邓启龙——三角形的三边长的代数式与面积之间的不等式

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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三角形的三边长的代数式与面积之间的不等式

广东省中山纪念中学(528454)邓启龙

三角形的边长与面积之间存在很多关系,有等式关系,例如海伦公式,也有不等式关系,例如a²+b²+c²≥4√3S.本文深入探究三角形的边长与面积之间的不等式关系,得到了三角形的三边长的各种代数式与面积之间的不等式.

结论1给出三角形的周长与面积之间的不等式.由结论1可得:周长为定值的三角形中,正三角形的面积最大;面积为定值的三角形中,正三角形的周长最小.

推论1给出三角形的三边长的平方和与面积之间的不等式.

2.三角形的三边长的积与面积之间的不等式

结论2给出三角形的三边长的积与面积之间的不等式.由结论2可得:三边长的积为定值的三角形中,正三角形的面积最大;面积为定值的三角形中,正三角形的三边长的积最小.

由均值不等式和结论2可立即推出结论1:

结论3给出三角形的三边长的线性和与面积之间的不等式.由结论3可得:若三角形的三边长的线性和为定值,则三角形的面积有最大值;若三角形的面积是定值,则三角形的三边长的线性和有最小值.

下面结合例题说明结论3和推论3在三角形中的应用.

4.三角形的三边长的线性平方和与面积之间的不等式

结论4给出三角形的三边长的线性平方和与面积之间的不等式.由结论4可得:若三角形的三边长的线性平方和为定值,则三角形的面积有最大值;若三角形的面积是定值,则三角形的三边长的线性平方和有最小值.

下面结合例题说明结论4和推论4在三角形中的应用.

利用以上三角形的边长与面积之间的不等式,可以有效解决有关三角形的三边长的和,积,线性和,线性平方和与面积的最值问题,为解决此类问题提供了简单快捷的方法.

邓启龙，男，1987年3月出生，2005年9月至2009年6月就读于南昌大学数学与应用数学专业，2009年9月至2012年6月就读于中国科学技术大学概率论与数理统计专业，2012年至今任教于广东省中山纪念中学。在《数学通讯》《理科考试研究》《中学数学教学》《中学数学研究（广东）》《中学数学研究（江西）》发表论文近二十篇。