张甜甜——习以为常的“完美公式”真的完美吗
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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习以为常的“完美公式”真的完美吗
山西省垣曲中学 张甜甜
高中数学人教A版必修四的主要内容为几何，其中第三章的《直线与方程》一章中少不了要探究两条直线的位置关系，这也是解析几何的常见问题。比如说探究直线l1与l2的平行、垂直等特殊的位置关系，运用点斜式中斜率和截距肯定是非常直观易懂的，但是劣势在于用一般式表达l1与l2方程且含有参数时，学生往往忽略讨论分母为零，即斜率不存在的情形，从而导致参数值的计算出错。在次情形下，大多一线教师往往给学生推理，也大量出现在教辅资料上的系数关系公式:
这一组公式既避免了化为斜截式的计算，又避开了斜率不存在时的“陷阱”，确实非常实用，堪称“完美”。然而这组公式真的能毫无纰漏地解决此类直线平行的问题吗？不妨我们看下下面的例子：
但是事实真的是这样的吗？当我们把a=0代入上述直线时，可以得到x-1=0与x+1=0，显然是平行的，足以说明上面的公式②是有“瑕疵”的。同理代入公式①的学生貌似做出了正确答案a=1/6或a=0，但也仅仅是侥幸而已，因为命题人只需将题干改为：直线2ax+y-1=0与-ax+(3a-1)y-1=0平行，代入公式①的学生一样会在悄无声息中“翻车”。
下面我们来研究一下这两组学生们一直在用，也铺天盖地出现在教辅资料中的“完美公式”出现瑕疵的原因。
但是很遗憾这个正确解却被公式②中的第二个条件舍弃掉了，也就是说公式②是两直线平行的充分不必要条件，而绝非等价条件，所以有时候会舍掉原本正确的参数值，公式①的问题同理不再赘述。
综上所述，上面的公式需要进行些修改才能更加完善、严谨。事实上，
数学是一切自然学科的基础，是思维的体操，追求一丝不苟的科学态度是学生应该养成的习惯，也是这门课的基本素养之一。
肤浅的一些认识，我们共同探讨进步。
【编者按】1.张老师文章最后小结归纳的两直线平行的充要条件分成四种情形，实际上
还可进一步概括归纳整合成如下两种情形：
2.对于已知含有参数的直线方程，当两直线平行时求参数的取值，这类问题编者认为将问题解法“公式化”，没有多大实际意义。一旦问题公式化，解答就变成了套用公式了。这类问题还是采用课本的解法好，对两直线能否化为斜截式进行分类讨论。也可以用直线的法向量进行解答，这样可以避免对直线斜率存在性的讨论。解法的特点是：先必要，后充分（检验）。
下附这个例题的两种解法如下：
用直线的法向量判断两直线平行与垂直有如下结论：
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