彭光焰——例谈在数学教学中培养学生的估算能力
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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。
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例谈在数学教学中培养学生
的估算能力
湖北省广水市一中 (432700）彭光焰
估算需要学生灵活运用知识.现实生活中有许多问题需要用数学知识去估算，估算方法不能不作为学生的一种能力.在现实生活中，在科学研究中，我们常常需要在信息量不很充分的情况下作出决定或判断，如长短、快慢、轻重等等，有见识和创造力的人总是能够独立思考，科学推理，最后得出较准确的答案.要知道，如果每一个决定事先都要严密论证它的正确性，有时根本没有时间和财力.相反，你较有把握的猜测常常是当时的最佳选择.总之，培养学生估算能力势在必行，符合新课程标准要求.但我们在教学中这方面的训练很少，学生往往习惯严密的推导和准确的计算，甚至有时还没有进行合理的分析，还没有确定正确的数学模型，就似是而非地列出一个个式子大篇幅地演绎推理起来，岂不浪费了很多时间和精力.
1 估算名题欣赏
举个例子，你所在的公司准备推出一种新电话装置，这种装置能够把某人的姓名、公司、地址和电话号码传输到另一个人的电话显示器或打印机上，公司经理要你制定一个销售计划，除了传统的销售渠道——大推销商和电子商店外，你很想知道全国“电话商店”的数量，令人失望的是，这个数字不管是销售研究机构还是政府部门都无法提供，怎么办？
一种方法是去当地的图书馆，从全国各地的电话簿中随机选几本，翻阅登载工商企业的黄页部分，把电话商店一家家数出来.然后，根据你所数的城市中每10万人有多少家商品，来估猜全国电话商店的数量.顺便说一句：这种方法并不是我的“发明”，而是我认识的一位销售专家为一著名电信公司作客户咨询时所采用的方法.
上述电话商店问题属于科学家们所称的著名的“费米难题”，费米就是那位得过诺贝尔奖的物理学家，第一颗原子弹的研制人之一.
2 通过函数图象来进行估算
如果题目告诉了一系列的对应数据，我们通过建立直角坐标系，选择适当的量作横坐标，适当的量作为纵坐标，然后进行描点，再把这些点连接起来，观察所得图象与我们所学的那种函数图象类似，这样我们可以找出相应函数解析式，最后我们可以作出估算.
例1 南方某地市场信息中心为了分析本地区蔬菜的供求情况，通过调查得到家种野菜“芦蒿”的市场需求量和供应量数据（见下表）：
（1）试写出描述芦蒿市场需求量y关于价格x的近似函数关系式；
（2）试根据这些信息，探求市场对芦蒿的供求平衡量（需求量与供应量相等，就称为供求平衡量，近似到1吨）.
解（1）在直角坐标系中，由表1描出数对(x,y)对应的点，由图可知这些点近似地构成一条直线（其中有4个点恰在一直线线），所以芦蒿的市场需求量关于价格的近似函数关系式：
例2 某地区2005年年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表：
试根据此表所给的信息进行预测：
（1）如果不采取任何措施，那么到2020年年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷？
（2）如果从2010年底后，采取值树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠的面积能减少到90万公顷？
解（1）记2006年~2010年分别为第1，2，3，4，5年，则由表可得沙漠面积年增加数与年份x之间的关系，我们可以在直角坐标系中画出它们的图形.
观察得y与x的关系式的图象近似地看成一直线，记成y=kx+b，0.2=k+b,0.4=2k+b,解得k=0.2,b=0,y=0.2x.
因原有沙漠面积为95万公顷，则到2010年年底沙漠面积将大约变为95+0.2×15万公顷，即98万公顷.
答：到2020年年底沙漠面积大约变为98万公顷.
（2）设从2006年算起，第x年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷，由题意得：95+0.2x-0.6(x-5)=90,解得x=20.
答:到2025年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷.
3 直接利用函数解析式进行估算
如果题目告诉的数据较少，在直角坐标系中找出对应点，把对应点连接起来之后，不易观察出它与我们所学的某种函数图象类似，我们就可以直接利用我们所学的有关函数进行估算.
例3 某地区粮食产量自2005年以来发展速度很快，十年来，粮食生产总量统计如下表：
4 利用解析几何知识进行估算
例4 隼的分类
燕隼（sun）和红隼是同属于隼形目集科的鸟类.它们的体形大小如鸽，形略似燕，身体的形态特征比较相似.红隼的体形比燕隼略大.通过抽样测量，已知燕隼的平均体长约为31厘米，平均翅长约为27厘米；红隼的平均体长约为35厘米，平均翅长约为25厘米，近日在某地发现了两只形似燕隼或红隼的鸟.经测量，知道这两只鸟的体长和翅长分别为A（32.65厘米，25.2厘米），B（33.4厘米，26.9厘米）.你能否设计出一种近似的方法，利用这些数据据判断这两只鸟是燕隼还是红隼？（第四届北京高中数学知识应用竞赛初试题）
解 把（31，27），（35，25），（32.65,25.2），（33.4,26.9）看作平面直角坐标系中的点.
可以通过这两只鸟体长和翅长所确定的点与燕隼和红隼的平均体长和平均翅长所确定的点之间的距离的大小来判断他们归属于哪一类.
5 利用立几何知识进行估算
例5 北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在这个节目中曾经有这样一个抢答题：小晰蝎体长15cm，体重15g，问：当小晰蝎长到体长为20cm时，它的体重大约是多少（选择答案：20g,25g,35g,40g）？尝试用有关数学知识分析出合理的解答.（第四届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题）
解 假设小晰蝎从15cm长到20cm，体形是相似的，这时晰蝎的体重正比于它的体积，而体积与体长的立方成正比.
6 搜集有关数据进行估算
例6 估算人口
请你搜集有关的数据，估算一下我国2000年18岁的人口数.（第四届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题）
解 要估算2000年18岁人口数.由于2000年的统计资料我们还不能搜集到，我们根据以往的统计数据进行推算.即根据2000年以前，如1999年、1998年、…、1990年、…、等年份的数据进行推算.
这里给出两种估算方法.一种是用年总人口数除以平均寿命，再根据人口分布情况进行调节，从而推算出18岁的人口数.
另一种我们以1998年的人口统计数据为依据，即根据1998年16岁的人口数来估算2000年18岁的人口数.1998年中国人口统计年鉴中全国分年龄、性别的人口数表显示：1998年全国16岁人口总数为22010千人.全国分年龄、性别的死亡人口状况表显示：1998年16岁到17岁到18岁人口的死亡率分别为1.231%，1.16%.
假设每年的死亡率是个常数，则我们可以做这样的计算.
1999年17岁的人口数等于1998年16岁的人口数减去这些人成长到17岁的过程中死亡的人数.这些死亡人数由1998年16岁的人口数乘以17岁的死亡率得到.
得22010-22010×1.21%=21983（千人）.
2000年18岁的人口数等于1999年17岁的人口数减去这些人成长到18岁的过程中死亡的人数.这些死亡人数由1999年17岁的人口数乘以18岁的死亡率得到.
即21983-21983×1.16%=21957（千人）.
2000年18岁的人口数为21957千人.
注：在不同的资料中收集到的数据可能差异很大.只要说清楚资料的来源，并且推导思路无误，就可以认为答案正确.
费米喜欢用估算题来训练他的学生独立思考问题的能力.
“费米难题”不提供准确解题必需的全部条件.据说，有一次费米问学生们芝加哥市一共有多少位钢琴调音师.见学生们茫然，费米提示把这个问题“分解成一些便于操作的小问题，然后鼓起勇气作猜测和假设.”芝加哥有多少居民？可靠的估算是300万；每个家庭有多少人？平均4人；多少家庭有钢琴？大概三分之一.那么全市大约有25万架钢琴；一架钢琴隔多少时间需要调音？平均5年.那么，芝加哥每年5万架次的钢琴需要调音，每个调音师一天能为多少架钢琴调音？4架，假设他一年工作250天，那么他每年约为1000架钢琴调音.
由此，费米和学生们推测，芝加哥大概有50位钢琴调音师.
这个结果准确吗？事后有人通过电话号簿把芝加哥市的所有钢琴调音师统计出来，统计结果与费米和他的学生们在课堂上那个如同游戏般的猜测十分接近.
7 利用概率知识进行估算
例7 为了估计水库中的鱼的尾数，可以使用以下的方法：
先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中有记号的鱼，设有40尾.试根据上述数据，估计水库内鱼的尾数.
解 设水库中鱼的尾数为n，n是未知的，现在要估计n的值.假定每尾鱼被捕的可能性是相等的，从水库中任捕一尾，设事件A={带有记号的鱼}，可知P(A)=2000/n.
第二次从水库中捕出500尾，观察每尾鱼上是否有记号，其需观察500次，其中带有记号的鱼有40尾，即事件A发生的次数m=40，由概率的统计定义可知
P(A)=40/500.得20000/n=40/500，解得n=2500.
所以，估计水库中约有鱼25000尾.
8 利用其它数学知识进行估算
例8 GDP（Gross Domestic Product）称为国内生产总值.我国这四年的GDP值如下表：
（1）在右边坐标系中画出表示这四年我国GDP的增长曲线，并根据我国近四年来的GDP增长规律，由所绘曲线估计2001年我国GDP值可能在什么范围内？
（2）2000年我国人均GDP值约900美元，如果按7.5%的年平均增长率计，经过10年，在2010年时，可否翻一翻达到人均1800美元水平？试计算你的结果.（要求使用二项式定理进行估算计算）
解（1）图略，若按1997—1999年的规律，2001年将达9.3万亿元；若按1999—2000年规律增长，2001年将达9.6万亿元.
2001年我国GDP值的范围大致为9.3≤y≤9.6（万亿元）.
以上是命题者提供的标准答案.
我们在使用该试卷时，有一位同学得到答案是9.3≤y≤9.99（万亿元）.其理由是1998年比1997年和1998年比1999年都增加了0.4万亿元，2000年比1999年增加了0.7万亿元，由于0.7－0.4＝0.3（万亿元），故2000年比2001年有可能增加1万亿元。故2001年GDP的范围是9.3≤y≤9.99（万亿元）.笔者认为此同学估算有道理.
（2）按7.5%的处均增长率，经10年后，人均GDP值为
上面几例的估算用了数学知识和其它学科知识，除此之外，其它数学知识也可以作为我们估算的理论依据.如向量和统计等有关知识.
为什么估算有时会这样准确？部分原因是“平衡（均）律”在自然界和我们的生活中无处不在.在猜测过程的每一个小问题的关键点，你的推测都有可能过高或过低，但是，如果这样的“点”多取几个，误差就会被抵消了.
最后我们再看一道估算题：
在一艘航行在太平洋上的游船上，导航员称游船正航行在地球上最深的水域----马里亚纳海沟上面.这时，一位游客不小心，把一颗5千克的水晶球掉进了海里，请问，这颗水晶球大概要花多少时间沉到海底？
希望你能自己尝试一下来解答这个问题----请特别注意，这个“大概”，不要怕不准确！
你是否因为“条件不够”而轻易放弃？是否会因为拘泥于细节的准确性而迟迟不愿开口？尤其那两个关键条件----马里亚那海沟的深度和水晶球在海水中下降速度----可能会使你苦苦思索.
它的答案是：马里亚纳海沟深约11千米，水晶球在水中下落的速度约3米/秒.所以，水晶球大约需要1个小时落到海底.
这个答案也能猜出来吗？能！
大家都知道地球的最高点----珠穆朗玛峰的高度接近9千米，根据自然界的“平衡律”，我们可以推测.地球的最低点深度的数量应该与最高点的高度差不多，也在10千米左右.然后再根据你平时的经验：在3米深的游泳池里，一个重物从水面落到池底大约要1秒.有了这两个估计，你就能把答案猜出来了.
估算对人的反应能力和思维水平要求较高，必须根据有关知识进行科学推理，即使是在计算机高度普及的今天，估算能力是各类人才必须具备的能力之一.我们在日常教学中，应注重培养学生的估算意识和估算能力.培养学生估算能力也是新课程标准的要求.
彭光焰老师往期文章链接
16.彭光焰——向量数量积不等式|a|∧2|b|∧2≥(a•b)∧2的解题探究
11.彭光焰：方法与过程并行 巧解与通解并重——也谈2013年重庆市高考理科考试说明样题第17题
10.彭光焰：巧用教材资源 命制高考试题 ——对2014年湖北省高考文科数学第17题的探究
8.彭光焰：从“路径依赖”到“另辟蹊径” ———从几道三角题的解法谈起
7.彭光焰：全面理解 多方转化——一道分式函数最值问题的多角度审视
【作者简介】彭光焰，男，1989年6月毕业于华中师范大学数学系，正高级教师，湖北省特级教师。湖北省广水市第一高级中学副校长。2018年荣获中学数学教育最高奖“苏步青数学教育奖”，湖北省优秀中学数学教师，湖北省骨干教师，湖北省教育科学研究学术带头人，享受湖北省人民政府和随州市人民政府津贴专家，随州市首批学科带头人，随州市首批十大名师。随州市教研室高中数学兼职教研员，随州市高中数学学科核心团队成员，湖北省高中数学名师工作室和随州市高中数学名师工作室主持人，曾被华中师范大学聘为华中师范大学免费师范生导师，曾被《语数外学习》编辑部聘为编委。随州市第一届、第二届政协委员，广水市第五届、第八届政协委员。自1988年4月28日至今，先后在《中国教育报》《数学通报》《中学数学教学参考》《数学通讯》《中学数学》等全国30余家省级以上报刊发表文章160余篇，其中在核心期刊发表论文32篇，主持各级课题5项，参编高中数学教学用书6册，获地级以上教科研成果奖38项。
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