大罕——怎样讲充要条件，通俗易懂且适用？

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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怎样讲充要条件，通俗易懂且适用？

作者：大罕

若A⇒B，则A是B的充分条件，同时B是A的必要条件。

以上是充分条件和必要条件的精确定义。

如何理解和运用？分三个步骤：

第一步用图示加以理解。画一个大圆B，里面套一个小圆A。由于小圆的点一定在大圆内，即A⇒B，因此A的成立能充分保证B成立，即A是B的充分条件。同时，由于大圆B包含着小圆A，因此点在B内是点在A内必不可少的条件，即B是A的必要条件。这时不妨把小圆代表湖北人，大圆代表中国人加以比喻。

第二步用文字定义加以理解，充分保证结论成立的条件叫充分条件。结论成立必不可少的条件叫必要条件。

第三步用实现解题步骤加以巩固。首先要明确：充要性讲的是两个命题A与B之间是否存在因果关系。在每一具体问题情景下，总有一个命题扮演“条件”角色，另一个命题自然扮演“结论”的角色。

例如“x>3是x>5成立的什么条件？”在这一设问中，“x>3”是条件，“x>5”是结论。

其次掌握如下程式。从条件推到结论叫顺推。顺推成功了叫充分性成立。

从结论推到条件叫反推。反推成功了叫必要性成立。

正推、反推都成功了，叫充要性成立。

顺推、反推均失败，叫既非充分又非必要成立（俗称为“双非”。）

上例中，由“x>3”推“x>5”是考查充分性，这是失败的，故称非充分，即“x>3”是“x>5”的非充分条件。反过来，由“x>5”推“x>3”是考查必要性，这是成功的，故称必要，即“x>3”是“x>5”的必要条件。综上，x>3是x>5成立的必要非充分条件。

讲授充要条件，千万不要过多打比方，也不必动用逻辑知识(逆否命题)，不然越讲学生会越糊涂！这样子“添油加醋”，越添越乱，甚至有可能把自己也绕进去给绕糊涂了。

有人说上述教学过程是让学生“硬套”。是的，就是要硬套，这叫先入为主。实践证明，要使学生一开始就非常清楚透彻，一是不容易，二是不必要，三是可能适得其反。经过一段时间的训练，学生是会明白的。

总之，有如下口诀可供使用：

顺推成功是充分，

逆推成功是必要，

双推成功是充要，

双推失败是双非。

(注：双非是指既非充分又非必要的条件。)

【作者附注】大罕发在《新浪微博》帖文“怎样讲充要条件，通俗易懂且适用？”，一天内点击量竟达5万，涨粉200多枚，且在继续中。太意外了！网友首禾春天(叶士春)说得好：“这说明太多的人渴望找到好办法解决困惑”。受此鼓舞，遂凑句写成如下——

充要条件

大罕

充分保证就充分，

必不可少乃必要。

本是清白还洁去，

名正言顺莫自扰。

人生糊涂识字始，

过度讲解添烦恼。

分清条件与结论，

顺推逆推见分晓。

2020-7-14

大罕（王方汉），男，湖北省武汉市人。著名中学数学高级教师。全国初等数学研究会顾问，广东省初等数学学会顾问。曾任《数学通讯》编委，《中学数学》编委。在国家级和省级刊物上发表数学论文三百余篇，曾获全国初等数学研究大会论文一等奖。编著数学书数本，代表作是《五角星•星形•平面闭折线》(华中师范大学出版社)。《大罕数学诗文》由哈尔滨工业大学出版社出版。

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