![]()
2011年印度数学奥林匹克抽象函数
竞赛题的严谨解法
浙江省平阳中学 洪一平
问题: 求所有的函数f：R->R, 使得对于所有的
x, y∈R,有f(x+y)f(x-y)=(f(x)+f(y))2-4x2f(y).
解: 由 x, y∈R,
有f(x+y)f(x-y)=(f(x)+f(y))2-4x2f(y) ①
在①中, 令x=y=0,得f2(0)=42f(0),即f(0)=0.
在①中, 令x=0, 得f(y)f(-y)=f2(y),
及f(-y)f(y)=f2(-y),得f2(y)=f2(-y),
即[f(y)-f(-y)][f(y)+f(-y)]=0.
若存在y, 使f(y)+f(-y)=0,
在①中, 令x=0, y用-y代入,
得- f2(y)=f(-y)f(y)=f2(-y)= f2(y),
知f(y)=0, 得f(-y)=f(y).
故 y∈R, f(-y)=f(y),知f(x)是R上的偶函数.
在①中, 令y=1,
得f(x+1)f(x-1)=(f(x)+f(1))2-4x2f(1)，
在①中, 令x=1, y用x代入,
得f(1+x)f(1-x)=(f(1)+f(x))2-4f(x) ,
由f(x-1)=f(1-x), 得f(x)=f(1)x2.
在①中, 令x=y=1,知0=4f2(1)-4f(1),
得f(1)=0或f(1)=1.
故f(x)=0或f(x)=x2, 均满足题设条件.
![]()
长按或扫描二维码关注本公众号！
近期好文荐读：
陈勇——三道二次型递推数列单调性问题及其解法
刘再平、罗新兵——例析自主招生考试中的圆锥曲线问题
超几何分布与二项分布的辨析及应用
李鸿昌——破解一类导数压轴题的新思路
脱下向量迷你服 阿氏圆定点求最值
刘再平、罗新兵——例谈数学解题教学的“三法”观
李鸿昌——绕开洛必达，回归导数概念，求解“0/0”端点效应高考压轴题
圆锥曲线极点与极线的性质及其在解答高考题中的应用文章三篇
高考复习||几何体与球的切与接专题
【十全十美】突破三角函数最值的十种求解方法
函数主题的典型考题分析与考前复习方略
袁方、洪一平、邹生书——运用“等积线”求解一类条件最值问题
文卫星——不用法向量求二面角大小的简捷方法
近三年高考数学立体几何命题规律与2020备考策略
巧用“层次对称”求一类分式的最大值
概率与统计典型考题分析与考前复习方略
函数零点问题的五种常见题型及其求解策略——最后一种让人直呼“过瘾”！！！
解决极值点偏移问题的五个绝招
问题研究||对一道困惑高中教师的最值问题的探究之旅
构造抽象函数法PK模特函数秒解法——文章荟萃
高中数学解排列组合应用题常用方法20种
群研二元二次方程条件下的最小值问题
杨春波——极值点偏移问题与解法大全：一文搞定极值点偏移
数学备考的八大解题技巧——真的都是满满的套路！
高中数学解排列组合应用题常用方法20种
三角形面积最大值问题的一般性结论及其数形结合法与嵌入不等式证明
洪一平、邹生书——三角形面积最大值问题的两个新解法与几何背景
王小国、霍忠林、魏拴文、谢伦驾——同研赵忠华向量数量积最大值问题
高考专题——二项分布与超几何分布试题分类讲解
深度好文|用通性、通法解导数压轴题——全国理数一卷近三年导数题研究及2020年导数题预测
高考专题——二项分布与超几何分布试题分类讲解
洛必塔法则 零点定理取点 函数凹凸性 三种法解一道“端点效应”难题
阳友雄：拉格朗日中值定理及其应用——不等式证明的又一大利器！！！
阳友雄——破解导函数“隐零点”问题的八大求解方法
谢伦驾、洪一平：一道三角最值问题的两种解法及试题探源
对一道三角函数最值问题的解法研讨，小议一题多解
高考数学填空题解题策略新突破
九市联盟2020届数学理科核心模拟卷三份及参考答案与评分细则
谢伦驾、洪一平：一道三角最值问题的两种解法及试题探源
高考专题复习——外接球与内切球问题的八大模型典例解析
高考数学冲刺专题——解析几何（正高级，特级教师夏远景）
巧用“等和线”解决平面向量问题，怎一个“妙”字了得！！！
解答高考选择题的八大策略——教你如何灵活、高效、精准拿分！！！
章建跃——追求数学教育的本来面目
我的处女作——优化解题过程 避免分类讨论
经典题型||动点在定圆上的线段线性和最值问题及其解法
熊昌进：数学教学我们永远在路上——从学生的思维出发进行教学指导一例
刘宜宾、邹生书——对一道抛物线调研试题的推广探究
杨飞——放缩法取点PK洛必达法则
邹生书——三角形射影定理的多证与妙用
高考专题突破——三角函数图像性质与解三角形问题
对一道求不出准确最小值三角问题的修改及解法探究
一篇文章给高中生讲清楚洛必达法则
直线恒过定点存在性探索题的几个新解法（包含二级结论秒杀法）
运用泰勒展开式求解高考数学函数压轴题
类比推理——等比数列是等差数列运算的升级
等比数列知识点总结与七大经典题型归纳
等差数列知识点总结+题型归纳+习题精选（含习题答案）
【历久弥新】圆锥曲线离心率求解的九大经典模型
数列通项公式的十二种求法
概率统计考点，这或许是你见过的最全面解析！！！
排列组合问题的题型分类和九种求解方法
用“层次对称”破解四个二次根式线性和最小值问题
一网打尽||外接球和内切球半径求解策略
舒云水——“火神山”和“雷神山”平面几何姐妹题
几道网红错题——是抄错还是出错？错题害死做题人！
邹生书——递推数列周期性问题的求解策略
活用“龙凤不等式”和变量替换解函数压轴题
曾蓉——轨迹法突破一类解三角形面积最值问题之二 原来也有“圆”
与椭圆直径相关的一个性质及其应用
曾蓉——轨迹法处理一类解三角形最值问题之一 阿波罗尼斯圆
赵忠华——一道联考题的八种解法
麻雀虽小 五脏俱全 题目不难 解法多多 ——好题佳解
洪一平——山西八校联考向量数量积最大值试题的五种解法
二面角，你是不是想的太简单了点！
免费学习||高考数学在线课堂十三个专题视频合集
杨俊——构造函数,巧解函数导数的不等式之二
邹生书——二元二次方程条件下的最值题型分类与解法
【见微知著】三角形“四心”的向量情结
邹生书——复合三角函数中w的取值范围问题及其解法
杨俊——椭圆上一点到定点的距离最值的问题
邹生书——极化等式举旗开道 几何性质保驾护航
2019年上海高考数学第11题不同解法及索源
关仲卿——解密含有a+b+c=1的条件不等式的证明
张长新、邹生书——同题异构三解一道指对混合超越方程试题
邹生书——运用对数平均不等式破解函数双零点问题
八仙过海||群解一道椭圆离心率征解难题
是时候给三角形的“四心”做个了结了
郭学锋：错题错解——反思改编——探究多解
王小国——分类解析同构意识在解题中的应用
先猜后证——探究圆锥曲线的一个定点和定值问题
邹庆榕：追根溯源——— 数列的周期是如何形成的?
一类最值问题的巧思与妙解
设一个好方程 事半功倍
邹生书——高考数列中的最值问题及其求法
掀起你的盖头来——几道难得的函数方程问题
万志红：一道向量数量积问题的多种解法
邹生书——选好“模特儿”“秒杀”抽象函数不等式问题
探讨高考数学命题人如何编定 概率统计的试题（下）
常考点——巧构函数处理抽象函数不等式问题探究
从求解过程看高考解答题中压轴题的求解策略
曹凤山——关注焦点 优化解题
曹凤山——导数问题中的“合二为一”与“一分为二”
曹凤山：讲好数字背后的故事 — —解题教学的一项基本功
曹凤山:年年考向量 岁岁数与形 ———浙江省自主命题以来向量试题特点评析
王信元——台湾高雄中学一道小巧玲珑的圆锥曲线试题及解答
邹生书——多变量问题选择主元的四种方法
2019高考优秀模拟试卷理科数学试题解析
万尔遐、汪跃中——探讨高考数学命题人如何编定概率统计的试题
点差法与向量联手简解中点弦问题
立体几何最值问题的求解策略
求二项展开式系数最值项的一种方法
八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题！
曾蓉——巧用投影，妙解向量数量积
运用"矩形大法"解两道向量模取值范围问题
邹生书——利用动直线恒过定点优化解题过程
单墫——谈数学学习与解题
邹生书——例谈椭圆双曲线离心率取值范围的求法
数学解题的思维过程
关于投影，有了这篇推送应该已经足够了。
一道背景深厚的椭圆离心率难题及其解法研究
圆锥曲线相交切线的性质
魏立国——不等式e^x ≥ x+1和+ln(x+1)≤X的应用
【博学多才】筷子夹汤圆，夹出一个美丽的"蒙日圆"，真是太神奇了！！！
一道取值范围试题的七个解法四个结果！谁对谁错？问题出在哪？
【美不胜收】求解动点轨迹方程的的七种解法------全方位，无死角！！！
杨飞——极值点偏移与拐点偏移的解题思路
洪一平、 杨飞、邹生书——解答一道以椭圆为载体的轨迹方程与面积最值征解难题
单壿、石中海、赵春等：一道莫斯科绝对值最小值高考题的解法研究文章荟萃
从求解过程看高考解答题中压轴题的求解策略
三角函数求最值的七种解法——个个实用
先猜后证破解圆锥曲线“三定”探索题
柴淑兰——关于“高中数学必修1第一章”难点处理策略（续完）
柴淑兰——关于“高中数学必修1第一章”难点处理策略（待续）
一道向量难题的两思路四解法
挖掘隐含条件 探求解题途径——谈一类参数取值范围高考题的解法
题型汇编 | 高考中的复合函数
函数图像对称性的导数视角
抽象函数的“双对称”问题及解法
张长新——几个平几定理在解题中的应用
用对称原理和平衡状态分析思考数学问题