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压轴题难在哪儿?——聊聊2017年福建省中考24题

2017-08-29 福州 唐羊 思维的草根

        每年中考,倒一倒二压轴题都令考生绞尽脑汁,百思不得其解。尤其是几何题,一旦辅助线出不来,就会功亏一篑 。

那么,我们的解题思路是如何产生的?辅助线究竟是怎么被想出来的呢?让我们一起来重新审视2017年福建省中考24题(倒二几何压轴题)



     “如图”二字,把我们的目光引向了题图,直觉告诉我们有两个“交错”的矩形!这个图形整体被一条对角线拆分了!


       培养孩子对图形的直觉非常重要,它能让你在几何解题中用最少的时间找到最佳路径。

       继续读题:"矩形ABCD中,AB=6 ,AD=8" ,这让我们很快联想到勾股定理AC=10就顺理成章地来了。而“P,E分别是线段AC、BC上的点”是为了让我们了解“四边形PEFD的位置构成,为两个矩形之间搭建联系的桥梁。

“且四边形PEFD为矩形”——学生读题时往往会忽略这里的隐含条件,他们的思维可能集中在矩形显现的直角、对边等性质上,为什么思考此题时容易忽略矩形PEFD对角线的存在呢?显然,此时若画出对角线DE、PF,会“难受地”发现它们被PC、DC破坏了!“完形压强”原理让人们往往会不愿意接受(或直接忽略)不完整的东西。

       完形压强是格式塔心理学关于学习理论的四个组成部分之一,它是德国心理学派代表人物苛勒提出的一种学习理论。它是指这样一种情况;当人在观看一个不规则、不完满的形状时,会产生一种内在的紧张力促使人的大脑紧张地活动,以填补“缺陷”,使之成为完满的形状,从而达到内心的平衡。

       这也许是学生不愿意去想到“对角线DE、PF”的原因之一。此时已完成对题干部分的文字解读,学生的阅读记忆中留下的,是两个矩形被一条对角线拆分,构成许多角的关系,其中较小的矩形“站不稳(靠AP、CF牵制、支撑着)”!

继续读题:

(1)若△PCD是等腰三角形,求AP的长。

      找到图中的△PCD,这时会发现命题老师心慈,没有在此挖坑——所示图形并不等腰!其实这已经在暗示分类讨论的必要了,可惜不少考生并不领情,想当然地认为PD=CD,遗憾地与高分擦肩而过,这也说明这些考生的数学思维还没有达到能够从整体、全局的角度看问题。


    显然,最简单的情形是①当 CP=CD,直接可以由矩形ABCD的边长求得;

②当PD=PC

    我们得到了两个位置“憋屈”的等角∠PDC=∠PCD,这时,如何想到等角的余角相等,进而得到PD=PA,是一个难点。这里考验的是一线几何识图教学与概念教学是否到位——如何识别∠PCD!

    我们如何去看一个角?根据角的定义:具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。那么,看一个角,就应该沿着射线的方向,由顶点出发,向无限远处延伸你的目光!角从静态角度看是一种结构关系,从变化观点看则是运动过程中的一种特殊状态,它的形态特征能帮助我们识别。

    章建跃先生在谈到概念教学时曾说过:在概念教学中要注意数学概念的抽象逻辑建构特征

    概念教学的基本目标是让学生理解概念,理解某个东西是指把它纳入一个恰当的图式,并能运用概念表达思想和解决问题,图式就是一组相互联结的概念,图式越丰富,就越能处理相关的变式情景。

    那么,此时,∠PCD就应该是从点C向CP、CD看去——CD显然已没有“路”可走(虽然不止到这里!),而CP,自然就看到了A(不妨把D、P理解成“行走的驿站”)自然地,当∠PCD无所作为时,∠ACD就需出手了!由∠ACD就不难想到余角,等角的余角……

    最困难的当属③当DP=DC时,前面的探究证明没有提供更多的借鉴,我们只能从现有的结论入手:DP=DC,要求AP,最好能知道PC,而PC恰好是等腰三角形的底边!这让我们有了作高的冲动!

    作高,除了达到三线合一的性质,高——常常让我们与面积挂起钩来。而此时能求得的面积有哪些呢?矩形、三角形,哪一个与我们所作的高有关联呢?显然是三角形ADC,I 不难得到:从而求得DQ,再由勾股定理最终解决。

    这样分析下来,其实,难题之所以难是因为找不到思维的起点,缺乏有序思维。而我们的解题训练,都是在积累我们的解题经验。但,如果只是一味地大量解题而不去进行解题思考、解后反思,那么,有可能解了200题,不过是一道题重复了200次!



(未完待续)







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