邓启龙——三角形边长与面积间的几个不等式

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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三角形边长与面积间的几个不等式

广东省中山纪念中学邓启龙

本文深入探究了三角形的三边长的各种代数式与面积之间的不等式,得到了三角形的边长与面积之间的不等式链.

首先给出本文要用到的引理.

接下来给出三角形的边长与面积之间的不等式.

1.三角形的三边长的和,积,平方和与面积之间的不等式链

结论1给出三角形的周长,三边长的积,平方和与面积之间的不等式.由结论1可得:周长(三边长的积,平方和)为定值的三角形中,正三角形的面积最大;面积为定值的三角形中,正三角形的周长(三边长的积,平方和)最小.

2.三角形的三边长的线性平方和与面积之间的不等式

结论2给出三角形的三边长的线性平方和与面积之间的不等式.由结论2可得:若三角形的三边长的线性平方和为定值,则三角形的面积有最大值.反之,若三角形的面积是定值,则三角形的三边长的线性平方和有最小值.

3.三角形的三边长的高次代数式与面积之间的不等式链

三角形的三边长的高次代数式与面积之间的不等式,可通过降次后利用结论1和结论2得到.下面给出三角形的三边长的三次代数式与面积之间的不等式链.

本文利用均值不等式,柯西不等式以及排序不等式,得到了三角形的边长与面积之间的不等式链.利用这些丰富的不等式,可以有效解决有关三角形的边长与面积的最值问题,为解决此类问题提供了简单快捷的方法.

注：文章发表于《中学数学研究（江西）》2020年第5期

邓启龙，男，1987年3月出生，2005年9月至2009年6月就读于南昌大学数学与应用数学专业，2009年9月至2012年6月就读于中国科学技术大学概率论与数理统计专业，2012年至今任教于广东省中山纪念中学。在《数学通讯》《理科考试研究》《中学数学教学》《中学数学研究（广东）》《中学数学研究（江西）》发表论文近二十篇。