邹生书：一道定点调考题的解法与推广探究
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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一道定点调考题的解法与推广探究
湖北省阳新县高级中学(435200) 邹生书
文章发表于2017 年第7 期《中学数学研究》（广州）
题目:在平面直角坐标系中, 设A,B,C 三点是曲线y =1/(x − 1)上三个不同的点, 且D,E,F 分别是BC,CA,AB的中点, 则过D,E, F 三点的圆一定经过定点.
这是湖北省武汉市2017 届高三2 月调考数学理科第15题, 题意简明易懂, 试题能力立意, 综合考查数学思想方法和推理探究能力, 考查对问题的整体掌控能力和直觉思维能力,考查创新意识、数学综合素质和数学素养. 下面介绍笔者对这道定点调考题的解法与问题的推广探究历程, 与读者分享.
1. 化归转化退步求解
华罗庚先生曾指出:“善于退, 足够的退, 退到最原始而不失重要的地方, 是学好数学的一个诀窍.”这里所说的“退”,其含义很丰富, 包含从特殊退到特殊、从一般退到特殊和从特殊退到一般三种情形. 所谓从特殊退到特殊, 就是将一种特殊的情形退到另一种更为特殊的情形去研究; 所谓从一般退到特殊, 指的是运用特例法对问题的一般情形做出判断;所谓从特殊退到一般, 指的是把问题放在一个一般的背景中去思考.
我们知道曲线y =1/(x − 1)是由曲线y =1/x向右平移1个单位而得到的, 因此我们可将原问题转化到如下更为特殊的问题去求解.
问题:在平面直角坐标系中, 设A,B,C 三点是曲线问题在平面直角坐标系中, 设A,B,C 三点是曲线y =1/x上三个不同的点, 且D,E, F 分别是BC,CA,AB 的中点, 则过D,E, F 三点的圆一定经过定点.
2. 合情推理探求定点
分析:一方面, 注意到y =1/x的图象是双曲线, 两条坐标轴是它的对称轴, 坐标原点是它的对称中心, 因此解题时应充分利用图象的对称性. 另一方面, 题目告诉我们过D,E, F三点的圆一定经过定点, 但没有说是几个定点, 因此, 首先要对定点个数作出判断. 显然外接圆不可能过三过定点, 假若过三个定点, 则这些圆是同一个圆, 这不可能. 假若过两个定点, 那么这些圆的圆心在以这两个定点为端点的线段的垂直平分线上, 这也不可能. 故外接圆只过一个定点. 当然上面的推理用的是直觉思维, 并非逻辑推理. 基于上述两点有如下几种解法.
解法1(用特殊化方法) 在双曲线第一象限的一支
同理, 边OD 与边OF 的垂直平分线的交点坐标与点M 相同, 即它们也相交于同一点M. 由线段垂直平分线的性质得MO = MD = ME = MF, 故O,D,E, F 四点在以点M 为圆心的圆上, 所以过D,E, F 三点的圆必经过点O.
由曲线平移的知识可得如下一般性结论:
性质2 在平面直角坐标系中, 设A,B,C 三点是曲线y =λ/(x − a)+ b (λ > 0)上三个不同的点, 且D,E, F 分别是BC,CA,AB 的中点, 则过D,E, F 三点的圆必过曲线的对称中心即定点(a, b).
等轴双曲线的上述性质用文字语言表达如下:
性质:等轴双曲线上任意三点所构成的三角形的中点三角形的外接圆必过双曲线的中心.
笔者借助几何画板研究发现, 上述性质是等轴双曲线的一个特有性质, 并非所有的双曲线所拥有.
通俗地说, 合情推理是一种“合乎情理”的推理, 在上述研究中, 我们用合情推理猜测出“如果定点存在, 则定点只能是一个并且是等轴双曲线的对称中心”, 这一猜测为我们用四点共圆的方法来证明命题提供了证明的思路和方向. 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程, 但数学结论、证明思路等的发现, 主要靠合情推理. 合情推理和演绎推理是思维的两个不可缺失的方面, 两者相辅相成、相得益彰. 数学的教学是思维的教学, 在课堂教学中, 我们不仅要教会学生学会证明, 也要教会学生学会猜想.
黄鹤楼
作者：张靖华
楚天拯目黄鹤楼，巨龙横亘两山头。
鸟憨两江三宝镇，漫江碧透舸争游。
东湖绿道披锦绣，龟山宝塔钻天猴。
抹上鼓刹云遮顶，荆楚风光树一流。
2020.4.30
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