邓启龙——一类条件为abc=1的不等式

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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一类条件为abc=1的不等式

广东省中山纪念中学(528454)邓启龙

在不等式中,经常遇到条件为abc=1的不等式,比如越南不等式专家Can-Hang的一个经典结论,本文称之为定理1.

在证明定理1之前,首先给出本文要用到的不等式.

1.三元均值不等式及常见结论:

有了结论1,笔者利用柯西不等式并结合待定系数法来证明定理1.

由柯西不等式有

柯西不等式是不等式证明的强有力的工具,但在处理一些复杂的不等式问题时,往往难以直接应用柯西不等式,这就需要根据题目的结构特点来进行适当的配凑,其中关键的系数可由待定系数法得到.本文正是利用柯西不等式结合待定系数法,并由结论1得到了关键的系数-4/3,才获得了定理1的非常巧妙的证明.下面给出几个例子来说明柯西不等式结合待定系数法的思路在此类条件为abc=1的不等式证明中的应用.

利用柯西不等式证明此类条件为abc=1的不等式的关键是创设应用柯西不等式的条件,配合一定的变形、构造技巧,这样可使复杂问题简单化,达到事半功倍的效果.若所证不等式的结构较简单,注意到柯西不等式的结论中分子部分的指数为偶数,此时无需利用待定系数法,经过简单尝试和配凑即可利用柯西不等式变形,并利用结论1或均值不等式解决问题.

不等式证明往往没有通法,也没有固定的模式,方法巧妙而灵活.均值不等式和柯西不等式是两个非常重要的不等式,也是证明其他不等式常用的方法和工具.下面再给出几个条件为abc=1的不等式问题,并利用均值不等式和柯西不等式来证明.

下面摘选一些条件为abc=1的不等式,留给有兴趣的读者.

参考文献:

[1] 王永喜,李奋平.一类条件为abc=1型的竞赛题[J].中等数学,2016(11):9-11.

邓启龙，男，1987年3月出生，2005年9月至2009年6月就读于南昌大学数学与应用数学专业，2009年9月至2012年6月就读于中国科学技术大学概率论与数理统计专业，2012年至今任教于广东省中山纪念中学。在《数学通讯》《理科考试研究》《中学数学教学》《中学数学研究（广东）》《中学数学研究（江西）》发表论文近二十篇。