【重温经典】吴恩达机器学习课程学习笔记七：Logistic回归

【导读】前一段时间，专知内容组推出了春节充电系列：李宏毅2017机器学习课程学习笔记，反响热烈，由此可见，大家对人工智能、机器学习的系列课程非常感兴趣，近期，专知内容组推出吴恩达老师的机器学习课程笔记系列，重温机器学习经典课程，希望大家会喜欢。

吴恩达机器学习课程系列视频链接：

http://study.163.com/course/courseMain.htm?courseId=1004570029

吴恩达课程学习笔记七：Logistic回归

1、 Logistic回归是一种分类算法

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在前面的总结里，介绍了垃圾邮件的分类，以及判断是否为恶性肿瘤的问题。这类问题有一个共同的特点，即输出或预测都可以用是或否来表示，也就是可以用离散值1和0来表示输出。

继续来看一下判断是否为恶性肿瘤的例子，假设有数据集的分布如下，可以利用线性函数来拟合。例如设置阈值为0.5，当输出值（y）大于等于0.5的时候，归类为1。在如下的数据集上结果似乎不错。

如果在数据集上在添加一个如下图最右边的点，这时拟合的线性函数就可能变成蓝色线所示，同样在阈值设置为0.5时，就会有一些点不必要的被错判。这时线性拟合显示出来它极大的缺陷。即对于分类问题，线性回归并不是一个好的算法。

还有一点需要注意，本例中的输出y只在0和1取值，但是用线性拟合，输出值可能会远大于1或远小于0。所以接下来将说明一些关于logistic回归算法的知识，它可以将输出值（预测值）的范围限制在0到1之间。

注意：虽然这里提到了回归，但是logistic是一个分类算法。

2、 假设表示

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为了使输出值（预测值）的范围在0到1，对进行g()函数处理后作为假设函数这里的函数g()称为Sigmoid函数或logistic函数，这也是名字——logistic回归的原来。其中，g(z)的图像如下图右半部分，在z->∞时，g(z)->1；当z->-∞时，g(z)->0，即函数值的范围为0到1。这样得到的假设函数。

假设函数的意义：

由上可知假设函数的范围为0到1，很自然地想到概率。换言之，如果我们对于某一组输入，得到=0.7，即意味着该肿瘤为恶性肿瘤的概率为0.7。用数学表达为，即为在参数及输入x给定情况下，输出y=1的概率。

接下来介绍一下决策边界，它能很好的告诉我们Logistic回归的假设函数在计算什么。

3、 决策边界

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如下图所示，当的值大于0.5时，即的值大于等于0时，预测输出y=1；反之预测输出y=0。

假设有如下左上方的数据集，我们通过某种方式已经求得了参数（具体求解的方法会在后面介绍）=[-3,1,1]，根据前面介绍的可知当预测y=1时，需要满足即；其中对应于图中红色的直线，这条直线在这里就称之为决策边界。如图中所示，在决策边界的上半部分，判定为y=1，下半部分，判定为y=0。

对于如下更为复杂的数据集，同样可以利用logistic回归，但是g()函数的对象将不是简单的线性组合，而是多项式函数。假设我们通过某种方式求得参数分别为[-1,0,0,1,1]，则要使预测y=1,可得，即，此时决策边界为，边界外部判断为y=1，内部判断为y=0。

综上可知，给定了参数，决策边界也就确定了。

4、 代价函数

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如下，有m组数据，每组数据有n个特征，输出值（类别）为0或1。该如何确定参数向量？

如下，在线性回归时，曾定义代价函数如下，现在用来简化求和符号后的表示（即），对于单一的一组数据，则表示成

。

我们知道,最终得到的J(θ)不是凸函数，即存在多个局部最优点，而使用梯度下降法要求J(θ)是凸函数。

由于上述的问题，定义logistic回归的代价函数如下：

1、 当y=1时，只有当时，Cost=0。当时，判断y=1的概率是1，则此时判断错误带来的代价是无穷大的，即Cost值趋向于无穷大。

2、 当y=0时与y=1类似。

后面的总结中会将单组数据的代价函数扩展到整个数据集上，对logistic回归的代价函数简化并使用梯度下降算法。

参考链接：

http://study.163.com/course/courseMain.htm?courseId=1004570029

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