机械设计常用资料（十八）之导数&积分

一、函数定义：

设A为非空数集。若存在对应关系f，对A中任意数x，按照对应关系f ，对应唯一一个y∈R，则称f是定义在A上的函数。记作：

f：A一>R

（注：“f：A一>R”表示f是定义在数集A上的函数。在书本上，我们一般约定，将“f是定义在数集A上的函数”用符号“y=f（x），x∈A”表示。当不指定函数定义域时，可简写成“y=f（x）”）

 数x对应的数y 称为x的函数值，表示为y=f（x）。x称为自变量，y称为因变量。数集A称为函数f的定义域。

函数的表示方法一般有三种：表格法、图象法和解析法。

函数的几个特性：有界性、单调性、奇偶性和周期性（通常将最小正周期称为函数f（x）的基本周期，简称为周期。）

复合函数：由两个或两个以上的函数（简单函数）用所谓“中间变量”传递的方法产生的新函数（复合函数）。

反函数：略

二、六种基本初等函数：

1、常值函数

2、幂函数：y=x^a（a为任意常数）

3、指数函数：y=a^x（a>0,a≠1）指数函数的运算与幂函数类似。

4、对数函数

5、三角函数：（参见：机械设计常用资料（十五）之三角函数）

万能公式：

6、反三角函数：是各三角函数在其特定的单调区间上的反函数。

注：由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到并且能用一个式子表示的函数，称为初等函数。（注：符号函数、取整函数和狄利克雷函数都不是初等函数。）

函数的零点：

我们把满足函数f（x0）=0的点x0称为函数的零点，它在图像上表示函数y=f（x）与x轴的交点。

三、多项式展开与因式分解：

四、常用数列求和公式：

五、导数与微分：

函数的导数反映了函数相对于自变量的变化快慢程度，而微分则刻画了当自变量有微小变化时，函数大体上变化了多少。

导数：

求导法则：

复合函数求导法则：

初等函数的导数：

微分：

复合函数的微分及微分公式：

六、不定积分：

由导数或微分求原来函数的逆运算称为不定积分。

基本积分表（熟记）：

不定积分的性质：

求不定积分的方法：直接积分法、换元积分法、分部积分法等。

七、定积分：

定积分的几何意义：

表示函数曲线（两个上下限）与x轴围成的平面图形的面积的代数和。（注：y轴上方图形面积为正，下方面积为负）

定积分的性质：

牛顿-莱布尼兹公式也叫微积分基本公式：

根据微积分基本公式，求定积分的问题可以转化为求被积函数f（x）在区间[a，b]上的增量F（a）-F（b）的问题，即求被积函数f（x）在区间[a，b]上的一个原函数F（x）。

常见方法有：换元积分法（定积分的换元公式 :略）、分部积分法等。

（注:该资料提及相关知识的部分要点，如想深入学习请查阅相关专业书籍）

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