彭光焰：一道联赛题的多种解法

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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一道联赛题的多种解法

湖北省广水市一中（432700）彭光焰

2005年全国高中数学联赛第一试第一题是：

评注  解法一和解法二都用到了重要不等式，解法一先进行两边平方，然后再用重要不等式，对无理式问题，两边平方是常用的方法；解法二直接利用重要不等式，技巧性要比解法一强.

思路二   利用二次函数

分析   受解法一的启发，我们可以利用二次函数在给定的闭区间上求最值的方法来解决.

评注 由于两边平方之后，出现了(x-3)(6-x)，其它均为常数，又知道了3≤x≤6，这样以来问题就容易解决.用这种方法既可以求出y的最大值，又可以求出了y的最小值.

思路三   利用三角代换

评注 遇到无理式问题，我们尝试用三角知识来解决，三角是处理无理式的有效工具.解法四和解法五均可求出的最大值和最小值.

  思路四   利用等差数列

 评注 遇到a+b=c型问题，我们可以考虑a,c/2,b成等差数列，然后设等差数列的公差来达到解决问题的目的.

思路五   利用向量

思路六  利用解析几何

分析  通过换元，把看起来与解析几何关系不大的问题转化为解析几何问题，然后利用解析几何知识来解决.

评注 代数问题用解析几何知识来解决，体现了代数与解析几何的交汇性.

思路七  利用导数

分析  利用导数知识来求函数最值是导数在高中数学中的用途之一. 

评注  在高中数学中，遇到求函数最值问题一般都可以用导数来解决.

彭光焰老师往期文章链接

【作者简介】彭光焰，男，1989年6月毕业于华中师范大学数学系，正高级教师，湖北省特级教师。湖北省广水市第一高级中学副校长。2018年荣获中学数学教育最高奖“苏步青数学教育奖”，湖北省优秀中学数学教师，湖北省骨干教师，湖北省教育科学研究学术带头人，享受湖北省人民政府和随州市人民政府津贴专家，随州市首批学科带头人，随州市首批十大名师。随州市教研室高中数学兼职教研员，随州市高中数学学科核心团队成员，湖北省高中数学名师工作室和随州市高中数学名师工作室主持人，曾被华中师范大学聘为华中师范大学免费师范生导师，曾被《语数外学习》编辑部聘为编委。随州市第一届、第二届政协委员，广水市第五届、第八届政协委员。自1988年4月28日至今，先后在《中国教育报》《数学通报》《中学数学教学参考》《数学通讯》《中学数学》等全国30余家省级以上报刊发表文章160余篇，其中在核心期刊发表论文32篇，主持各级课题5项，参编高中数学教学用书6册，获地级以上教科研成果奖38项。

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