教知识还是教方法，那什么是方法？为什么甚至小学老师都要深刻理解学科大图景？

授人以鱼不如授人以渔，绝大多数人都会同意。因此，教知识肯定不如教方法。问题是，什么是知识，什么是方法，在具体场景中方法指的是什么呢？

先举一个简单的例子。很大一部分的历史题确实都可以看做知识题，但是其实，就算很像知识题的也可以尝试使用“系联性思考”来求解。我们来看看几个这样的例子。这个时候“系联性思考”就是方法。

上面这道题需要区分哪些是半坡文明的东西哪些是河姆渡文明的东西。当然，这些结论在历史教材中都有，如果你记住了，那只要调用那段记忆，就能完成这道题。但是，你也可以这样想：半坡文明在中国的北方（黄河流域），河姆渡文明在中国的南方（长江流域）；前者雨水少，不适合种水稻（适合粟之类的，现在北方也还是很普遍），土质坚硬，适合建半地下的居所（今天都有窑洞），后者雨水多，适合种植水稻，土质疏松，不适合建半地下的居所，而且得把房子从地面抬起来（今天还有类似的吊脚楼）。也就是说，这个背后，是地理科学的典型思想“因地制宜”——一个地方的生活和生产很大程度上受地理位置（和这个地理位置导致的气候特点）的影响。

那么，这个问题的答案以及得多这个答案的过程中需要的南北方的地理和气候以及生活生产的特点，就是知识，可以通过逐条记忆和检索来达到学习的目的，而这里的“因地制宜”和“系联性思考”（运用因地制宜来把生产生活和地理知识联系起来）就是方法。

可是，问题来了，进一步，你还可以这样来处理这个方法：你记住上面的思考的过程，也就是，如果遇到这个半坡文明和河姆渡文明的问题，你就通过南北方地理位置和气候特点来想，就能得到答案。也就是说，这道题的解法成了专门针对这道题（或者非常像的其他题）的解题套路。那么，这个时候，“因地制宜”算方法还是算知识？

当然，根本上，这个到底记住解题过程解题套路算知识还是算方法的问题，得从学生学习以后的迁移能力、迁移跳跃程度来看。如果说，学生确实理解了并且以后能够运用“因地制宜”、“系联性思考”来解决没有考过的新问题甚至世界的实际问题，则就是真的学会了方法，而不仅仅是（甚至不是）知识。

我记得还有其他类似的历史题，什么公元前150年，下列那些东西可能已经出现在中国，选项里面包含什么文字（甲骨文、金文、篆体）、钱币的图片。当然，你也可以记住这些知识，但是，更重要的是，你想一想秦国统一中国的时间点，以及秦国在统一中国的文化经济等进程中的作用。另一方面，你还是可以把这样的解题思路变成需要记忆的知识——只要出现不同朝代的问题和货币，就去和公元前221年比较一下。于是，还是会出现，到底什么是知识，什么是方法的问题。

当然，前面我们已经说了，可以适用于大量的问题的思维方式，才算方法，适用于具体问题或者稍微推广了一点点迁移了一点点的套路算知识，当然具体问题的答案肯定算知识。可是问题还是存在：什么是“大量”，什么是“具体”，什么是“迁移了一点点”，什么是“迁移了很多”？因此，其实，这些方法，在设计课程的时候，是要明确提炼出来的。

下面的例子就对于方法和知识的区分提出了更严重的挑战。

今天有位老师分享了一个鸡兔同笼问题的讲课视频，主要通过画图来解决问题。例如，先按照头的数量分开画好一个个的头，然后给每个头配上两只脚（因为无论是鸡还是兔子至少有两只脚），接着看看这些脚是不是已经和题目里面的脚的数量一样了，如果不够，就每个头下面添上两只脚（只能把鸡变成兔子，变的时候就是加上两只脚），直到脚的数目和题目里面的一样。说，上面这个过程：画全头——每个头添两只脚——补齐脚，就可以看做求解鸡兔同笼问题的方法。说，这个方法好，很容易懂。是的，对于低年级孩子们来说，上面的画图过程的讲解确实会帮助孩子们得到答案，也没准可以帮孩子们想明白。

但是，问题来了，这个画图过程（画全头——每个头添两只脚——补齐脚）是知识呢，还是方法？我们前面说了，这个得看迁移。在上面提到的课程视频里面，没有这方面的内容，也看不到这位老师在这方面的努力。那么，什么是迁移，如何体现呢？

比如说，我们来看看一个很小的迁移。保持还是鸡和兔子，改改头和脚的数量，上面的画图流程是不是还能得到答案？基本上可以。尽管课程没强调，但是，画头的关键是按照“头的数量（记为A）”来画我想学生应该是能自己想到的，补齐的时候，得在脑子里面做一个累加或者减法——当前脚的数目和总的脚的数目（记为B）的减法——和除法，我想，学生也是容易想到的。

我们再来看一个稍微更加复杂一点的迁移，假如说，改成一个三只脚和一个五只脚（别问我它们是什么）的动物，学生还会吗？这里的关键是得把画脚和补齐脚这两步里面的“画”和“补”的数目和题目的信息联系起来。这个联系，最好的学生可能可以，稍微差一点的，就得老师在讲课的时候来点拨一下。也就是说，老师需要考虑到将来可能的迁移，做有重点有目的的提升。这个点拨和提升，实际上就是抽象化，一般化，使得这个方法适用的类可以更大。

我们接着来看更加复杂的迁移，例如说，改成一个两分钱的硬币和五分钱的硬币，给定硬币的总数和钱的面额之和，学生还会吗？硬币没有头没有脚，不好直接套用上面的画的流程。于是，学生们就得把硬币的总数和动物的头的数量联系起来，把硬币的面额之和和总的脚数联系起来。这个联系，就不是非常容易的了。大部分学生可能都得老师点拨和提升一下才行。因此，同样的，老师在上课的时候需要考虑到将来可能的迁移，做有重点有目的的提升。

甚至，我们还能够找到比上面的画画流程更好的思维方式，来解决鸡兔同笼之一类问题，并且非常容易就能够迁移到硬币这样的情形。比如说，给那个脚少的（或者面额少的）动物先做几个假的脚，是的它看起来在头和脚的意义上和另外那种动物一样。然后，我们来看看这时候多了几只脚。这也是我小时的办法。当然，我们也可以反过来，把脚多的动物的脚绑起来，使得它看起来和少的一样，然后，看看少了几只脚。这个方法为什么会更好呢？你看，一旦迁移到硬币，我们只需要把那个面额少的硬币贴上一个小纸条强行升值补齐就行。

当然，还有更加聪明的人，说，你让兔子和鸡都留下一半的脚，这个时候，剩下的脚比头多的数目，就是兔子的数目。还有很多非常神奇的所谓的方法。

因此，看起来这些方法就是一个能够得到鸡兔同笼这一类（注意，这个类越大越好，但是，还要足够具体）问题的答案的一个思维方式。但是，你看，你很难明确定义那个类到底指的是什么。而且，你也没法穷尽这些“巧妙”的思维方式。那，数学是怎么来解决这个问题的呢？

数学的解决方法是：把事物之间的关系变成算式（这是思考），把算式的求解独立出来成为流程或者规范（这不需要思考）。同时，这个关系或者说算式的形式，就是类的明确的定义。用到鸡兔同笼最一般的类的问题上，这就是

H_{1} x + H_{2} y = A（两种分别有H_{1}、H_{2}个头的动物合起来有A个头）

F_{1} x + F_{2} y = B（两种分别有F_{1}、F_{2}只脚的动物合起来有B只脚）

然后，求解的标准流程是上下式分别乘以一个数之后来相减从而去掉一个未知数，得到

x=(F_{2}A-H_{2}B)/(F_{2}H_{1}-H_{2}F_{1}),

y=(F_{1}A-H_{1}B)/(F_{1}H_{2}-H_{1}F_{2}).

回到具体的鸡兔同笼的问题上，H_{1}=H_{2}=1, F_{1}=2, F_{2}=4，因此，

x=(4A-B)/(4-2),

y=(2A-B)/(2-4)=(B-2A)/(4-2).

你再看这两个算式。第二个就是，先画头A，再给每个头画两个角2A，接着看看缺几只脚(B-2A)，最后每次补两(4-2)只脚，看看需要补几次(B-2A)/(4-2)。第一个就是先强行补上两（4-2）只脚，于是都是四只脚，得到4A，看看多了几只脚(4A-B)，最后多出来的看看是补了几次(4A-B)/(4-2)。你会发现，无论哪一种“巧妙”的方法，不过就是把上面两个算式做了一个思维过程的表述。然而，如果你真的懂数学，你会发现，这些个思维过程完全没有意义，这是纯粹计算——已经找到计算方法的纯粹计算不是数学，不需要人类的进一步思考了！

也就是说，这些所谓的方法，从根子上说，都是瞎折腾！真正的“方法”就在：把事物和关系转变成数学表达式，把数学表达式和数学表达式的计算分开！仅此而已。因此，在数学的形式语言和人类的自然语言（还有你大脑里面的对事物和关系的理解）之间做翻译，才是真正的数学方法，其他都是奇技淫巧或者套路或者记忆下来的知识，而不是真正的方法。因此，无论任何时候，都需要帮助学生体会到这个翻译才是方法！

当然，你说，在不能给学生讲未知数和方程、方程的求解的时候，上面那些“巧妙思维”有没有用，那还是有的。可是，只有老师做好有目的有重点的指点和提升——冲着具体问题能够体现好的学科大图景去点拨和提升，去一般化、抽象化——的时候，这些方法才接近方法，否则又回到了套路、记忆性知识。

这也是为什么小学老师，甚至幼儿园老师，都应该是学科专家，懂得学科大图景、懂得学科大图景到具体知识以及从具体知识到学科大图景的联系，才能做好这个点拨和提升，从而实现帮助学生在学习知识的前提下，学会方法，学会产生知识的方法。

再一次回到鸡兔同笼问题，求解方程不是解决问题、产生知识的方法，而是流程化的知识，把事物和关系转变成数学表达式这个翻译的能力才是解决问题、产生知识的方法。

当然，更加进一步的问题是，是否存在这一个表格，里面有所有的关系和这个关系对应着什么样的表达式，于是，甚至这个翻译能力也可以被“表格+穷举法”代替？如果我们不考虑新的关系和新的算式的诞生，那原则上应该是可以的。不过，一方面，我们还会遇到新的关系需要表达和计算，另一方面，对人类大脑来说“表格+穷举法”的效率也远远比不上学会翻译（待从脑科学来检验，没准翻译不过就是用的很熟的很高级的“表格+穷举法”？）。

如果我们暂时接受翻译不等于“表格+穷举法”，那么，老师在教学中应该尽量从具体知识和具体问题走到学科大图景，从学科大图景走到具体知识和具体问题，做有重点有目的的点拨和提升。

如果做不到，那么，也就是一个教书匠，而不是老师，没有传道，没有解惑，也就可能授了点业。当老师，不启发学生思考，不教学学生方法，不如回家卖红薯（尽管做了这些赚的钱也不如回家卖红薯，）。