洪一平等：一道四元二次式最小值试题的几个创新解法

Original 洪一平邹生书数学

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公众号“邹生书数学”创建于2018年8月28日。

开号宗旨：为热爱学习和研究的高中数学教师和教研员搭建学习交流平台，提升教学能力，促进专业发展。本公众号致力传播数学文化，发表教研成果，交流教学经验，探讨数学问题，展示解题方法，分享教学资源，为服务高中教学作贡献。

邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

公众号“邹生书数学”诚请高中数学教师、教研员和热爱数学的朋友不吝赐稿。来稿请注明真实姓名、工作单位和联系方式，一般只接受word文档格式的电子稿件，文稿请认真审查，防止错漏，确保无误，文责自负。

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【编者按】洪一平，数学高级教师。83年毕业于浙江大学数学系，后在杭州商学院任高数助教，89年获浙大数学系硕士学位。现任教于浙江省一级重点学校、国家级外语实验学校、浙江省现代教育技术实验学校——平阳中学。在编者创建的《数学解题与写作交流群》和《高中数学解题交流二群》中，洪老师为群里教师答疑解难最多，到目前为止高达四五百道题目，不仅出手快，大都以 PDF文档形式交流，足见洪老师数学功底深厚，题库贮藏丰厚，因此厚积而薄发。洪一平老师是群里教师公认的罕见的解题高手、数学名师，群里朋友纷纷加他为微信好友以便进一步交流学习。

群里朋友绝大多数是教师，教师提出的寻求帮助的题目大多都是综合性强的难题，读者朋友你是否遇到过这些难题？遇到了多少？是否也困惑过？犯难过？为此，公众号《邹生书数学》特别推出：《洪一平解难题专集链接》，希望对大家有所帮助。

一道四元二次式最小值试题的几个创新解法

浙江省平阳中学洪一平

问题:设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1,

a²+b²+c²+d²+ac+bd的最小值=_____

【编者按】上面这道题目是数学解题交流二群的一道群研题，题目是由陕西魏拴文老师提出来的，同时魏老师也分享了自己的解法，浙江温州陈佳文老师和浙江平阳洪一平等老师分享了自己的解法，现由洪一平老师编辑加工整理成文，在公众号邹生书数学推出交流分享。

解法一: 向量法+不等式放缩

(对陈佳文提供原始解法进行完善优化)

解法二: 利用恒等式+三角代换

解法三：利用恒等式+柯西不等式

解法四: 转化为点到直线的距离问题

(增加魏拴文提供解法中的取等条件)

【点评】以上解法都极富创造性，这些解法是怎么想到的？解题者从题目的条件和所证式子的结构征出发，联想到了向量的数量积的坐标公式，联想到了三角形面积的坐标表示，联想到了柯西不等式，联想到了直线方程和点到直线的距离公式。数形结合，从式想到形，从静态的式子想到动态的直线，可谓联想丰富。细心观察，特征联想，大胆猜想，小心求证。观察出想法，联想出奇招。

【作者简介】洪一平,男, 1962年4月出生, 1979年考上浙江大学应用数学系并于83年毕业, 获理学士学位, 毕业后分配到杭州商学院担任高数助教二年, 85年考上浙江大学应用数学系攻读计算机辅助几何设计专业硕士研究生学位, 89年获得理学硕士学位, 毕业后回家乡任教于浙江省平阳中学, 96年评上高中数学高级教师职称, 曾连续二十多年担任高中数学竞赛及培优辅导员。