邓启龙——待定系数法解决一类三角函数的最值问题

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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待定系数法解决一类三角函数

的最值问题

广东省中山纪念中学(528454)邓启龙

【高考真题】(2018·全国卷Ⅰ理·16)

已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是 .

分析:函数f(x)中既有sin2x,又有sin2x=2sinxcosx,初看感觉无从下手,只能通过求导来求最值,于是得到解法一.然后观察的结构,发现可以利用不等式来求最值,于是得到解法二,三,四.

解法二把f(x)的表达式转化为三个角的正弦,且这三个角的和是定值,然后利用琴生不等式求出函数最大值.解法三把f(x)的表达式转化为正弦与余弦的乘积,然后利用多元均值不等式求出函数最大值,技巧性很强.解法四利用待定系数法,通过假设f(x)取最大值时sinx,cosx的取值引入参数,并利用结构特点和取等条件构造不等式,最后由系数的比例关系和参数满足的条件求出参数,进而求出函数最大值.

变式探究:

下面通过例题来说明如何利用待定系数法解决这一类三角函数的最值问题.

例1 (第六届世界数学团体锦标赛青年组试题第5题)

例2 (《数学通讯》2018年第12期问题376)

注:如果把sin(x+π/12),sin(x-π/4)展开,将函数整理为psin2x+rsinx+scosx的形式,系数很复杂,最后得到的方程很难解.本文先作代换t=x=π/4,然后将函数整理成qcos2t+rsint+scost的形式,系数简单,最后得到的方程也好解.

邓启龙，男，1987年3月出生，2005年9月至2009年6月就读于南昌大学数学与应用数学专业，2009年9月至2012年6月就读于中国科学技术大学概率论与数理统计专业，2012年至今任教于广东省中山纪念中学。在《数学通讯》《理科考试研究》《中学数学教学》《中学数学研究（广东）》《中学数学研究（江西）》发表论文近二十篇。