杨春波——极值点偏移问题与解法大全：一文搞定极值点偏移
请点击上方蓝色字体“邹生书数学”，订阅本微信公众号；
请点击右上角的“…”，发送给朋友或分享到朋友圈。
公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。
开号宗旨：为热爱学习和研究的高中数学教师和教研员搭建学习交流平台，提升教学能力，促进专业发展。本公众号致力传播数学文化，发表教研成果，交流教学经验，探讨数学问题，展示解题方法，分享教学资源，为服务高中教学作贡献。
邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
公众号“邹生书数学”诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿。来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式，一般只接受word文档格式的电子稿件，文稿请认真审查，防止错漏，文责自负。
投稿邮箱：zoushengshu@163.com；
投稿微信号：13297228197。
本公众号对优秀作者和名师实行“双推学习”，在分享文章的同时推介作者简历，让读者朋友更好的了解作者的研究成果和研究方向，以便进一步研读作者的相关文章。
欢迎转载本公众号文章，转载请注明：
“文章来源：邹生书数学”等字样。
【来源】解忧数学杂货店
——对称化构造（解题方法）
三张图教你直观认识极值点偏移：
1
1
1
1
2
1
1
3
1
例题展示
点评：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观展示如下：
把握以上三个关键点，就可以轻松解决一些极值点偏移问题．
小结：用对称化构造的方法解决极值点偏移问题大致分为以下三步：
牛刀小试
——函数的选取（操作细节）
例题展示
点评
点评
注1
注2
思考：上一讲极值点偏移问题（1）中练习1应该用哪一个函数来做呢？
——变更结论（操作细节）
例题展示
解法一（换元法）
解法二（加强命题）
剧透：下一讲中我们还会给出这道题的第三种证法．
能否将双变量的条件不等式化为单变量的函数不等式呢？
答案是肯定的，以笔者的学习经验为线索，我们先看一个例子．
引例
证明
发现
能否一开始就做这个代换呢？
这样一种比值代换在极值点偏移问题中也大有可为.
下面就用这种方法再解前面举过的例子．
再解例1（3）：
再解例3：
再解练习1：
再解例4：
再解例5：
再解例7：
再解例8：
行文至此，相信读者已经领略到比值代换的威力．用比值代换解极值点偏移问题方便、快捷，简单得很．只需通过一个代换就可“双元”化“单元”，变为单变量的函数不等式，可证．那是不是可以就此忘掉前面三讲的内容呢？只需比值代换，就可偏移无忧？
这里，笔者必须指出，前面再解的过程中有意地略去了一些例子（不知细心的你是否发现），这就补上，请读者明察．
试再解例2：
试再解例6：
试再解练习2：
这是比值代换的败笔，又是最精彩之处．没有任何一种方法是万能的，我们不仅要熟悉它的优势，熟练它的操作，还要清醒地认识到它的缺陷，运用时要注意哪些问题，这其实是为了更好的运用．
最后，我们来看比值代换另一个应用．
牛刀小试
——对数平均不等式（本质回归）
回顾
本讲要给的对数平均不等式是对基本不等式的加细．
对数平均不等式：
先给出对数平均不等式的多种证法．
证法1（对称化构造）：
证法2（比值代换）：
证法3（主元法）：
证法4（积分形式的柯西不等式）：
证法5（几何图示法）：
图1
图2
应用
由对数平均不等式的证法1、2即可看出它与极值点偏移问题间千丝万缕的联系，下面就用对数平均不等式解前面举过的例题．
再解例1：
再解例2：
再解例3：
再解练习1：
再解例4：同本节例1
再解例5：同本节例1
再解例7（2）：
再解例8：
再解练习2：
解练习3选项D：
总 结
极值点偏移问题，多与指数函数或对数函数有关，用对数平均不等式解题的关键有以下几步：
细心的读者不难发现，用对数平均不等式来解极值点偏移问题的方法也有一定局限性，也不是万能的（再解过程中漏掉了例6，读者可尝试），其中能否简洁地表示出对数平均数是关键中的关键．
最后再举一例．
证法1
证法2
——泰勒展开（本质回归）
这一讲我们回到极值点偏移的直观图形上来，揭示极值点偏移问题的高等数学背景．以极小值点的偏移为例进行说明。
图1
图2
以上只是直观（或者说非常粗略）的分析，下面拟用高等数学中的泰勒展开式进行严格证明，算作极值点偏移问题的另一种本质回归．
极大值点的情形，推导过程同上，但结果却恰好相反，不再详述．
至此，我们得到极值点偏移问题的如下判定定理：
注意：
应用
下面就用这个判定定理再解前面举过的例题．
再解例1：
再解例2：
再解例4：
再解例6：
再解例8：
再解例10：
——练习题及解答
图1
练习题：
提示与答案：
长按或扫描二维码关注本公众号！
近期好文荐读：
深度好文|用通性、通法解导数压轴题——全国理数一卷近三年导数题研究及2020年导数题预测
洛必塔法则 零点定理取点 函数凹凸性 三种法解一道“端点效应”难题
阳友雄：拉格朗日中值定理及其应用——不等式证明的又一大利器！！！
九市联盟2020届数学理科核心模拟卷三份及参考答案与评分细则
解答高考选择题的八大策略——教你如何灵活、高效、精准拿分！！！
熊昌进：数学教学我们永远在路上——从学生的思维出发进行教学指导一例
曾蓉——轨迹法突破一类解三角形面积最值问题之二 原来也有“圆”
曹凤山:年年考向量 岁岁数与形 ———浙江省自主命题以来向量试题特点评析
魏立国——不等式e^x ≥ x+1和+ln(x+1)≤X的应用
【博学多才】筷子夹汤圆，夹出一个美丽的"蒙日圆"，真是太神奇了！！！
【美不胜收】求解动点轨迹方程的的七种解法------全方位，无死角！！！
洪一平、 杨飞、邹生书——解答一道以椭圆为载体的轨迹方程与面积最值征解难题
单壿、石中海、赵春等：一道莫斯科绝对值最小值高考题的解法研究文章荟萃