余铁青、李文东——泰勒展式与洛必达法则在超越函数求零点个数问题中的应用

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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泰勒展式与洛必达法则在超越函数求

零点个数问题中的应用

余铁青李文东

广东省中山市桂山中学

很多的时候我们会发现有些题解答起来十分麻烦，但是只要换一种思路，可能带来的不仅仅是把题做对，更多的是思维上的提升。本文我们以泰勒展开和放缩在解答同一道大题中的效率与单纯使用洛必达法则解题效率进行对比，来引发大家对如何审慎选择解题策略进行思考，以期同学们能够在考试中合理选择高效的解题策略，提高实战效率。

（2017年安徽，佛山，淄博三地模拟试题改编）

评注：从上面解答过程可以看出，利用放缩法转化为简单函数取点，取点具有一定的困难，灵活多变，计算复杂，过程冗长，不利于实战解题，同学们思考起来难度也相对较大。

解法2（洛必达法则）

评注：该解法利用构造两个函数的图像交点的方法对原题进行了必要的等价转化，再结合高等数学中的洛必达法则求了极限，利用这两点即可画出草图，极大的优化了解题过程，降低了分类讨论与放缩的难度，有助于高效解题的实现。

由于在高中阶段实际上泰勒展开和洛必达法则在教材中都没有介绍，从解题严谨性角度而言泰勒展开式的本质可以理解为构造不等式求最值问题，是可以进行严格证明的，但洛必达则是极限的化简求值问题，在高中阶段无法进行有效的严格证明，这也就导致在解题中虽然有时候洛必达法则更简洁，但是并不提倡，只能说在时间相对宽裕时用来辅助验证我们解题正确与否。

参考文献：

[1]余铁青.巧用变换主元法解题[J].中学生数学,2020,(第21期)。

作者往期文章链接：

余铁青——不可忽视的自然联想解法

余铁青——直觉与猜想让解题更有灵性

余铁青——估算法解金太阳联考数学多选第12题

作者简介：余铁青，男，江西景德镇人，（1990- ），2015年毕业于贵州师范大学，获理学硕士学位，研究生学历，高中数学一级教师，就职于中山市桂山中学，某国家级数学专业刊物审稿人，广东省第二批STEM教改实验教师。近一年来在全国数学主流期刊录用发表论文40余篇，主要刊物有：中学数学教学参考，中小学数学，中学数学月刊，中学数学，中学数学杂志，中学数学研究（华南师范大学），高中数学教与学，福建中学数学，中学生数学，河北理科教学研究，中学生理科应试，理科考试研究，数理化学习，中学课程资源，数理化解题研究，高中数理化，中学生数理化（约稿），中小学班主任等，获中山市中国高考评价体系高中数学组一等奖，中山市中小学微课一等奖，中山市综合实践活动征文二等奖，活动方案设计三等奖等等。