重心位置计算

1）重心概念及计算公式：

研究对象的重力的中心，即重心。

物体的重心位置与物体如何放置无关。

设物体的重心坐标为C（xc，yc，zc）

物体的重心坐标计算公式为：

2）基本特性:

（1）对于匀质物体而言，其重心的位置与其重量无关，而仅与其几何形状有关。

     物体的几何形状的中心又称为物体的形心。对于匀质物体，其重心和形心位置是重合的。

（2）对于具有对称面、对称轴或对称中心的匀质物体，其重心位置一定在此物体的对称面、对称轴或对称中心上。

（3）若物体有两个对称面或对称轴，则重心必在它们的交线或交点上。

（4）重心和形心的物理意义不同，是两个不同的概念。只有当物体为匀质物体时，其重心和形心位置才是重合的。若是非匀质物体，则其重心和形心不会重合。

3）计算方法：

重心位置的计算方法一般有三种：积分法、组合法和实验法（悬挂法、称重法）。

下面简单介绍组合法和实验法。

（1）组合法：

（1）若可将一均质形状分割为几个已知其重心位置的简单图形，则可应用分割法求解该形体的重心坐标。

例如：

（1）求上图所示均质槽形薄板的重心坐标，尺寸如图所示。

解：

    建立如坐标系，可将图形用虚线分割为三个矩形I、II、III，设其面积分别为A1、A2、A3，其形心坐标分别为C1（x1，y1）、C2（x2，y2）和C3（x3，y3），则有

A1=（7-0.8）x1.2=7.44cm^2，x1=3.9cm，y1=17.4cm;

A2=18x0.8=14.4cm^2,x2=0.4cm,y2=9cm;

A3=（7-0.8）x1.2=7.44cm^2，x3=3.9cm，y3=0.6cm；

     截面的总面积A=A1+A2+A3=7.44+14.4+7.44=29.28cm^2;

     由匀质薄板的离散形式的重心坐标计算公式可得：

xc=Σ△Ai*xi/A=(7.44x3.9+14.4x0.4+7.44x3.9)/29.28=2.18cm

yc=Σ△Ai*yi/A=(7.44x17.4+14.4x9+7.44x0.6)/29.28=9cm

（注：该匀质形体有对称线，yc一定在对称轴上，可直接得出yc的数值。）

所以该形体的重心坐标为C（2.18,9）。

     对于物体或薄板内有孔洞或空洞的情况，也可用负面积（或负体积）法来求重心坐标，其基本原则是将被切去部分的面积取负值计算。

（2）如下图所示，有一圆形孔的板，试确定其重心位置。

解：圆形孔是要被切掉的，故应取负值。

X=(20x30x15-πx6^2x（15+6）)/(20x30-πx6^2)=13.6cm

Y=(20x30x10-πx6^2x10)/(20x30-πx6^2)=10cm

（2）实验法：

     当物体的外形较复杂而不易由公式求其重心位置时，可利用实验的方法测出其重心的位置，一般通过实验手段得到物体重心的方法有悬挂法和称重法两种。

（1）悬挂法如图所示

交点C点即为该薄板的重心。

（2）称重法

对于某些形状复杂或体积庞大的物体，可用称重法确定其重心位置。

如图所示，一具有对称轴的构件，可先称出其重量W，将其如图所示放置，且一端置于磅秤上，并使其对称轴AB保持水平。测出值后，由平衡方程可得

FB*l-W*b=0

可得：

b=FB*l/W

在对称轴AB上量取AC=b，则C点即为该构件的重心。

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