教你一招第3期（化非齐次常系数线性微分方程为代数同余方程）

             张国荣在演唱《有谁共鸣》

作者按：Resonance，常常翻译为共鸣，在物理中是个专门的术语，称为“共振”，描述的那类现象跟光电效应有点类似。我想读书写作各种形式的交流，最重要的一点，就是找到共鸣。对于本文，初稿写成后，我曾发给好几位朋友一睹为快，有引起共鸣的，如 MIT的 G. Strang 教授（他的线性代数公开课在MIT公开课排名No.1），他曾在5月22日答复我：

Dear Kai-Liang

That is a nice way to organize the calculation .

It is true that we hear more about the method of undetermined coefficients（注：待定系数法）.

My website  math.mit.edu/dela  has a preprint that I called ``Nice functions" that mightbe interesting to read.

Best wishes in all your work !

       我当然很高兴 Strang 教授能用“nice”来评价我所这里所建议的一种方法，多年前我曾写信向他求教线性代数的问题。

      我在念本科时就学数学，但读得最多的书，不是数学，而是《红楼梦》。

我常觉得曹公对宝玉的几句批语尤其适用于我：

无故寻愁觅恨，有时似傻如狂。纵然生得好皮囊[当然不适用于我]，腹内从来草莽。潦倒不通世务，愚顽怕读文章。行为偏僻性乖张，那管世人诽谤[现在还朝着这个目标取极限呢]！富贵[改为“吊儿郎当”]不知乐业，贫穷难耐凄凉。可怜辜负好韶光，于国于家无望。天下无能第一，古今不肖无双。

现在回想起来，真是惭愧遗憾：如此美妙的数学世界，当时几乎完全没感觉到它的存在。韩愈说“闻道有先后，术业有专攻”，我觉得好像没说没有说尽，我感觉更像是“悟道有快慢，数学实连通。”

我是典型的后知后觉。比方说，等到我成为一个大学老师讲授微积分时，我才对这个科目有了感觉，慢慢摸索到门路。而我体会最深的，莫过于我研究生时遇到的一位同学（后来他从北大得博士后放弃数学做了高官）的中的一语：“微积分很简单，就两招，微分和积分。”很明显，他比我天分高出许多。当我教了一年书，对此有共鸣时，心底突然涌来熟悉的旋律：“啊！多么痛的领悟！”

今天想跟诸位朋友分享的，也是我最近才突然领悟到的一点心得：将中国古代数学中精妙的“求一术”（北宋秦九韶所创、又经清代黄宗宪改进）与英国物理学家亥维赛（Oliver Heaviside，1850-1925）系统发展的“算子演算方法”珠联璧合，可以有效地求解微分方程和差分方程。这一方法，比通常教科书中介绍的“待定系数法”以及“微分算子法”，要更自然、更本质。

我要指出，我并没有说，这一招就是我始创，不过我确实发现了这个方法，经历了豁然开朗的美妙瞬间。既然“腹内从来草莽”的我都能想到，推己及人，

那么很可能别人早就想到了。抱歉的是，我查了一些文献，并没有找到相关的记录。（希望了解相关文献的朋友能告诉我，邮箱[e-mail]。）

无论如何，我早就知道，对许多很基本的课题的最好阐述，大多数在国内都未出版。所以要学到最好的东西，就必须跟人交流，而不能仅限于书本。这也是我创立这个平台的初衷之一。欢迎各位朋友为数学纵贯线供稿（邮箱如上）。

正文：

故事要从我读到的一本数学物理科普书谈起。有一天，我翻到彭罗斯（R. Penrose）的名著The Road to Reality(有中译本，但翻译得很糟）第493-494页，读到下面一段文字：

【其中第一段引文的末尾有一个关于微分方程的脚注如下：

】

致谢：感谢天津大学理学院物理系刘云朋教授、数学系田代军教授、中央民族大学数学系王兢教授、美国劳伦斯伯克利国家实验室邵美悦博士对初稿提出了诸多有益评论！