4北师大版九下数学1.4 解直角三角形 知识点精讲

知识点总结

3.解直角三角形★★★

解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.

水平线与水平面平行的直线.

铅垂线与水平面垂直的直线.

视线由观测点为端点引出的，通过观测目标的射线.

视角从观测点发出的两条视线的夹角.

方位角以正北方向为始边，按顺时针方向旋转到观测目标的方向线的角.它的数值在0º与360º之间，如图，A点的方位角为30º，B点的方位角为250º.

方向角★★以正北或正南方向为始边，旋转到观测目标的方向线的锐角称为方向角（或象限角）.如图，目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别为北偏东60º、北偏西30º、南偏西45º、南偏东15º.

仰角★★在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，

俯角★★在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角.

坡度★★坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即i=h/l.坡度通常写成的形式，如.

坡角★★坡面与水平面的夹角叫做坡角.

坡度i与坡角α之间的关系：i=h/l=tanα.

要点解析

1.直角三角形中的边角关系

①三边之间的关系：a2+b2=c2

②锐角之间的关系：∠A+∠B=90º.

③边角之间的关系：

重难点及基本题型

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1、什么是解直角三角形

一个直角三角形中，若已知五个元素中的两个元素（其中必须有一个元素是边），则这样的直角三角形可解。

1、在一个直角三角形中，已知一条边和一锐角，或者已知两条边两个元素，才能求出其他元素。

2、解直角三角形:

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，叫做解直角三角形．

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2、解直角三角形的依据：

在直角三角形中，我们把两个锐角、三条边称为直角三角形的五个元素.

图中∠A，∠B，a，b，c即为直角三角形的五个元素.

解直角三角形时，要注意适当选用恰含一个未知数的关系式。

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3、解直角三角形的分类

选用关系式归纳为口诀

已知斜边求直边，正弦余弦很方便；

已知直边求直边，正切余切理当然；

已知两边求一边，勾股定理最方便；

已知两边求一角，函数关系要选好；

已知锐角求锐角，互余关系要记好；

已知直边求斜边，用除还需正余弦；

计算方法要选择，能用乘法不用除。

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4、典型题型

无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应尽量代入已知中的数值，少用在前面的求解过程中刚算出的数值，以减少以错传误的机会。

习题精析

公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，∠B=∠C=120°，∠A=45°．则这块草地的面积为   m²．

解析：

试题分析：

易得∠CDB的度数，连接BD可得一个等腰三角形和一个直角三角形，作出等腰三角形底边上的高，利用∠CDB的正弦值可得等腰三角形底边上的高，进而求得两个三角形的面积，让它们相加即可．

试题解析：

连接BD，过C作CE⊥BD于E，
∵BC=DC=10，∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠1=∠2=30°，∴∠ABD=90°．
∴CE=5，

∵∠A=45°，

已知在△ABC中，∠C=90°，AB=20．
（1）若∠B=45°，求AC、BC的长；
（2）若∠A=60°，求AC、BC的长．

解析：

试题分析：

（1）利用∠B的正弦和余弦值列式计算即可得解；
（2）利用∠A的余弦和正弦值列式计算即可得解．

试题解析：

（1）

市政府决定今年将12000m长的大堤的迎水坡面铺石加固．如图，堤高DF=4m，堤面加宽2m，坡度由原来的1：2改成1：2.5，则完成这一工程需要的石方数为   m³

解析：

试题分析：

由题意可知，要求的石方数其实就是横截面为ABCD的立方体的体积．那么求出四边形ABCD的面积即可解决问题．

试题解析：

∵Rt△BFD中，∠DBF的坡度为1：2，
∴BF=2DF=8，S△BDF=BF×FD÷2=16．
∵Rt△ACE中，∠A的坡度为1：2.5，
∴CE：AE=1：2.5，CE=DF=4，AE=10．
S梯形AFDC=（AE+EF+CD）×DF÷2=28．
∴S四边形ABCD=S梯形AFDC-S△BFD=12．
那么所需的石方数应该是12×12000=144000（立方米），
故答案为：144000．

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若AB=20cm，则DE的长为（　　）

解析：

D

试题分析：

根据等腰三角形的性质易知∠B=30°，AD=10，解Rt△ADE即可．

试题解析：

∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，

∵AB=20，
∴AD=10．
在Rt△ADE中，AD为斜边，∠EAD=60°

故选D． 

某小区要在一块三角形区域种植草皮（如图），已知草皮的成本加上人工费用总计每平方米18元，求种植这块区域总共需要多少元钱？

解析：

试题分析：

作BD⊥AC于D，构造Rt△ADB和Rt△CDB，求出AD和DB及CD，然后求出三角形ABC的面积，从而求出钱数．

试题解析：

作BD⊥AC于D，
在Rt△ADB中，

在Rt△CDB中，CD=BD=6m

∴种植这块区域总共需要

如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置侧倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为30°，向前走20米到达E处，测得点D的仰角为60°已知侧倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米）（　　）

A．30米

B．18.9米

C．32.6米

D．30.6米

答案

【分析】思想利用不等式组根据已知条件确定a的取值范围，求出分式方程的解，求出满足有整数解的a的值即可解决问题；

【解答】

∵不等式组有且仅有三个整数解，

解得-8≤a＜-3．
由分式方程

∵有整数解，
∴a=-8或-4，
-8-4=-12，
故选：B．

【点评】本题考查分式方程的解，一元一次不等式组等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

图文导学

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