教你一招第2期（线性代数）

 图片取自同名电影Spectral，中译名幽冥。请允许我用它来打个广告：

 在以矩阵为战场的所有战斗中，谱（spectral）是令你万战不败的首要核心装备！在线性代数的疆场里，要做一个靠谱的士兵，首先就要把谱装备起来！

作者按：

在我四年的大学生涯中，在学术上，我最大的收获是，培养起对线性代数的兴趣，这要特别感谢我的高等代数老师，天津大学数学院的田代军教授。田老师讲课充满激情，板书井井有条，思路清晰，无懈可击。课堂之外，他指引我去读雅各布森（N. Jacobson）的《基础代数》和《抽象代数学》（这两本书都有中译本），我由此接触到近代数学的思想（我特别要提及群作用的观念，那是我第一次感受到如此普适而有趣的观念），并对线性代数有了更深刻的认识。直到现在，我对矩阵问题尤其是特征值问题，还是情有独钟。

我今天特别想跟大家分享的，就是田老师当年教我的一个小绝招，叫谱分解。谱（spectral），就是矩阵的特征对（特征值与对应的特征向量）的全体。谱分解是通常的谱定理的一个等价表述，在某些情况下，用起来比普通的谱定理更方便。最近，在我与同事合作的一项研究工作中，就用到了这个谱分解技巧。

我最想跟读者分享的，只有这一句：正如你要看一个人，就要看他/她的灵魂，你要搞清楚一个矩阵（或线性变换），就要看它的谱。谱，就是矩阵（或线性变换）的灵魂！

学过线性代数、用过线性代数的人会有经验，线性代数中最主要的一个定理是所谓的谱定理：实对称矩阵正交相似于对角阵。所以毫不奇怪，历年的数学一考研题中的线性代数题目，大题往往分为两类，一类是讨论线性方程组，一类就是考察这个谱定理。

据笔者统计，自1987到2016共30年间，在数学一考研真题中，有16年以大题的形式（平均分值在10分左右）考察了谱定理。结论是：考你就考谱定理。（我若命题，必考无疑；不考谱定理，命题人会被视为“不靠谱”。）为方便考研的朋友，相关的16道真题附录在文末，有兴趣的读者可以作为测试。

谨以此文向我的线性代数启蒙老师田代军教授致敬！多亏了田老师和其他老师一直以来的鼓励和教导，我今天才有机会登上讲台做一名大学老师，讲授美妙有趣的数学。记得田老师当初教我（那一次答疑，只有我一个）这个妙招时，老师的得意之情溢于言表。今日我借微信号传您妙招，再次体会到您当年金针度人的美妙心情！                                                                                     

——   林开亮，于 西北农林科技大学   理学院，2017年5月11日