2022 年期末考试总结

由于去年 12 月初的防控政策突然 540 度大转弯, 一时间感染人数激增, 各高校慌了手脚, 赶紧把学生都撵回家, 最后一两周的课都成了线上课, 两周的期末考试周也成了假期的一部分. 有史以来最长的假期结束后, 延期的期末考试也如约而至, 新学期的开始也成了旧学期的结束. 不过, 不要以为假期是一个很好的复习时间, 根据经验或者教训, 假期有很多事情做, 唯独没有时间复习——至少我在假期里问学生的时候得到的都是这样的回答, 当然不能排除学生暗自发力、默默用功的可能性.

考试结果还算正常, 均分 75 分左右. 然而一道题的得分率有点异常.

问题 1  设 是数域 上 阶对称矩阵的全体, 试求 上所有与 中矩阵都可交换的方阵.

期末试卷中第一道是简单题, 第二道是填空题, 第三至八道是计算和证明题. 这是第三题, 可以归为送分题的行列, 然而这道题的得分率只有 , 仅高于最后一题的 . 因为类似的题目是课上的练习题, 也是一道经典的问题.

问题 2  求与数域 上所有 阶方阵都可交换的方阵.

为了做这道题还会有一些辅助的作业题.

问题 3  (1) 设 , 且 互不相同, 求与 可交换的矩阵的全体.

(2) 设

, 试求所有与~ 可交换的矩阵.

这些辅助题实际上在提醒学生们: 做这种问题的方法其实不难, 只要找几个特殊矩阵试试, 就能把范围缩小, 从而发现所要求的矩阵是什么样的. 然而对于这种要尝试的问题, 很多学生始终不得要领. 我重点关注了几个学生的情况, 不出所料, 期末的那道题果然不会做. 关注他们的原因是以前在课上问过他们一些类似需要一点尝试的问题, 他们完全没有头绪. 令人沮丧的是, 这种问题早在大学入学时就存在, 一学期后似乎也没有多少改观.

大一入学的问题

最早可以追溯到大一高等代数的第一节课上. 我通常会让学生们思考如下问题从而引出数域的概念.

问题 4 (1) 从 出发, 反复运用加、减、乘、除四则运算可以得到哪些数?

(2) 从 出发, 反复运用加、减、乘、除四则运算可以得到哪些数?

一些学生会被 (1) 难住; 更多的学生会对问题 (2) 束手无策. 一方面, 他们写不出所有能得到的数；另一方面, 即使他们得到了所有数也说不清楚为什么不能再得到其他数了. 顺便说一下, 有时候我会把问题 (2) 换一个问法, 让学生们求最小的包含 的数集使得该数集在四则运算下封闭. 这个所谓的“最小”的要求能搞晕大部分学生, 他们的解答千奇百怪, 角度之刁钻令人叹为观止, 逻辑之混乱让人瞠目结舌. 让人不由怀疑中学数学到底讲不讲逻辑性?

上课时讲了上述问题的解答, 并且举了一些新的例子, 接着我留了一道作业题:

问题 5 试求所有映射 使得对任意 有

或许有人说中学生没学过“映射”这个高深的概念, 那就改成函数好了, 因为这儿的 本来就是函数. 这个问题实际上是埋下一个伏笔, 为的是以后的 Galois 理论, 当然中间还需要一个桥梁—— 线性空间和线性变换. 前两天讲到了, 于是我又把这道题拿出来问学生们. 结果连续好几个学生都回答得驴唇不对马嘴, 完全没有思路. 当然也有学生知道这就是以前的一道作业题. 因为上个学期开始时的作业是在线提交的, 网站上还存着. 我特地去网站查了一下作业情况, 结果发现一些学生当时就不会做, 助教还特地指出要把这道题重做! 但是很明显, 学生们没好好对待助教的意见. 更离谱的是, 有的学生当时的作业写的是对的, 现在也完全没有思路了——当然这种情况本司空是见惯了的.

有时候很不理解: 不少学生们进入大学学了半年, 依葫芦画瓢为什么还很吃力? 而稍微需要一点探索的问题则完全可以难倒一片. 即使没有以前做过的练习, 上面这类问题也算不上有多大难度, 只需要多试一试, 为什么大学生们失去了尝试的能力和勇气? 在过去的 20 年里, 我也一直试图用类似的问题引导学生去探索, 可是对很多人来说效果几乎没有. 问题到底出在哪?

一个小实验

问题 4 是小学生能看懂的, 于是我问了一个小学六年级学生, ta 自学了一部分初中数学, 基本素质还不错. 小朋友很快答出了 (1) 的答案是所有有理数, 并且知道有理数做四则运算只能得到有理数, 从而不可能得到其他数. 在回答 (2) 的时候, 小朋友遇到了一点麻烦, 因为对无理数还不太熟悉, 误以为 是新的数. 我花了几分钟从一个具体例子出发来引导 ta 摸索分母有理化, 走了一点弯路后 ta 明白了平方差公式在这儿的用途, 从而给出了 (2) 的回答是 .

我也让这个小朋友做问题 5, ta 遇到了一点小麻烦: 不熟悉映射的概念. 尽管如此, ta 还是做了一些有益的尝试. ta 首先得到 ; 当然这里 ta 忽略了 从而 的情况, 其原因是 ta 不清楚 算不算映射. 然后 ta 得到在 的情况下, 对任意有理数 , ——这是很重要的一步! 最后, ta 又得到 ; 这里 ta 忽略了 的情况, 因为 ta 对平方根还不熟悉, 这应该是八年级的内容. 当我给 ta 解释清楚映射的概念时, 小朋友已经能比较清晰且完整地给出解答了.

目前, 我没有条件去找更多的小学生来尝试这些问题, 不知道是否有更多的小学生们能做这样的探索; 而在大学课堂上的反应则让我觉得很多学生已经不敢尝试或者不愿意尝试, 也许更糟糕: 不会尝试. 过去的几年里, 也接触了好几个高中生, 遇到问题不会尝试的现象是或多或少都存在. 这是不是说明在中学课堂上他们缺乏探索的机会, 以至于都失去了探索的能力?

中学的一些现象

曾经参加一个杂志社的座谈会, 会上我提到大学新生的普遍问题. 随后一位中学校长说, 他们对于刚入学的高中生也很失望——于是接力棒被传到了初中. 目前没听到初中老师说对刚入学的初一学生很失望, 否则棒子要打在小学身上了. 在同一个座谈会上, 另一位中学校长说起了一件有意思的事情. 一位老教师与一位新来的年轻教师同时教高一数学, 有经验的老教师本来在很多方面能给年轻教师起到传帮带的作用, 然而第一次月考的结果令人大跌眼镜: 老教师班的成绩比新教师班差了一大截! 话说年轻教师是如何创造奇迹的呢? 因为两者的教学方式不一样. 老教师是慢工出细活, 循序渐进地讲解概念, 通过例题一步步引导学生来理解主要结论; 而年轻教师讲究短平快, 几分钟把概念、结论讲一下, 不多解释, 直接要求学生们用结论做题, 老教师一节课上可能只能讲五道题, 而年轻教师在同样的时间里或许可以讲十五道题, 在短期之内学生们的做题量是别的班的好几倍, 在月考之中效果凸显就可以理解了.

一次月考并不能说明什么, 毕竟高中三年是一段不短的时间. 可惜我们看不到了这两种方式最终效果的对比, 因为老教师在那次月考之后就被换了岗——家长们造反了, 群起而攻之, 硬生生逼着学校把教师换了! 对这种事情早有耳闻, 不知道是不是很普遍, 毕竟我和中学老师的交流很少, 而难得有几位有所了解的包括从网上看到的中学老师似乎并不是种类型的. 然而我并不知道其比例能占多少, 至少在我接触到的中学生身上, 我看到了教学的烙印: 当他们用到一些结论的时候, 我问这些结论怎么得到的, 通常的回答是不知道, 因为老师上课时不讲. 而有一定教学经验的人应该知道, 一些经典的结论的证明思想非常重要, 很多问题不能用结论本身解决, 而能用相关结论的证明方法来解决. 至少我以为, 一个结论是如何得到的, 甚至前人是如何想到这个结论的, 都是很有意义的问题, 值得花时间探索.

不切实际的想法

我疑心是在那些短平快的教学过程中, 学生们慢慢失去了尝试的本能, 因为他们没有机会尝试, 也没有必要尝试, 因为“正确”的方向已经被指出来了. 这样久而久之, 不会尝试反而成了本能, 以至于要摆脱这一陋习需要经过很长的时间、付出很大的努力.

如何才能让学生们敢于尝试, “不惮于前驱”呢? 一直有一个不切实际的想法: 高考数学试卷能不能改变现在的八股模式, 而变得灵活一些? 比如增加一些尝试性的问题. 我很喜欢出的一类问题是, 给一个结论让学生们判断是否正确, 并且要说明理由. 实践证明, 这种问题给学生们带来的困扰很大, 即使是一个很简单的问题. 如果告诉学生结论是对的, 要求证明之, 或者说这个结论是错的, 要求举反例, 那这个问题就会简单得多——虽然举反例对很多学生来说也是很困难的. 这样的问题就是在考察学生的尝试的能力: 如果一时看不出结论, 可以先走正方向, 尝试证明结论; 证明遇到困难, 可以试试举反例——遇到的困难在提示举反例的方向; 反例举不出来, 可以再来证明它——举反例过程中得到的经验教训说不定是证明的合理思路. 这样的周而复始实际上也是数学研究过程中的常态, 也应该是学生们求学过程中的常态.