贝叶斯分析应用杂谈
来源：谷歌 （Brandon Rohrer）
前言
当谈论贝叶斯理论的时候，往往离不开经典统计学的讨论。
Stephen Stigler传统统计学有7大板块：汇总(Aggregation)，边际效应(the law of diminishing information)，概率(likelihood)，横向比较(intercomparisons)，回归和多元分析(regression and multivariateanalysis)，试验设计(design)，模型和残差(models and residuals)【1】。
贝叶斯的发展就是建立在7大板块的局限性，而它的广泛使用则是建立在计算机各种算法的发展上。传统统计学的中心思想是概率，而概率的基础是大数定理，这样意味着其他的板块的结论在样本不足的情况下不具备代表性。这时贝叶斯理论就可以弥补这些缺点，更加全面的考虑影响概率的因素，同时结合数据的客观性给出结论。
以抛硬币为例，假设200次试验抛硬币，记录正面朝上的次数，那么抛一枚硬币正面朝上的概率是多少？很多人的直觉是50%，但这个数值对于任何硬币而言都是成立的吗？
答案当然是不。
如果我们现在换种问法，假设抛一枚正面密度大于反面密度的硬币，并且只允许抛5次的情况下，此时正面朝上的概率是多少？一个简单的例子就道出经典统计学的弊端，可想而知，在心理学和社会学的错综复杂的大背景下，经典统计的举步维艰和贝叶斯统计的灵活便是显而易见的。
理论基础
贝叶斯统计分析主要基于样本信息和先验信息的，前者是对样本加工获得总体的概率分布，后者是试验设计前的猜测。本质上，某个具有不确定性的参数(parameter)被看作随机变量，根据经验，在实验前该参数被假设被假设服从某个概率分布，当样本/数据进来时，所相信的假设被更新。
似然函数(likelihoodfunction) ，也可以被叫做数据模型，和先验分布(prior distribution) 就是该理论的两大核心。通常情况下，分母部分可视为常数，贝叶斯公式便可简写成
先验分布可粗分为三类，以正态分布(Normal distribution)为例：
贝叶斯应用
贝叶斯统计分析在社科领域中应用最为广泛的方面：
1. 多层统计模型(Hierarchical Statistical Modeling)
适用于：因组变化而变化的参数(parameter)和数据(data)；
模型一般形式：
计算目标：
边际密度函数是后验密度函数的部分积分之后的结果，实际应用中，直接的数值计算是困难的，此时Gibbs sampler可以帮助我们进行后验抽样从而导出结果。
实例介绍：贝叶斯模型GLM 用R 的实现
Intro toBayesian (Multilevel) Generalised Linear Models (GLM) in R with brms
GeneralisedLinear Models with brms
(https://www.rensvandeschoot.com/tutorials/generalised-linear-models-with-brms/) 这篇tutorial 详细介绍了如何用R brms进行贝叶斯GLM(genearlised linearmodels) 分析（目前小编正在联系作者，争取推送到公众号）
2. 贝叶斯决策分析(Bayesian analysis of making choice)
适用于：0或1响应变量(binary response)
模型一般形式：
第i次观测数据的结果不是0就是1，服从参数为的伯努利分布。协变量或者预测变量通过一个函数变换(link function)与预测值联系, 函数变换将二元相应变量映射到实数空间。函数变换的选择：
后验密度函数：
同样地，直接地计算是不可行的，随机游走Metropolis算法通过迭代近似估计后验密度，该算法可在MCMCpack包内找到。
参考文献
1.https://blogs.sas.com/content/iml/2014/08/05/stiglers-seven-pillars-of-statistical-wisdom.htmlor https://yihui.name/cn/2014/09/seven-pillars/
本文作者：吴诗雅
关于作者：就读于Utrecht University, 研究课题集中于 Bayesian Adaptive Survey Design， 擅长R和贝叶斯分析。