单墫、赵春、洪一平、邹生书——2019年国际青年数学节一道试题解法荟萃

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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运用插值多项式解2019国际青年

数学节考试题

浙江省平阳中学       洪一平

问题:设a>0, 12a+5b+2c>0,证明:方程ax²+bx+c=0在(2, 3)上不可能有两个实数根.

(注意此时(x-2)(2x-5)(x-3)>0)

若f(2)>f(3)>0,则f(x)在[2, 3]上的最小值在[2.5, 3]上取得,此时当2.5<x<3时,

(注意此时(x-2)(2x-5)(3-x)>0)

综上,f(x)在(2, 3)的值恒为正, 因此,方程ax²+bx+c=0在(2, 3)上不可能有两个实数根.

反证法与线性规划思想联手解答2019国际

青年数学节试题

湖北省阳新县高级中学       邹生书

题目：设a>0,12a+5b+c>0,证明：方程ax²+bx+c=0在区间(2,3)内不可能有两个实数根。

证明（用反证法）假设方程ax²+bx+c=0在区间(2,3)内有两个实数根,则函数f(x)=ax²+bx+c=0在区间(2,3)内有两个零点，即抛物线y=f(x)在区间(2,3)内与x轴有两个交点。

该平面区域是由线段AB,AC与抛物线的一部分BC所围成的曲边三角形ABC,易求得

A(-5,6),B(-4,4),C(-6,9),且直线AB与抛物线相切于点B.

由图知，当直线l:v=-5u+z-12过点C(-6,9)时，直线在v轴上的截距z-12=-21最小，从而z=-9最小；当直线l过点B(-4,4)时，直线在v轴上的截距z-12=-16最大，从而z=-4最大。

由于平面区域不包含边界，所以-9<z<-4,即-9<5u+v+12<-4，

这与题设5u+v+12>0矛盾。

故方程ax²+bx=c=0在区间(2,3)内不可能有两个实数根,原命题正确。

区间端点函数值表示系数法巧证2019国际

青年数学节试题 

  辽宁     赵   春

题目：设a>0,12a+5b+c>0,证明：方程ax²+bx+c=0在区间(2,3)内不可能有两个实数根。

证明： 设f(x)=ax²+bx+c=0，则问题等价于函数f(x)在区间(2,3)没有两个零点，即抛物线y=f(x)在区间(2,3)内与x轴没有两个交点。

故方程ax²+bx=c=0在区间(2,3)内不可能有两个实数根.

标准化    具体化

中国科学技术大学单墫教授对本题的解法

数学笔记手稿

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