文献荐读 | 联合生产下的劳动价值论新拓展——兼论“斯蒂德曼之谜”的要害与谬误
联合生产下的劳动价值论新拓展
———兼论“斯蒂德曼之谜”的要害与谬误
摘 要：在马克思主义经济学研究中，联合生产问题之所以引人注目，最初是因为斯蒂德曼于1975年提出在联合生产的条件下会出现正的利润与负的剩余价值并存的现象，即所谓的“斯蒂德曼之谜”，并用来作为否定劳动价值论的武器，产生了极其不良的国际影响。本文表明，只要把联合生产最初的产品生产过程模式变更为部门部门模式，就能够克服斯拉法分析方法的局限性，由此可以阐明联合生产方法与马克思主义经济学是兼容的，不仅不存在矛盾，而且可以用来分析资源约束条件下的经济增长问题，并可以通过完善负价值的概念，运用劳动价值论来解释环境污染问题与被污染环境的修复问题。本文还构筑了联合生产下的价值决定模型以及联合生产下价值向生产价格转形模型，并给出这两种模型存在唯一正解的条件，从而彻底破解“斯蒂德曼之谜”所提出的诘难。本文不仅拓展了劳动价值论的研究手段，而且丰富了劳动价值论的应用范围。
关键词：工资率；单位劳动力价值量；对角占优矩阵；资源约束；负价值一、被误解的联合生产理论
在20世纪30年代中期，有两个可称之为并蒂莲的经济学研究成果几乎同时登上了历史舞台。其中一个是列昂惕夫（Wassily W. Leontief）的投入产出理论（Leontief，1936）①，另一个则为冯·诺依曼（von Neumann J）的联合生产理论（von Neumann，[1938]1945）②。
列昂惕夫的投入产出理论从按照部门编制的投入产出表出发构筑了其基本模型。尽管投入产出分析最初是从行模型（横向模型）出发的，不过应用于劳动价值论分析则需要使用其列模型（纵向模型），这种应用是从萨缪尔森（Paul A. Samuelson）开始的(Samuelson，1957)。投入产出分析的列模型（纵向模型）可用如下联立方程组表示：
令所谓投入系数
现行投入产出表是按照生产价格编成的。令sj为平均利润、r为平均利润率，在理论上我们可以考虑把平均利润表述为
这样，公式(2)就可以改写为公式(4)：
上式改写成矩阵形式则为
投入产出分析的重要假定之一是同质性，即假定每个产品部门只生产一种同质产品，不同产品部门的产品之间不能相互替代。所以，投入产出分析虽然表现为部门部门模式，但其模型的实质仍然是产品产品模式，也就是每个部门只生产一种产品。
而联合生产（joint production）则假定一个生产部门可以生产多种产品（例如羊毛和羊肉），能够反映更为复杂的经济现象，从而更具有一般性④。
冯·诺依曼的联合生产理论从生产过程出发构筑了他的著名模型，其主要部分如下⑤：
我们看到，在冯·诺依曼模型中虽然有利润率（包含在β之中，
斯拉法把冯·诺依曼模型按照他自己的意图作了修改，导入了工资，不过并没有把工资当作不变资本来处理（斯拉法，[1960]1963），并且在导入工资的时候，斯拉法的做法与马克思或者进一步说是与整个古典经济学派发生了根本分歧。斯拉法认为，工资是“事后支付的”。所以他的联合生产模型就成为这种样子(斯拉法, [1960]1963, p.50)：
改写成矩阵形式则为
重要的是，对于生产过程的概念，冯·诺依曼没有明确定义。在他的模型中，共有m个生产过程生产n种产品，并且他指出m>n是可能的。此时，不可能通过通常的方程计算来求解。但是，当m>n的时候，同一部门又可以包括多个生产过程。在这种情况下不可能用来考虑价值决定的问题。即便是在m=n的时候，由于同一生产过程可能生产多种产品，从而独立生产过程的数量可能少于产品种数，这时该模型也不可能反映价值决定问题。后文中我们将会分析，在商品生产过程模式下讨论价值决定问题是没有意义的。
斯拉法混淆了生产过程概念与部门概念的区别，基本上作为同义词来使用⑥。用生产过程概念无原则地替换部门概念，会产生很多问题。所以说导致后来的所谓“斯蒂德曼之谜”的始作俑者其实是斯拉法。
这里其实还有更重要的一点，经过斯拉法加工的联合生产模型，由于工资被定义为“事后支付的”，从而工资与不变资本无关，也就是说与利润或剩余价值无关。这与马克思主义经济学是大相径庭的。后来斯蒂德曼用在斯拉法体系下所推出的矛盾来否定马克思劳动价值论，实属张冠李戴。
不过，只要把联合生产按照马克思主义经济学的要求进行调整，联合生产就可以导入马克思主义经济学(张忠任, 2013)，并且比投入产出模型应用范围更广，下面作进一步的具体探讨。二、基于联合生产的
马克思主义经济学分析扩展
把联合生产导入马克思主义经济学，便可以运用马克思的劳动价值论在资源、环境等问题上展开更加深入的分析。
为了把联合生产导入马克思主义经济学，至少需要把冯·诺依曼模型的商品生产过程模式变更为部门部门模式。如果为了分析现实问题，则需要进一步变更为投入产出分析那样的部门-部门模式才具有可行性。
另外，需要把联合生产模型按照马克思主义经济学的要求在斯拉法联合生产模型的基础上作进一步的改正，即用可变资本向量替换掉斯拉法用劳动时间向量乘以工资率所表示的工资向量⑦，并且取消斯拉法工资是“事后支付的”假定，让可变资本成为利润的源泉，于是我们得到如下模型：
如何导入资源约束是发展马克思主义经济学的一个重要方面，而把联合生产嵌入马克思主义经济学分析框架之后，就可以考虑资源约束条件下的经济增长问题。
由于斯拉法的表述方式过于陈旧，不便于作进一步的分析，于是我们将编序方法稍作改动，并假定所有的商品最终都是由若干种非劳动产品的天然资源所生产出来的。这一前提应该是没有问题的。假定社会共有n种商品A1、A2、…、An，由m种天然资源⑧B1、B2、…、Bm(m<n)生产出来，那么，这一过程可以通过如下关系反映出来：
这里，H= [ hij]n×m表示一种技术结构。
现在，把上面的公式(9)改写成下面的矩阵形式，即公式(11)：
我们注意到，令E=(1 1…1)′，令（下面实际上是一个定义式）
并且
该式可以简写为A=HB，同样，我们还可以定义
也就是
我们令
下面我们分析环境问题。可以分为两个方面来考虑：首先是污染环境的产品问题，其次是被污染了或被破坏了的环境的问题。
从热力学⑩的观点来看，所有的生产都是联合生产，在经济和生态系统中普遍存在。人类的经济活动会产生两类产品，一类是预期的产品，另一类是废品或污染品(杜建宾和李佳, 2011)。在现实当中，其实还有一类是兼有两者之间的部分性质的生产物（次品或者具有一定使用价值的污染品）。联合生产分析模式可以很好地反映这种复杂的情形。
为了作进一步的分析，我们有必要重新认识一下价值与使用价值的关系。按照传统的看法，只是把使用价值看作价值的物质承担者（载体）,不存在没有使用价值却具有价值的东西，失掉了使用价值的商品也失掉了其价值。这种看法虽然正确，但是并不全面。
如果仔细考虑使用价值量的变化对价值的影响，我们会发现，当使用价值只是失掉了一部分的时候,商品的价值也只是失掉了一部分，并非全部。例如，变得不新鲜的蔬菜,或者局部腐烂了的水果，是可以减价出售的，这是一个逐渐的过程，并非一下子就变成了一钱不值的垃圾。
另外，我们知道同种商品，质量好的售价也高，其背景是随着价值的载体（使用价值）的质量提高，所消耗的劳动也发生了数量变化（操作时间的加长）或者质量变化（劳动复杂度的提高），从而价值也发生了变化。在这里，我们也看到了使用价值与价值成正比的现象。
据此，我们有如下命题：商品的价值，与作为其载体的使用价值的增减同向增减(未必呈线性关系)。
张忠任（2006;2008）曾经指出，可以定义商品所失掉了的价值为负,我们称之为负的价值⑪。负的价值绝对值的上限是该商品的价值量。例如，假定价值10个小时的新鲜蔬菜，当鲜度降低20%，其价值量也相应下降20%（因蔬菜而异，未必就必定是20%），即2小时，这2小时就是“负的价值”。请注意，这里所说的“负的价值”是局部的，并且是一个具有上限的不断变化的量。
马艳等（2012）也从联合生产的角度谈到了污染环境的产品具有负的价值的同时，却具有正的生产价格的问题，该文所说的“负的价值”是商品整体的，并且不具有变化性。该文的分析与重新认识所谓“斯蒂德曼之谜”有关，我们将在下一节讨论这个问题。
进一步说，“负的价值”其实存在多种情形：（a）商品所失掉了的价值（包括可逆的与不可逆的）；（b）具有一定正的使用价值（正的使用价值与负的使用价值并存）的污染品（危害性大于0，小于100%）；（c）具有负的使用价值的污染品（危害性等于100%）。马艳等（2012）所讨论的属于（c）情形。
关于可逆的“负的价值”，走时不准的钟表是一个很好的例子。上面所谈到的不新鲜的蔬菜由于失掉了一部分使用价值的同时也失掉了一部分价值，蔬菜从新鲜走向腐烂的趋势是不可逆转的。
负价值发生的前提在于其载体即使用价值具有一定的危害性，并非丧失使用价值这么简单。如果一件产品完全丧失了使用价值，就不可能来到市场，因为即便是负价值也是需要载体的。负价值发生的前提在于其载体即使用价值中效用与危害性并存。如果后者大于前者，则其价值为负。此时产品无法按照价值出售，因为负价值意味着生产者需要给购买者付费（所谓倒找钱）。此时产品如果按照正的价值出售，则意味着欺骗，这属于另一个问题。这里暂不讨论。现在的问题是，具有负价值的产品能否按照正的生产价格出售。这也正是斯蒂德曼所提出的问题（Steedman，1975；1977）。如何认识这一问题我们将在后文中专门讨论。
下面我们来分析被污染了或被破坏了的环境问题。前文中提到具有某种损害程度的钟表的使用价值是可逆的。而没被修理的坏钟表里面所含有的负的价值量相当于其修理费用。
从劳动价值论的角度考虑环境问题，因为原生自然环境不是人类的劳动产品，按照劳动价值理论，不可能拥有价值。但是对于人类来说自然环境是不可或缺的使用价值。如果被污染了或被破坏了的环境是可以复原的（尽管在现实当中很难，有时甚至不可能做到这一点），而为了恢复被破坏了的环境的使用价值必须投入劳动，用来复原环境的使用价值所投入的劳动应该形成价值。从价值的角度来看，被破坏了的环境所含有的是负的价值量，相当于其复原费用所需要的劳动量。也就是说，在理论上我们可以认为，被污染的环境具有负的价值,其绝对值等于将其恢复到原始状态所需要的价值，已经有人在做类似的工作按照莱斯特·R.布朗的估算，还地球以本来面貌的年度花费需要930亿美元（布朗，[2006]2006，p.186）。进一步说，假如能推算环境复原费用的话,可以根据环境的国际比较标准来分析。例如, 人均环境负价值(-100)的国家环境比人均环境负价值(-500)的国家环境好。。现在的问题是，在联合生产模型中我们如何把这一理念变成可操作的。对此，我们首先需要把k个部门扩大为k+1个部门。新增加的部门为环境部门，参照龍世祥（2002；2004）的定义，我们令其为第0次产业。如果环境部门出现了负的价值，就说明存在环境污染或环境破坏；负的价值越大，说明环境污染或环境破坏的程度越大。这样，我们就可以把公式(9)扩大为下面的公式(14)：
三、联合生产下的价值决定与转形问题
关于联合生产下的价值决定问题，过去的研究大多把火力集中在对斯蒂德曼问题的批判上（将在下一节中讨论）。冯金华（2012；2013）对两个企业联合生产下的价值决定问题作了比较深入的探讨，但是却没有扩展到任意多个产业，也没有得出确定的有解条件。
考虑联合生产下的价值决定问题，需要实物型联合生产数据表，尽管需要统计部门的配合，但还是具有可行性的⑫。马克思指出，“社会分工则以生产资料分散在许多互不依赖的商品生产者中间为前提”。并且，“每一个商品生产者都必须生产一种使用价值，即满足一种特殊的社会需要，而这种需要的范围在量上是不同的，一种内在联系把各种不同的需要量连接成一个自然的体系”（马克思和恩格斯,1972,pp.393-394）。实物结构，即各个产业部门之间的交换关系，所反映的就是这种“内在联系”或者“自然的体系”，这是我们从实物结构出发考虑价值决定问题的理论根据⑬。
表1所示的实物型联合生产表采用产品-产业模式，并且采用实物计量单位，例如粮食用重量单位吨，天然气用体积单位立方米，布匹用长度单位公尺等。产业编号之所以从“0”开始，是为了导入第0次产业部门（资源环境部门）。
在表1中，V表示增加值（附加价值），相当于可变资本（工资）+剩余价值，即
不过，我们暂时没有把增加值分解成可变资本+剩余价值的必要。另外需要注意：表1的各列中的量，其计量单位相同可以相加；但是各行中的量，其计量单位是不同的，不可以相加！
令πi表示第i种产品的价值⑭，则Π′=(π0,π1,…,πn)′表示商品价值向量，于是根据表1，可以得到联合生产下的价值决定模型(15)：
令
化简后可得
模型(16)其实还表明了商品价值的源泉来自于活劳动。下面我们来讨论模型(16)符合劳动价值论的存在唯一正解的条件。为了阐述的方便，令净产出矩阵为
则Λ首先必须满足霍金斯-西蒙条件（Hawkins-Simon condition）⑮才能保证模型(16)有唯一非负解。下面我们来作进一步的分析。
考虑一个特殊的非齐次线性方程组BX=C，这里B=(bij)(n+1)×(n+1)，并且bij≤
（1） 存在某个C>0，使得该非齐次线性方程组有非负解。
（2） 对于任意C≥0，该非齐次线性方程组存在非负解。
（3） 非齐次线性方程组的系数阵B的顺序主子式（order principal minor）全大于0（此即最初的霍金-斯西蒙条件），也就是
（4） 系数阵B的逆矩阵非负。
由此，根据B的条件要求，模型(16)中的净产出矩阵Λ中主对角线之外的要素必须满足
也就是，必须有
式(17)意味着要求各个部门的非主要产品的产出量不可超过其投入量，这个要求并不脱离现实。
不过，仅仅得到模型(16)具有唯一非负解的结论，并不能满足劳动价值论的要求，因为有零解的产品意味着免费赠送，不在我们的考虑范围之内，所以我们必须进一步找出模型(16)存在唯一正解的条件。令E′=(1,1,…,1)，我们给出如下的命题1。
命题1：如果ΛE>0，则模型(16)即ΛΠ=V存在唯一正解。
证明：为了使得证明更为简洁，令ΛE=H=(h0,h1,…,hn)′，那么，必存在δi>0，使得Vi=hiδi(i=0,1,…,n)，并令Φ=diag{h0,h1,…,hn}，则ΦE=H；令δ′=(δ0,δ1,…,δn)，则V=Φδ。于是有
我们注意到，从ΛE=H可以得到Λ-1H=Λ-1ΛE=E，现在我们来看模型(16)的解
Λ-1V=Λ-1Hδ=(Λ-1H)δ
显然(Λ-1Φ)E=Λ-1 (ΦE)=Λ-1H=E。我们令δ*=min{δ0,δ1,…,δn}，进一步令δ*=(δ*,δ*,…,δ*)′=δ*(1,1,…,1)=δ*E′，则有Λ-1V=Λ-1Φδ=(Λ-1Φ)δ≥(Λ-1Φ)(δ*E)=δ*Λ-1ΦE=δ*Λ-1H=δ*E>0命题得证。
关于上面的证明需要说明一点，即从表面上来看，ΛE意味着来自表1的净产出矩阵各行的求和，而各行中的量的计量单位是不同的，直接相加应该是没有意义的。那么我们怎样解释ΛE呢？其实只要把E′=(1,1,…,1)在形式上理解（或定义）为价值向量就没有问题了。
现在我们总结一下联合生产下的价值决定的条件是：净产出矩阵Λ满足霍金斯西蒙条件，并且ΛE>0。在此条件下，模型(16)存在符合劳动价值论的唯一正解（暂时排除了第0次产品取得负价值的可能性）。
把模型(16)的解导入表1中便得到表2所示的价值型联合生产表：
下面我们通过一个数例来说明利用模型(16)导出价值型联合生产表的具体操作步骤。为此，我们通过表3进行阐述，数据是虚构的，该表的净产出矩阵Λ满足霍金斯西蒙条件，并且有ΛE>0。
我们把数据代入到模型(16)，即ΛΠ=V中（在这里暂时没有必要把V区分为v和m），就得到如下线性方程组：
根据该线性方程组的解我们得到表4所示的价值型联合生产表（方程组解的代入方法请参考表2）。
接着，我们从价值表出发来导出生产价格，现在所探讨的实际上是联合生产下的转形过程。令p′=(p0,p1,…,pn)，表示生产价格向量，
式(18)中共有n+3个变量（平均利润率r、生产价格对价值的偏离率xi为n+1个、可变资本的偏离率y），但是只有n+1个方程，还缺少两个方程。我们把“总计一致2命题”（生产价格总额等于价值总额，平均利润总额等于剩余价值总额）作为约束条件加入模型当中，这两个约束条件的公式表述如下：
公式(18)、(19)以及(20)就构成了联合生产下价值向生产价格的转化模型。接着我们来考虑该模型的求解方法及其条件。
由于生产价格总额与价值总额还存在如下关系：
所以我们可以将之代入到(18)、(19)中解出：
式(21)所表述的平均利润率与马克思的定义是一致的。现在由于平均利润率r已经解出了，可以将之作为外生变量来处理，这样模型就变成了将(18)和(19)联立所构成的线性方程组了。下面将之用矩阵形式来进行表述：
可以很容易得到模型(22)的解为：
我们通过如下的命题2来说明模型(22)存在唯一正解的条件。
命题2：如果
证明略：采用命题1的手法很容易就可以从
显然由单位商品价值量构成的对角矩阵
下面我们运用模型(22)对表4进行联合生产下价值向生产价格转形的操作检验。首先我们根据公式(21)求出平均利润率r*=20.97%，将之代入公式(22)就得到如下线性方程组⑱：
根据该线性方程组的解我们得到表5所示的生产价格型联合生产表。
这里想强调一点，把表5的结果与表4相比较，可以看出我们的计算结果满足了“总计一致2命题”，在这里生产价格总额2076.4等于价值总额2076.4，平均利润总额360等于剩余价值总额360。
此外，前面的分析还强调过，无论联合生产下价值决定模型还是联合生产下价值向生产价格的转形模型存在唯一正解的前提都是必须满足霍金斯西蒙条件，这一要求并不苛刻。因为投入产出分析是满足霍金斯西蒙条件的，这应该算作一个很普通的数据条件。
最后，还有一个重要问题需要说明一下，前面我们从实物结构出发构筑了价值决定模型，那么从实物结构出发是否也能直接构筑生产价格决定模型呢？结论是肯定的。例如，我们可以考虑如下模型：
四、从联合生产看
“斯蒂德曼之谜”的实质与矛盾
经过以上讨论再来看所谓“斯蒂德曼之谜”，问题就变得很清楚了。下面我们对这一问题进行具体剖析。
斯蒂德曼是在继承了斯拉法的分析模式以及萨缪尔森的实物量体系理论的基础上，通过“联合生产”过程来展开其分析的（Steedman，1975）。斯蒂德曼以仅有两个生产过程的联合生产过程为例来展开了他的分析,数据如表6所示。
令表示生产价格向量p′=(p1,p2)。按照斯拉法的理论, 斯蒂德曼列出如下所示的生产价格方程⑲：
为了研究的方便，将之改写成矩阵形式就是
因为(27)中有3个未知数，p1、p2以及平均利润率r,所以为了求解, 斯蒂德曼又增加了一个条件，1个单位的劳动所得的实际工资包括：1/2单位的商品A和5/6单位的商品B。其含义相当于萨缪尔森的单位实物工资向量m，在这里，
总而言之，斯蒂德曼生产价格方程组可以按照萨缪尔森的表述方式改写为⑳：
方程组(27)加上工资率定义式之后的解为：
斯蒂德曼强调, 这里所得到的平均利润率以及所有的价格的解都是正的。
其实这一结果本身就是经不住推敲的。因为现在生产价格总额为
斯蒂德曼似乎是故意隐瞒了上述事实。他接着开始使用上述实物量来计算价值,方程式如下：
将之改写成矩阵形式就是
该方程组的解为：l1=-1，l2=2。于是斯蒂德曼开始惊呼：出现了负的价值!
他并没有到此为止，接着他开始讨论剩余价值。其计算方法如下所述。
他首先假定总共投入6单位劳动㉑，其中5单位用于生产过程1，而1单位用于生产过程2，那么，代入价值方程组(30)中得
于是得到净产品（新创造价值的实物量）向量为图77。其计算公式如下：
在生产过程1中商品A的净产品为30-25=5；在生产过程2中商品A的净产品为3-0=3。共为5+3=8。即
然后，斯蒂德曼求出工资商品（即可变资本的实物量）向量为
净产品（新创造价值的实物量）与工资商品（可变资本的实物量）之差就是剩余产品，为
于是剩余价值便为
这样斯蒂德曼就导出了一个正的利润率与负的剩余价值（全社会的剩余价值）并存的荒谬结论。
上述的斯蒂德曼分析中，多处存在逻辑上的矛盾。可以采取两种途径予以分析。一种是采用马克思主义经济学的立场、观点、方法来对其进行剖析。例如，伊藤诚（1990）、孟捷（2004）、冯金华和侯和宏（2011）以及冯金华（2012，2013）等，都从不同的角度批判过斯蒂德曼的错误。问题是这样做西方经济学者未必服气。
第二种途径就是按照斯蒂德曼分析框架从中找出问题的症结之所在。例如，和田豐（2003）对该模型的综合讨论，张忠任（2006）曾从生产资料的投入矩阵入手作过分析，冯金华和侯和宏（2011）则从劳动力的投入向量着眼发现了一些问题。不过都还没有触及其要害。下面我们来看一下问题究竟出在哪里。
首先以第一种途径为主来作一些更为深入的分析。
斯蒂德曼把生产的标准技术条件作为决定价值量的给定的因素这一前提就是不能成立的。孟捷（2004）曾经指出：生产的标准技术条件与价值量之间的关系, 并不是斯蒂德曼所理解的那种单向的、决定论式的关系。生产的标准技术条件是不能脱离市场价值而预先给定的。
我们进一步看到，斯蒂德曼在推导过程中也没有遵循自己的假定，存在逻辑上的混乱。也就是说，他并没有将工资率w=1这一假定贯彻到底。前面我们已经知道从公式(31)中得出可变资本量v=7。根据可变资本与工资率的关系可知应该有v=wL1+L2=w(5+1)。由此可知，当v=7的时候，有工资率
更重要的是，斯蒂德曼所采用的工资率定义是斯拉法的，即工资率相当于工资在纯产品也就是新创造价值中所占的比率，而不是单位劳动力价值量。所以，工资率大于1是没有任何意义的，也是不可能的。在这里斯蒂德曼混淆了斯拉法的工资率与单位劳动力价值量的概念。
进一步说，斯蒂德曼的公式(31)不过是通过把表6中的生产过程1的投入扩大了5倍来混淆我们的视线而已。如果我们按照斯蒂德曼的逻辑考虑下去，会发现当生产过程1的投入劳动量为1的时候，其工资量v应该为v=w×L1=1×1=1，而此时净产品价值(v+m)也是1，从而剩余价值为0。这一分析对于生产过程2也同样成立。因而并不会出现后面的剩余价值为负的问题。
当然剩余价值为0也不行，因为剩余价值大于0是资本主义存在的前提条件。
为什么会出现这种问题呢？这是因为斯蒂德曼混淆了劳动和劳动力的概念。这一错误是十分明显的：他一方面令每个生产过程的投入劳动量为1，另一方面规定每个生产过程的工资即劳动力价值为1。
另外，我们只要把工资率一般化为w，代入到方程组(31)中去，即把(31)化为下面的方程组（32）。请注意，此时他的工资率定义式将一般化为
在数学上无视矛盾的存在，已经是一种非科学的态度。而在经济学上，我们看到在公式(26)中，利润率的来源只是不变资本，与可变资本无关，这属于斯拉法体系的独有方式，与马克思经济理论没有任何关系。
进一步说，斯蒂德曼的单位实物工资向量手法所沿用的是萨缪尔森的一个错误的方法。这一问题最早是Seton（1957）在研究转形问题的时候错误地把不变资本和可变资本混在一起而造成的，这就是有名的“塞顿教条”。而Samuelson（1971）试图采用新古典经济学的方法重新诠释转形问题，特别是通过导入实物工资向量m，以更为隐蔽的方式重复了这一谬误，现在一般称之为“萨缪尔森陷阱”㉓。这就是斯蒂德曼的单位实物工资向量的理论根源。
最后，斯蒂德曼并没有掌握从生产价格向价值转化的正确方法，他实际上不过是沿袭了Samuelson（1971）所提出的从一个实物量体系分别生成价值和生产价格两种不同体系的错误方法（张忠任，2004，p.91）。
由此我们已经可以得出结论：所谓的斯蒂德曼之谜中存在许多缺陷和不可克服的矛盾，并且与马克思主义经济学基本上没有什么直接关系。不过，由于这个问题影响巨大，我们如果能够在他原有的框架下找到问题的症结之所在，才是最有力的回答。下面我们就来探讨这一点。
易敏利（1990）已经看到了斯蒂德曼的两个生产过程效率即产出能力大不相同，觉察到其计算很可疑。他曾从上述公式(26) 解出下面的净产出方程组(33)来考虑过这一点,不过没有作更加深入的分析。
为了分析的方便，我们把净产出方程组(26)按照矩阵方式改写如下：
根据线性代数中的克莱姆法则（Cramer’s Rule），可得
由此可知其解必为：
这是线性代数的一个必然结果，斯蒂德曼不过利用了一个特殊的数学结构对我们进行了一场经济学上的数学欺骗。对于这一特殊的数学结构，斯蒂德曼直言不讳。他还通过图示明确地说明了这一点（参照图1，引自Steedman，1975）。横轴表示商品A，纵轴表示商品B，如果6个单位的劳动都投入了生产过程1，投入向量为（30，0），相当于图1中的I1点；如果6个单位的劳动都投入了生产过程2，投入向量为（0，60），相当于图1中的I2点。I点所表示的是公式（1）~（6）所规定的投入组合。
如果6个单位的劳动都投入了生产过程1，净产品总产出向量为（6，6），相当于图1中的N1点；如果6个单位的劳动都投入了生产过程2，净产品总产出向量为（18，12），相当于图1中的N2点。直线N1N2上的点表示了所有可能的净产量模式。公式（1)~(6）所规定的净产量模式由点N表示。直线N1N2的方程为-0.5A+B=3。这里，A和B分别表示商品A和商品B的净产量。这个直线方程相当于价值向量与净产品产出向量的内积，即
解决斯蒂德曼所设置的这一难题可以有四种方法。第一种方法就是对该模型进行综合考虑。第二种方法为重新认识净产出方程组(26)的常数项即劳动投入的部分，一般是从讨论两个生产过程的生产率不同出发的。第三种方法则是针对投入和产出矩阵来作出的分析。第四种方法是直接从价值决定出发找出解决途径。
关于第一种方法，和田豐（2003）曾经综合性地导出如下关系式：
他认为,在存在联合生产的场合,劳动价值向量是否出现负值,取决于矩阵[I-AZ(I+U)ΘS]是否存在逆矩阵及其性质㉖。但是却没有作出进一步的分析。
关于第二种方法，易敏利（1990）已经看到，从(26)的第2个方程减去第1个方程可得，2l1+l2=0，所以l1与l2中，必有一个为负，体现了两个生产过程的生产率之差（胡代光等，1990，p.89）。不过他也没有作进一步的分析。
冯金华和侯和宏（2011）也从认识到两个生产过程的生产率的不同提出了进一步解决该问题的相关途径。冯文指出，按照马克思的劳动价值论，在生产相同商品的同一行业或同一部门的内部，不同生产过程（如不同企业）的劳动所创造的价值是由社会必要劳动时间（而非自然时间）决定的。同样1单位劳动所创造的价值，在效率较高的生产过程中要比在效率较低的生产过程中更大。并且，可以用λ来表示生产过程2与生产过程1的单位劳动所创造的价值之比（简称生产过程2的价值比率）。在斯蒂德曼的两个生产过程中，劳动具有完全不同的净产出。在生产过程1中，1单位劳动的净产出是1 (=6-5)个单位的商品1和1个单位的商品2；在生产过程2中，1单位劳动的净产出是3 (=3-0)个单位的商品1和2 (=12-10)个单位的商品2。净产出比区间为(2,3)，价值比率λ∈(2,3)（冯金华和侯和宏，2011）㉗。这是一种非常有意义的尝试。
关于解决斯蒂德曼问题的第三种方法，是从对投入和产出矩阵作出新的认识或解释来考虑问题的。前述易敏利（1990）的净产出方程组(26)已经初步涉及对投入和产出矩阵的认识。对此，张忠任（2006）曾经指出，斯蒂德曼的投入矩阵实在太特殊了，乃是对角矩阵，而产出矩阵却不是对角矩阵。从经济学上来理解,就出现了一种奇怪的现象：各部门只投入自己的产品,并且第i部门只投入第i种产品，也就是说，没有部门之间的交换，大概是“鸡犬之声相闻,老死不相往来”吧？这已经够奇怪的了。而每个部门的产出却包含所有种类的产品,真是一品多能啊。这种经济系统,即使在原始社会也是不可能的。这确实是一个问题。不过，张忠任（2006）没有认识到投入矩阵非对角也可以得到价值为负的结果，所以没能找到解决问题的有效途径。
第四种方法是直接从价值决定出发寻找解决问题的途径。冯金华（2013）所提出的这一方法的关键在于通过不同商品之间的交换比率δ来导出价值函数。问题是，即便是两种商品，当它们的单位商品价值量未知的时候，δ只能由市场决定。不过，当生产过程的数量不等于产品的数量的时候，从n种商品、m个生产过程怎样来求出n-1个δ就是一个很大的问题，并且，就算解决了求法，正负也别管㉘，怎么来说明唯一性也是一个问题。该文并没有给出解决方案。
经过以上分析，我们认为，斯蒂德曼问题的要害在于所谓的价值方程式，而解决这一问题的唯一途径就是必须破解他所给出的特殊的数学结构。斯蒂德曼问题的数学结构可以一般化为
从而恒有
这里a、b、k、d都是大于0的外生变量。这样公式(27)就一般化为
整理后就得到一般化的净产出方程组
其一般解为
现在我们注意到肯定有
在斯蒂德曼的数据里，a=1，b=1，k=5，d=10，所以正解条件就是
为了找出问题的根源，我们首先来看这个净产出系数矩阵所包含的全部共两个顺序主子式。在斯蒂德曼的问题里显然a>0，从而第一个顺序主子式
所以这个净产出系数矩阵是不满足霍金斯西蒙条件的，这就是斯蒂德曼价值方程出现负解的根本数学原因。进一步看，我们发现斯蒂德曼价值方程的净产出系数矩阵竟然连列严格“对角占优矩阵”（diagonally dominant matrix）都算不上㉙！这太不正常了！因为从统计的角度，或者说从产业部门分类原则的角度，作为一个部门，必须有一种产品或者一类产品占有绝对主导地位，否则不能成为一个部门。假如工业部门所生产的工业品在工业品净产出总量中所占的比重低于农业部门所生产的工业品在工业品净产出总量中所占的比重，工业部门还能叫工业部门，农业部门还能叫农业部门吗？现实的产业分类是具有排他性的，即便是分类还不够彻底，每个部门的主体产出也必然占有绝对优势，从而全社会的净产出系数矩阵必定至少是列严格“对角占优矩阵”。换句话说，如果全社会的净产出系数矩阵不是列严格“对角占优矩阵”，则意味着在产业部门分类上发生了原则性的缺陷，这时的数据不能够构成分析的根据！
由此，斯蒂德曼的联合生产数例所给出的显然是某一部门中的两个不同的生产过程（甚至是可以看作是同一企业中两条不同的生产线），不可能形成价值。这才是斯蒂德曼问题的要害之所在。五、简要的结论
本文揭示了联合生产与劳动价值论的兼容度与边界，指出只要把联合生产最初的产品生产过程模式变更为产品-产业模式（或者部门-部门模式），克服斯拉法方法中错把工资作为事后支付的假定，联合生产方法就与马克思主义经济学是兼容的，并且构筑了联合生产下的价值决定模型以及联合生产下价值向生产价格转形模型，并给出了这两种模型存在唯一正解的条件。由此也抓住了“斯蒂德曼之谜”的要害。斯蒂德曼所讨论的价值形成是在属于同一个生产部门的两个不同生产过程下进行的，不具备严格的经济学前提。总之，斯蒂德曼问题其实与马克思主义经济学并没有太多的关系，正因为斯蒂德曼是用斯拉法体系中的矛盾来否定马克思劳动价值论的，从而不过是一个骗局而已。
需要强调的一点是，因为投入产出分析是满足霍金斯西蒙条件的，所以本文提出作为联合生产下价值决定模型以及联合生产下价值向生产价格转形模型存在唯一正解的前提，都是其数据要满足霍金斯西蒙条件，这一数据条件应该是很宽松的。
把联合生产方法融入马克思主义经济学，还可以用来分析资源约束条件下的经济增长问题，并且通过完善负价值的概念而运用劳动价值论来解释环境污染问题与被污染环境修复问题，从而可以丰富劳动价值论的应用范围。不过需要坚持以下几项基本准则：第一，必须放弃利润与可变资本无关的斯拉法体系而回到马克思的框架中来；第二，必须放弃采用新古典经济学的方法对转形问题的诠释，并放弃否认剥削的工资率为1的假定，回到马克思主义经济学的分析框架中来；第三，必须科学认识从一个实物量体系分别生成价值和生产价格两种不同体系存在不可分割的内在联系，认识到价值对生产价格的最终决定作用；第四，必须有科学的转形计算方法，否则不能体现价值与生产价格的逻辑关联。
注释
①投入产出的思想渊源最早可以追溯到魁奈的《经济表》、马克思的再生产图式以及瓦尔拉斯的一般均衡论。关于投入产出理论与马克思经济学的渊源、关系，可见晋彤驹（1981）、廖才茂（1985）、王恺（1982）以及Leontief（1936；1937；1938）。
②该文的中文版为《一般经济均衡的一个模型》，张忠任，余斌译，《学习与探索》2013年第1期。另外，根据冯金华（2012）的考证，联合生产的思想渊源最早可以追溯到李嘉图（Ricardo，1817）、马尔萨斯（Malthus，1820）以及托伦斯（Torrens，1821）等著作。
③注意：模型（1)、（2）中的投入系数矩阵已经转置了。
④关于联合生产在生态经济学、农业经济学等领域的应用，请参见杜建宾和李佳（2011），该文中还介绍了很丰富的英文文献。
⑤这里没有对其模型中的变量的含义予以解释。如果需要详细了解，请参见冯·诺依曼([1937]2013)。
⑥斯拉法说：“我们现在假定，两种商品由一个单独的生产部门联合生产（或者不如说由一种单一的程序生产，因为在这里这种说法更为适宜）。”（斯拉法，[1960]1963，p.47）这里的“程序”一词的英文原文为“process”（Sraffa, 1960，p.50）。冯·诺依曼论文中的生产过程用的也是“process”。
⑦即令
⑧请注意，我们这里用的是“天然资源”，而不是“自由商品”（free goods）
⑨这一模型参考了华罗庚（1987，pp.66-70）针对投入产出分析所提出的生产能力上界模型。
⑩热力学（thermodynamics）是从宏观角度研究物质的热运动性质及其规律的一个学科，属于物理学的分支。热力学与统计物理学分别构成了热学理论的宏观和微观两个方面。热力学包括四条重要定律，被导入经济研究中的“熵”（entropy）概念就源自热力学第二定律（second law of thermodynamics）。
⑪“负的价值”的概念是杰文斯（W.S.Jevons）于1871年首先提出来的(Jevons, [1871]1957)。日文版见小泉信三，寺尾琢磨，永田清，译. 寺尾琢磨，改译. 经济学的理论，pp.95-100。
⑫我国具有编制实物型投入产出表的历史，因而进一步推广到实物型联合生产表是有可能性的。据考证，我国第一个国民经济投入产出表（1973年表）、第一个部门投入产出表（化工部门1978年表）以及第一个企业投入产出表（天津化工厂投入产出表和鞍钢投入产出表）均为实物型投入产出表（陈锡康等，2011，p.30）。
⑬尽管本文没有特别讨论价值的本质问题，不过从后文中的模型(16)可以看出商品价值的源泉来自于活劳动。也就是说本文的观点符合劳动价值论的根本要求。
⑭需要强调一点，对于并非劳动产品的环境资源来说：当π0≤0的时候，如前所述我们作为负的价值来理解；当π0>0的时候其经济学含义是价格。
⑮参见《经济用线性代数》（二阶堂副包，1961,pp.66-71）以及Hawkins and Simon(1949,pp.245-248); Morishima (1964,pp.15-17); Nikaido(1968,pp.90-92)。
⑯注意：这里并没有对bij(i=1,2,…,n)作出规定。
⑰注意：
⑱注意：这里V前面加上了负号，是因为我们使用了
⑲后面我们会看到斯蒂德曼所列出的生产价格方程与他的价值方程并不存在内在联系，在他出版这本书的时候，价值向生产价格转形的正确模型还没有问世，即便是张忠任（2000）最初提出的“BSZ转形模型”的雏形目前仍然存在不同认识，斯蒂德曼在1977年怎么可能从价值出发得出正确的生产价格方程呢？进一步说，斯蒂德曼的这一错误，仍然属于“鲍特凯维兹陷阱”或者“塞顿教条”的变形(张忠任，2018）。
⑳其一般形式是：
㉑其实没有这种必要，保持原假定也可以达到同样目的。仅仅扩大一个倍数也不能加强问题的一般性，不过使得问题看上去变得稍稍复杂了一些而已。
㉒斯蒂德曼在这里又犯了另一个错误，他没有意识到(l1 l2)=(-1 2)并不是方程
㉓参见张忠任(2004，pp.76-77,pp.87-91)，这一问题得以揭明的契机却源于斯蒂德曼的数学分析（斯蒂德曼，[1977]1991，pp.38-39）。
㉔比较标准的做法是将该方程标准化为净产值1，这样比较好理解。在这个例子中，标准化后的方程就是：
㉕斯蒂德曼还用由于代表实际工资组合（3，5）的点处于直线N1N2的上方作为理由来解释剩余价值是负的。因为他的工资决定方式不过是萨缪尔森陷阱的延续，我们已经在前面分析过了。这里不再赘述，只在图上标示出其位置，供感兴趣的读者参考。
㉖这里，V表示劳动价值向量，A表示投入系数矩阵，Z是分配率矩阵，I是单位矩阵，U是再分配系数矩阵，Θ是均等配置规则所要求的修正率矩阵，S是各种商品的市场占有率矩阵，l是劳动的投入系数向量。和田豐的分析源于日本故大岛雄一教授所提出的“均等配置规则”（和田豐，2003，第5章）。
㉗其实，从数学上，也很容易就可以确定λ的取值范围。冯文导入λ之后的方程式可以写为
整理后就是
由此很容易就可以求出其解为
于是可知能够使得l1并且l2都大于零的数学条件为2<λ<3。这也等于给冯文所导入的λ取值范围提供了一个旁证。
㉘冯金华（2013）提出，如果某种联合产品为无用品或有害品，从而其价格(或单位交换价值)等于或小于零，则相应的价值量和单位价值量亦等于或小于零。
㉙这里不从“行”的角度考虑净产出系数矩阵问题，因为每行中的各个数值的计量单位不同，不能相加。
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引文格式
张忠任. 2022. 联合生产下的劳动价值论新拓展——兼论“斯蒂德曼之谜”的要害与谬误[J]. 政治经济学季刊，1（1）：50-80.
Cite this article: ZHANG Z R. 2022. New development in the labor theory of value under joint production: Discussion on the keys and fallacies of “Steedman’s Puzzle”[J]. Political Economy Quarterly, 1（1）：50-80. (in Chinese)
《政治经济学季刊》（Political Economy Quarterly）是清华大学社会科学学院经济学研究所于2018年创办的学术出版物。2021年11月国家新闻出版署批复创刊（CN10-1809/F），2022年12月出版第1卷第1期。本刊坚持马克思主义政治经济学的基本原理和方法，密切跟踪国际上政治经济学研究的前沿进展，关注中国特色社会主义市场经济建设中的重大理论与现实问题，突出中国道路和中国模式经验总结的研究重点，为构建中国特色社会主义政治经济学体系提供学术交流与整合平台。
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