【原创复习资料】沪科版八年级上册数学期末知识点和提高练习汇总（关注平台，获得练习答案）

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今天为八年级的孩子们整理了本学期的所有数学的主要知识点，并在每个单元配备了提升练习，希望在期末复习阶段，能给孩子们的复习提高效率，希望大家多多转发给需要的孩子们！
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八年级上册

复习知识点和同步提升练习

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复习资料

          精编复习资料和章节练习

               第11章  平面直角坐标系

【知识要点】

1.对平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标.

2.x轴和y轴把坐标平面分成四个部分,分别叫做第一、二、三、四象限.各象限内点的坐标符号分别为(+,+)、(-,+)、(-,-)、(+,-).

【温馨提示】

1.点的坐标是用一个序实数对表示的,有顺序要求,即点(a,b)和(b,a)一般不表示同一个点.

2.坐标轴上的点不属于任何一个象限,其纵横坐标的积为0.

3.利用平面直角坐标系描述某些地理位置，坐标系的确定是关键,有些是自由确定,有些要根据题目所给条件进行确定.

【方法技巧】

1.在根据点的位置确定字母的取值范围时,根据题目条件得到不等式组是关键.

2.在坐标系中,求多边形的面积,常通过向坐标轴作垂线,将多边形分割成直角三角形、直角梯形、长方形等的面积和继续计算.

专题一  点的位置与不等式间的关系

1.已知点M（3a－9，1－a）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（    ）.

A.1         B.2         C.3       D.0

2.在平面直角坐标系中，如果mn＞0，那么点(m，∣n∣)一定在（   ）.

A.第一象限或第二象限          B.第一象限或第三象限

C.第二象限或第四象限          D.第三象限或第四象限

3.若点A（a-1,a）在第二象限，则点B（,a-2）在第      象限.

专题二  点的坐标中的开放题

4.若点P（x，y）的坐标满足x＋y＝xy，则称点P为“和谐点”。请写出一个“和谐点”的坐标，答：     .

5.已知点P在第四象限，它的横坐标与纵坐标的和为1，点P的坐标可以是       （只要写出一个符合条件的坐标即可）.

专题三  点的坐标中的规律探究题

6.一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图12-1-10中箭头所示方向运动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（   ）.

A.(4，0)  B.(5，0)  C.(0，5)  D.(5，5)

7.在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…则边长为8的正方形内部的整点的个数为(    )

    A．64．   B．49．     C．36．　　D．25．

专题四  点的坐标中的阅读理解题

8.一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：

①能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；

②对于点（a，b），如果a＞b，则能从（a，b）跳到（a－b，b）；如果a＜b，则能从（a，b）跳到（a，b－a）．

例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：

（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．

请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．

（１）（3,　5）；　（２）（12，60）；　（3）（200，5）；　（4）（200，6）．

第12章  一次函数

【知识要点】

1.在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.

2.函数的表示方法一般有三种:(1)解析式法;(2)列表法;(3)图象法.

3.在函数解析式中,用自变量的值带入求得的值叫做函数值.函数自变量的取值由所给函数解析式确定,要保证函数解析式有意义.

4.函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,当b=0时,叫做正比例函数.

5.一次函数y=kx+b的图象是一条直线,其位置是由k和b来确定的.只要知道一次函数图象两个点的坐标,就可以画出该函数的图象.

6.一次函数y=kx+b有下列性质:当k＞0时,y随着x的增大而增大(图象是自左向右上升的).当k＜0时,y随着x的增大而减小(图象是自左向右下降的).

7.求一次函数的解析式常用的方法是待定系数法.

【温馨提示】

1.常量与变量是相对于一个变化过程而言,变化过程不同,它们可能发生变化,要能具体问题具体分析,防止因知识迁移发生错误.

2.函数的三种表示方法之间是可以相互转化的,在具体的问题中,应选择合理的函数表示方法.

3.弄清一次函数和正比例函数的关系,正比例函数是一次函数的特殊情形,即正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.

4.一次函数的性质可借助函数的图象直观得到,注意“数形结合”思想的合理利用.

5.确定一次函数解析式的基本方法是待定系数法,其实质是二元一次方程组知识的应用.除此以外,还可以根据题目所给基本数量关系或数学公式列出一次函数的解析式.

【方法技巧】

1.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,判断一个关系式是不是函数关系,关键是看自变量取一个值后,是不是只有唯一值与其对应.

2.自变量的取值范围主要考虑:(1)分母中有自变量时,应使分母不能为零;(2)当含有开偶次方的式子时,要保证被开方数非负;(3)自变量的取值要使实际问题有意义.

3.直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的,其中k决定直线从左到右是呈上升趋势还是下降趋势,b决定直线与y轴的交点位置.

4.用待定系数法求函数解析式的一般步骤是:(1)设含有待定系数的函数解析式;(2)把已知条件代入解析式,得到关于待定系数的方程(组);(3)解方程(组),得到待定系数;(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式.

专题一  函数图象信息题

1.下列各图中，是函数图象的是（  ）．

2.在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中,某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S（米）与所用时间 t （秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD . 下列说法正确的是(    ).

A.小莹的速度随时间的增大而增大

B.小梅的平均速度比小莹的平均速度大

C.在起跑后 180 秒时，两人相遇

D.在起跑后 50 秒时，小梅在小莹的前面

专题二  函数中的阅读理解题

4.在密码学中，直接可以看到内容的为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码.有一种密码，将英文26个字母a，b，c，…，z（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格）.当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号y＝；当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号y＝+13.

字母	a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	l	m
序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
字母	n	o	p	q	r	s	t	u	v	w	x	y	z
序号	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26

按上述规定，将明码“love”译成密码是（    ）.

A.gawq          B.shxc            C.sdri             D.love

5.阅读下面材料，再回答问题：

    一般地，如果函数x=f（x）对于自变量取值范围的的任意x，都有f（-x）=-f（x），那么y=f（x）就叫做奇函数；如果y=f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（-x）=f（x），那么y=f（x）就叫做偶函数．

    例如：f（x）=x³+x，当x取任意实数时，f（-x）=（-x）³+（-x）=-x³-x=-（x³+x），即f（-x）=-f（x），因此f（x）=x³+x为奇偶数．

    又如f（x）=│x│，当x取任意实数时，f（-x）=│-x│=│x│=f（x），即f（-x）=f（x），因此f（x）=│x│是偶函数．

问题（1）：下列函数中：

    ①y=x⁴；②y=x²+1；③y=；④y=；⑤y=x+．

    奇函数有_________，偶函数有________（只填序号）．

问题（2）：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数．

 专题三  函数中的规律探究题

6.观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y.

(1)填表：

n	1	2	3	4	5	6	···
y	1	3	7				···

(2)用函数解析式来表示y与n之间的关系.

  专题四  一次函数解析式的确定

7.小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：

请根据图中给出的信息，解答下列问题：

（1）放入一个小球量筒中水面升高_______cm；

（2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？

专题五  一次函数中的开放性问题

8. “一根弹簧原长10cm,在弹性限度内最多可挂质量为5kg的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，                 ，则弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式是y=10+0.5x  (0≤x≤5).”

王刚同学在阅读上面材料时就发现部分内容被墨迹污染，被污染部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是：                     （只需写出一个）．

专题六  一次函数中的实验操作题

9.在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．

（1）实验操作：

在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：

（2）观察发现：

任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数                的图象上；平移2次后在函数               的图象上……由此我们知道，平移n次后在函数               的图象上．（请填写相应的解析式）

（3）探索运用：

点P从点O出发经过n次平移后，到达直线上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q的坐标．

12.4  综合实践  一次函数模型的应用

【知识要点】

1.一次函数y=kx+b,当y=0时,得方程kx+b=0,其解是函数图象与x轴的交点的横坐标.

2.不等式kx+b＞0或kx+b＜0的解集,相当于一次函数y=kx+b的图象在x轴上方或下方时所对应的x的值.

【温馨提示】

1.借助一次函数与一元一次方程间的关系,可以通过解方程的方法得到一次函数图象与x轴的交点的横坐标,也可以用一次函数的图象求一元一次方程的解,但求出的解一般是近似解.

2.利用一次函数求一元一次不等式的解集,更多的是考查对图象的理解能力,这也说明在学习一次函数时,“数形结合”思想在这一章的重要性.

3.用一次函数图象解方程或不等式未必简单,但是能发现它们之间的内在联系,能直观地看到方程的解与不等式的解在图形中的位置.

【方法技巧】

1.由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a、b为常数)的形式,所以解一元一次方程可转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值,从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴的交点的横坐标.

2.由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b＞0或ax+b＜0(a、b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量的相应的取值范围.

3.在用函数图象解一元一次不等式时,对较复杂的不等式应先化简为ax+b＞0或ax+b＜0(a、b为常数,a≠0)的形式,然后作出相应的函数图象进行解决,可使解题过程相对简单.

专题一  函数图象与坐标轴围成的图形面积问题

1.如图，已知两直线y＝－x＋3和y＝2x－1，求它们与y轴所围成的三角形的面积.

 2.如图,△AOB为正三角形,点B的坐标为(2,0),过点C(－2,0)作直线l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等.求直线l的解析式.

专题二  实际应用题

3.某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费．

(1)分别写出甲、乙两厂的收费y_甲 (元)、y_乙(元)与印制数量x (本)之间的关系式；

(2)问：该学校选择哪间印刷厂印制《学生手册》比较合算？请说明理由．

专题三  一次函数模型的应用

4.某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y（元）与复印页数x（页）的关系如下表：

x(页)	100	200	400	1000	…
y(元)	40	80	160	400

⑴若y与x满足初中学过的某一函数关系，求函数的解析式；

⑵现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费.则乙复印社每月收费y（元）与复印页数x（页）的函数关系为                ；

⑶每月复印页数在1200左右应选择哪个复印社？

第13章  三角形中的边角关系

13.1  三角形中的边角关系

              13.2  命题与证明

【知识要点】

1.不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形.

2.三角形的三边要满足:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.

3.三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形,按角分可分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形.

4.三角形的内角和等于180°.

【温馨提示】

1.不是任何三条线段首尾顺次连接都可以组成三角形,这三条线段必须满足三角形的三边关系定理.

2.三角形按边可分为不等边三角形和等腰三角形,其中等腰三角形又包含腰和底边不相等的等腰三角形和等边三角形.

3.三角形的角平分线、高、中线都是线段,在理解这些概念时,可以从画图入手,有助于理解三条角平分线、中线、高交于一点.

【方法技巧】

1.确定三角形个数时,要按照大小顺序或从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数或先固定一个顶点,再确定另外两个顶点来数.

2.判断已知长度的三条线段能否组成三角形的方法是:当三条线段互不相等时,只需要检验较短的两条线段之和是否大于较长线段,若大于则能组成,否则不能组成.

3.在解决与三角形内角有关的问题时,可通过已知条件,设其中的一个角的度数为x,再根据三角形的内角和等于180°列方程或方程组解决.

专题一  三角形边角关系的应用

1．若a、b、c是△ABC的三边，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|.

2.已知a、b、c是三角形的三边，且满足a²+b²+c²－ab－bc－ca=0.试判断三角形的形状.

专题二  三角形中的探究题

3.已知△ABC中,三边长a,b,c都是整数,且满足a＞b＞c,a=8,那么满足条件的三角形共有多少个?

4.湖边上有A，B两个村庄（如图），从A到B有两条路可走，即A→P→B和A→Q→B．试判别哪条路更短，并说明理由．

专题三  三角形中的计算与证明题

5.已知△ABC的高为AD，∠BAD=70º，∠CAD=20º，求∠BAC的度数。

6.如图，已知AB∥DE，试求证：∠A+∠ACD+∠D=360⁰（你有几种证法?）

第14章  全等三角形

14.1  全等三角形

【知识要点】

1.能够完全重合的两个图形叫全等形,能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.

2.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

【温馨提示】

1.利用全等三角形的性质解决问题时,一定要找准对应元素.

2.全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等,但周长、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.

【方法技巧】

1.全等三角形是指能够完全重合的两个三角形,准确的找出两个全等三角形的对应元素是解决全等三角形问题的关键.在表示两个三角形全等时,对应的顶点要写在对应的位置上.

2.全等三角形的对应边相等,对应角相等,利用这两个性质可以说明线段或角相等,以及线段的平行或垂直等.

3.一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置发生了变化,但形状和大小都没有改变,即经过平移、翻折、旋转前后的图形全等.像这样只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小的变换叫全等变换,常见的有平移变换,翻折变换,旋转变换.

专题一  全等三角形的性质及应用

 1.如图,已知△EAB≌△DCE,AB、EC分别是两个三角形的最长边，∠A=∠C=35°，

∠CDE=100°，∠DEB=10°，求∠AEC的度数.

专题二  全等三角形的探究题

2.全等三角形又叫合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形．假设△ABC和△A₁B₁C₁是全等（合同）三角形，且点A与A₁对应，点B与B₁对应，点C与点C₁对应，当沿周界A→B→C→A及A₁→B₁→C₁→A₁环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形，如图1；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形，如图2．

(1) 

(2)

两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻折180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（   ）．

 3.如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE．

    （1）试说明BD=DE+CE；

（2）△ABD满足什么条件时，BD∥CE？

14.2  三角形全等的判定

【知识要点】

1.判断两个三角形全等的方法有:SAS,ASA,AAS,SSS,直角三角形除了上述判断方法外,还可以利用“HL”判断.

2.在已知三边或两边及其夹角或两角及其夹边的情况下,可以利用尺轨作图作出符合条件的三角形.

3.三角形具有稳定性,即三角形三边确定的情况下,其形状和大小就固定了.

【温馨提示】

1.在书写两个三角形全等时,对应的顶点要写在对应的位置上.

2.判断两个直角三角形全等共有五种判定方法,除“HL”外,还可以利用一般三角形全等的方法进行判断.

3.注意全等三角形性质和判定的综合运用.

【方法技巧】

1.证明三角形全等的一般思路是:

(1)如果有两条对应边相等,还应寻找它们的夹角或第三边对应相等;

(2)如果有一个角和一条边对应相等,还应寻找另一个角相等;

(3)如果有两个角对应相等,还应寻找一条边对应相等.

2.证明线段或角相等时,常常先证明线段或角所在的三角形全等.当图形中找不到这些线段或角所在的全等三角形时,应考虑添加适当的辅助线.

专题一  利用全等进行测量

1. 1805年，法国拿破仑率军与德军在莱茵河激战，德军在河北岸Ｑ处，如图，因不知河宽，法军很难瞄准敌军，聪明的拿破仑站在南岸Ｏ处调整好自己的帽子，使视线恰好擦过帽舌边沿看到敌军兵营Ｑ处，然后后退到B点，这时他的视点恰好能落在O处，于是他命令部下测量他脚站的B处与O点之间的距离，并下令按这个距离炮轰敌兵营，法军能命中吗？说明理由．

专题二  全等三角形中的探究题

2.如图所示,在△ABC中, ∠C＝90,AC=10㎝,BC=5㎝,一条线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和过A点且垂直于AC的射线上运动.问P点运动到AC上什么位置时, △ABC才能和△APQ全等 

3.如图(1)，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE.

（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．

（2）若将CD沿CB方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，此时第（1）问中AC与CE的位置关系还成立吗？结论还成立吗？请说明理由．

第15章  轴对称图形与等腰三角形

15.1  轴对称图形

【知识要点】

1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.

2.等腰三角形的两底角相等,等边三角形的三个内角相等,每个内角都等于60°,等腰三角形的顶角平分线垂直于底边并且平分底边.

3.有两个角相等的三角形是等腰三角形,三个角都相等的三角形是等边三角形,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

4.在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【温馨提示】

1.在等腰三角形中,若说边或角时,一般都明确指出是腰还是底边,是顶角还是底角,若题目没说明,要分类讨论.

2.等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角,而底角只能是锐角.

3.等边三角形是特殊的等腰三角形,它不仅具有一般三角形的性质,而且还具有自身特有的性质.

【方法技巧】

1.在与等腰三角形有关的一些命题的证明中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角的平分线、底边上的高、底边上中线是常见的辅助线,具体作哪条,要根据具体问题具体分析.

2.要说明一个三角形是等边三角形,可以考虑:(1)利用定义证明;(2)证明三个角相等;(3)证明它是等腰三角形并且有一个角是60°.

4.平行于等边三角形一边的直线截其它两边或其延长线,得到的三角形仍是等边三角形,解决等边三角形问题时常用这个结果作辅助线.

专题一  轴对称性质的应用

1.如图，直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l的距离分别为2千米，5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　）

专题二  规律探究题

3.通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形.

专题三  操作题

6.将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请你用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形.

图甲                            图乙

15.2  线段的垂直平分线

【知识要点】

1.垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.

2.线段的垂直平分线上的点与线段两端点距离相等,与线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

3.线段的垂直平分线可以看作到线段的两个端点距离相等的所有点的集合.

【温馨提示】

1.某条线段的垂直平分线是直线,不是线段或射线.

2.注意区分线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.

【方法技巧】

1.在证明某条直线是一条线段的垂直平分线时,可证明该直线垂直且平分这条线段,即根据定义证明,也可以证明直线上有不同的两点到这条线段的两个端点距离相等.

2.解与线段的垂直平分线有关的问题时,常先利用线段垂直平分线的性质将条件转化,再结合其他知识解决问题.

专题一  线段垂直平分线知识的应用

1.△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D、E、F分别在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD为EF的中垂线，求证BF=2AD.

2.已知，如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DE=DF．求证：AD垂直平分EF．

    合作学习小组的两位同学在证明以上结论时的过程如下：

    学生甲：因为DE=DF，所以点D在线段EF的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），所以AD垂直平分EF．

    学生乙：因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DF，AD=AD，所以Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）,所以AE=AF（全等三角形的对应边相等），所以A点在线段EF的垂直平分线上，又因为DE=DF，所以点D在线段EF的垂直平分线上，所以AD垂直平分EF．

    分析两位同学的证明过程，指出谁对谁错，并说明错误的原因．

专题二  作图与实际问题

3.A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．

（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．

（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．

15.3  等腰三角形

【知识要点】

1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.

2.等腰三角形的两底角相等,等边三角形的三个内角相等,每个内角都等于60°,等腰三角形的顶角平分线垂直于底边并且平分底边.

3.有两个角相等的三角形是等腰三角形,三个角都相等的三角形是等边三角形,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

4.在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

【温馨提示】

1.在等腰三角形中,若说边或角时,一般都明确指出是腰还是底边,是顶角还是底角,若题目没说明,要分类讨论.

2.等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角,而底角只能是锐角.

3.等边三角形是特殊的等腰三角形,它不仅具有一般三角形的性质,而且还具有自身特有的性质.

【方法技巧】

1.在与等腰三角形有关的一些命题的证明中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角的平分线、底边上的高、底边上中线是常见的辅助线,具体作哪条,要根据具体问题具体分析.

2.要说明一个三角形是等边三角形,可以考虑:(1)利用定义证明;(2)证明三个角相等;(3)证明它是等腰三角形并且有一个角是60°.

4.平行于等边三角形一边的直线截其它两边或其延长线,得到的三角形仍是等边三角形,解决等边三角形问题时常用这个结果作辅助线.

专题一  等腰三角形知识的应用

1.如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点.

专题二  等腰三角形操作题

2.在正方形网格图①、图②中各画一个等腰三角形．要求：每个等腰三角形的一个顶点为格点Ａ，其余顶点从格点Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ中选取，并且所画的两个三角形不全等．

专题三  等腰三角形探究题

3.下面是数学课堂上的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题:

    学习等腰三角形后，庞老师请同学们讨论这样一个问题上：“已知等腰三角形的两边长分别是7㎝，8㎝，请你求出三角形的周长．”

同学们经片刻思考交流后，李刚同学举手说“三角形的周长为22㎝”；王明同学说：“是23㎝”，还有一些同学也提出了不同的看法．．．．．．．

(1)假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？

(2)通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？(用一句话表示)

4.已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N线段CA上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点．

（1）请猜一猜：图①中∠BQM等于多少度？

（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件不变，如图②所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如不成立，请说明理由．

15.4  角的平分线

【知识要点】

1.角平分线上任意一点到角的两边的距离相等.

2.在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

【温馨提示】

1.角平分线性质定理中的“角平分线上的点”是指角的平分线上的任意一点.

2.角平分线性质和判定定理中的“距离”是指点到直线的距离,它是过角的平分线上任意一点向角的两边作垂线,该点与垂足间的距离,是指点到直线的垂线段的长,而不是该点与角的两边上任意一点的距离.

【方法技巧】

1. 利用角平分线的性质可证明两条线段相等, 利用角平分线的判定可证明两个角相等,要注意不要再利用全等三角形证明.

专题一  角平分线知识的应用

1.如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S_△ABC=36cm²，AB=18cm，BC=12cm，求DE的长．

2.已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE

求证：AC－AB＝2BE.

专题二  作图与实际问题

3.夏令营组织学员到某一景区游玩，老师交给同学一张画有直角坐标系和标有A、B、C、D四个景点位置的地图，指出：今天我们游玩的景点E是新开发的，地图上还没来得及标注，但已知这个景点E满足：①与景点A、C和景点B、D所在的两条直线等距离；②到B、C两景点等距离.请你在平面直角坐标系中，画出景点E的位置，并标明坐标（用整数表示）. 

专题三  角平分线中的探究题

4.已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.

（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC；

（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB＝AC；

（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。

5.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过I作DE∥BC交BA于D，交AC于E．

    （1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并选择一个加以证明．

    （2）若AB=7，AC=5，你能求△ADE的周长吗？

（3）作∠ABC与∠ACB的外角平分线，他们相交于点O，过O点作BC的平行线分别交AB、AC的延长线于F、G，你还能发现什么结论？

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编辑 | 罗成

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