没有一种教学方法能让学生跳过某一水平进入下一水平。[3]
国内关于小学生空间观念发展规律的研究也得出了类似的结论："适时的教学干预是十分必要的，只要给低年级学生提供适当的教学材料，就可能会在空间观念方面有较好的发展。如果没有适时的教学干预，学生空间观念的发展就会受到抑制甚至会造成无法弥补的欠缺。”[4]
以儿童积累"高"的认识为例，从生活中的"高"（身高、树高等）到几何图形的高，在小学阶段经历了以下的认知发展过程：平行四边形的高（平行线间的距离）——三角形的高（点到直线的距离）——梯形的高（平行线间的距离）——圆柱的高（平行平面的距离）——圆锥的高（点到平面的距离）。尽管这些"高"的概念还有待中学阶段加以准确定义，但是小学阶段直观、描述水平（即视觉——分析——非形式化演绎水平）的感性认识经验，为学生进入形式化演择水平奠定了丰富的、可贵的认知基础。上海市通过改进小学几何教学，解决初中几何入门难问题的成功经验，也充分证实了这一点。
(二）综合性、拓展性内容专题教学的培育路径
一般认为，素养的获得是后天的、可教可学的，即可以通过有意的人为教育加以规划、设计与培养；同时，任何素养的培育都无法毕其功于一役，只能依靠日积月累，即学习者经由课程教学长期习得，逐渐积淀。
因此，基础内容的课堂教学是核心素养培育的主渠道。特别是学科的核心素养，它与学科知识习得与学科能力、态度生成不可分割。然而，落实在基础内容的教学中，某一节课侧重培育哪些素养是由内容决定的。学科核心素养依附内容的这一特点，提示我们还必须开辟一条落实学科核心素养培育"度身定制"的教学渠道，即针对素养培育的需要，选择合适的内容载体使学科核心素养能够较为系统、更为展开地得到培育。
国际学生评估项目（P1SA)赋予素养以可测评的内涵特质，他们将素养看作个体在特定情境下能成功地满足情境的复杂要求与挑战，并能顺利地解决现实的、综合性问题的内在条件。
由此看来，我们目前的课程教学改革实践中，"综合与实践"板块以及人教版教材特有的拓展内容"数学广角"系列，都是学科核心素养培育专题教学的有效载体形式。
已有的实践表明，基础性内容的教学与综合性、拓展性内容的教学，通过不断的调适，可以相辅相成，形成合力。据此有理由相信，在落实学科核心素养培育的进程中，基础性内容不同领域各有侧重的培育路径与综合性、拓展性内容的专题培育路径，也能通过基于深入实践的持续改进，互为补充，相得益彰。
(三）从整体到局部"上桂下联"的教学落实对策
通过上述两条基本路径落实学科核心素养的培育，关键在于确立教学的整体观，强化教学的系统性。
从中小学核心素养到学科核心素养，再到学科核心素养与学科教学内容的结合点即落实点，需要系统研究梳理，这需要学科层面自上而下的顶层设计。一线教师也可以采取中间层面各个击破的策略，将教材单元作为落实的抓手，逐步扩展，覆盖学年、学段。
目前的教学实践研究，大多以课时教学研究为主，针对单元设计的结构性研究较少。虽然一节课、一节课地研究也能集腋成裘，但常常呈现"课时主义"的弊端。如教学内容碎片化，知识点的处理缺乏通观全局的连贯性，等等。而所有的学科核心素养，都是跨课时、跨学期、跨学年的，特别需要从整体到局部的研究。因此，改进、加强单元设计，是现阶段"上挂下联"有效落实的可行对策。
近年来，旨在加强"目标——教学——评价"一致性的教学设计三个"基本设问"（目标：学生要到哪里去？教学：怎样引导学生到达那里？评价：怎样知道学生到了那里?）已被越来越多的教师所接受。相对于课时设计，单元设计的目标、评价更容易体现学科的核心素养。
三、落实学科核心素养培育两条路径的教学实践
（一）落实在基础性内容教学中的实践
为了提高平时每一节课对于培育学科核心素养的贡献度，一条主要的策略是：深入把握基础知识的学科内涵，并与"四能"相结合。
试举一例。教学"速度"概念及其数量关系，以往的设计大多满足于引出"速度"概念、规范"速度"单位书写和归纳数量关系。事实上，三个量两两相比，学龄前儿童也能看图发现不等关系的传递性。如图2，石楷最重，茄子最轻。因此，借助情境加强推理素养的培育符合小学生的思维特点
图2
在教学时，首先让学生看着情境图（图3)[5]说说已知的条件信息，并提出比较快慢的问题，学生一般都能提出两两比较与谁最快、谁最慢五个问题。
图3
然后让大家先独立思考，再进行交流。
(1)小象和小熊跑的时间相同，直接比较路程，小象比小熊快。
(2)小牛和小熊跑的路程相同，直接比较时间，小牛比小熊快。
(3)小牛和小象用的时间、跑的路程都不同，计算它们每分钟跑的跑程再比较。因为小牛每分钟跑432÷6=72(米），小象每分钟跑544÷8=68(米），所以小牛比小象快。
(4)综合（2)和(3),小牛比小熊快，小牛比小象快，得到小牛最快。
(5)综合（1)和(2),小象比小熊快，小牛比小熊快，得到小熊最慢。
至此，五个问题都有了答案。有学生看着教师的如下板书，又发现了（6)和（7)两种与众不同的比较方法。
(6)综合（3)和(1),小牛比小象快，小象比小熊快，得到小牛最快。
（7)反过来，就是小熊最慢。[6]
至于什么是"速度"以及数量关系，就让学生看课本自学。
上述以解决问题"谁跑得快"为载体的教学过程，在实现基础知识教学目标的同时，让学生经历了一系列的用口头语言表达的演绎推理活动。其中（1)至（3)都是充分条件的假言推理，（4)至（7)都是纯粹关系推理，(6)和(7)还自发地用上了不等关系的传递性与反对称性。
教师小结时指出：计算速度（每秒、每分、每小时的路程)，是把"时间不同"转化为"时间相同"。个别学生受此启发，想到了另一种"转化"为时间相同的比较方法：
因为，小象8分跑544米→2分跑136米，
小牛6分跑432米→2分跑144米，
所以，小牛比小象快。
于是，临近下课，又一次出现了数学推理活动的高潮。基础知识教学中落实学科核心素养培育的诱人空间，得到了充分的展现。
(二）落实在综合性、拓展性内容专题教学中的实战
仅以"数学广角"的教学为例。顾名思义，"数学广角"专题的价值取向，旨在拓展学生学习数学、应用数学的视角，开阔视野，让学生能够更加深切地领略数学的魅力与光彩。
正如教材编者所言："‘数学广角’并不是数学课程标准规定的必学和必考内容，没有承载'双基'目标的重任，因而没必要将其教学的重点放在机械的公式和抽象的模型上，而应把教学重点放在探索和建立模型的过程和体验数学思想方法的应用上。"[7]因此，"数学广角"专题系列的教学，从数学课程总目标的四个方面来看，除了知识技能，其他三个方面（数学思考、问题解决、情感态度）都有所兼顾。这些恰是落实数学学科核心素养目标的展开体现。
首先，第一层面三个数学学科核心素养，即抽象、推理、模型，几乎体现在"数学广角"每个内容中。
例如，一年级下册的"找规律":[8]
观察图形的排列，塀弃原型（对象）的形状、排列等因素，提纯成数列，这是比较典型的分析型抽象。
学生用自己的语言陈述找到的规律"后面一个数都比前面一个数大3""后面一个数都比前面一个数小2"，这些关于等差数列的描述，其实就是递增、递减模型的语言表达。
学生写出紧随其后的几个数，实际上是在根据规律进行演绎推理。
可见，抽象、推理、模型一个不少，综合地发生在"找规律，填数"的问题解决过程中。
其次，从"找规律"入门再发展为"数学建模"，成为贯穿"数学广角"的主线。"找规律"是最基本的数学思考方法之一，也是小学生最容易找到感觉的数学思考，作为"数学广角"的入门再恰当不过了。安排在"找规律"后面的内容，某种程度上都可以视为"找规律"的发展，区别在于"规律"的表现形式。
例如，三年级上册的"集合"，主要内容是求两个集合（交集非空）并集的基数。如下题:[9]
学生容易想到的基本算法是：
9+8-3=14(人）。
用公式表示[n(A)表示集合A的基数，A∪B与A∩B分别表示集合A与集合B的并集与交集]:
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
没人否认这一公式是一个数学模型，那么学生自己得出的算法仅仅是一个算式吗？
鉴于一般学生都能清晰地说出上述算法的含义"为什么加了之后还要减"，表明他们已经发现并且解释了数量关系。据此可以认为，这种关系的理解与公式的概括充其量只是具体化与形式化的差异。
这一贴近真实情境的探究性学习，不仅加深了学生对于加法运算的理解，同时也使学科核心素养的培育得到了有效的落实。
参考文献：
[1]曹培英.小学数学课程核心词演变的回顾、反思与展望[J].小学数学教师，2015(11).
[2]曹培英.从学科核心素养与学科育人价值看数学基本思想[J].课程.教材.教法，2015(8).
[3]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009:7.
[4]刘晓攻.小学生空间观念的发展规律及特点研究[D]长春：东北师范大学，2005.
[5]项家祥，黄建弘.九年义务教育课本数学（三年级第二学期）[M].上海：上海教育出版社，2010:9.
[6]曹培英.小学数学问题解决的教学研究（一）[J].小学数学教育，2013(6).
[7]王永春.数学广角的价值取向和教学建议[J].小学教学：数学版，2009(11).
[8]卢江，杨刚.义务教育教科书数学：一年级下册「M].北京：人民教育出版社，2012:87.
[9]卢江，杨刚.义务教育教科书数学：三年级上册[M].北京：人民教育出版社，2013:104.