8北师大版九下数学2.2 二次函数的图象与性质 知识点精讲
知识点总结
考点梳理
定义与定义表达式：
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二次函数的三种表达式：
一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：
h=-b/2ak=(4ac-b²2；)/4ax1，x2=(-b±√b²；-4ac)/2a
二次函数的图像：
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的性质：
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P[-b/2a，(4ac-b²；)/4a]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
二次函数与一元二次方程：
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax²；+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax²；+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
画抛物线y＝ax²时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
二次函数解析式的几种形式：
1.一般式：y＝ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0).
2.顶点式：y＝a(x-h)²+k(a，h，k为常数，a≠0).
3.两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax²+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)²+k，抛物线的顶点坐标是(h，k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)²的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax²的顶点在原点。如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax²；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax²+k。
定义与定义表达式：
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大。）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量，y是x的函数。
二次函数的三种表达式：
①一般式：y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
②顶点式[抛物线的顶点P(h，k)]：y=a(x-h)²+k
③交点式[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3种形式可进行如下转化：
①一般式和顶点式的关系
对于二次函数y=ax²+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a，(4ac-b²)/4a)，即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b²)/4a
②一般式和交点式的关系
X1，X2=[-b±√(b²-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
二次函数图像的性质：
1.二次函数(a0)的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点是原点(0,0)。
(1)二次函数图像怎么画
作法：①列表：一般取5个或7个点，作为顶点的原点(0,0)是必取的，然后在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点;②描点：一般先描出对称轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点;③连线：按照自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接所描的点，两端无限延伸。
(2)常用知识点及解题方法
1. a， b， c 与函数图像的关系
（1） a 决定抛物线的开口大小与方向， |a|决定抛物线开口大小。
a>0， 开口朝上；
a<0， 开口朝下。
|a|越大，开口越窄；
|a|越小， 开口越大。
图文导学
点击下方“阅读全文” 观看更多微课视频