陈晓阳：南京玄武2024-2025七上期中压轴题解析·初中数学|晓阳韶归来

昨天看到玄武区七上数学期中试卷，最后一道压轴题难度较大，主要是最后一问，于是我也做了做。

分析：这个题目出的比较新颖，是道典型的新定义类型问题，需要数形结合的数学思想。首先得读懂题意，弄清楚什么是n倍巧点，其实就是线段长度的比值是n，利用这个可以构造等量关系式。

第一问：送分题，直接算下线段长度做比值就知道了。

第二问1：利用方程思想求解，这里线段长度可以用绝对值表示，列出绝对值等式，求解绝对值方程，对初一学生来说，不会平方求一元二次方程，那就老老实实的分类讨论去绝对值，无非分三种情况讨论：点在E的左侧，点在EF之间、点在F右侧，这是运动问题，通常讨论的顺序是从左到右运动，最后求解出来的x需要考虑是不是在前面所讨论的范围内。

第二问2：这问并不难，只要PE=3PF，因为不确定F在哪侧，需要讨论，只存在如图的两种情况，E不可能在FP之间，因为那样PE<PF了。画图也简单，用圆规截取线段长度，然后做3倍长度即可，属于基本功问题了。

第三问：这问最难， 主要是繁琐，对于初一学生来说，全是字母的讨论可能不适应，难度较大，这里受上面的启发，M点也按照XY的位置分三种情况运动式讨论，当然由于n是大于1的整数，所以MX长度大于等于MY的长度，所以图中M1位置不可能，所以只存在M2和M3的情况。而且M2处表示最小数，M3表示最大数。下面还得求最小数的最小值，以及最大数的最大值，这是难点。

这里核心还是利用MX=nMY的等式求出m表示的数，然后把n看作是个变量来讨论，这里需要用个技巧，就是分数变形，因为分子分母都含n，那就去掉分子的n，构造分子n+1或者n-1进行约分，实际上就是函数思想，对于M2处求得的关于x和y的式子，这里x-y<0,那么x-y/n+1分子小于0，那么表示的数随着n的增大而增大，所以n=2时取最小值。

对于M3处求得的关于x和y的式子，这里y-x>0,那么y-x/n-1分子大于0，那么表示的数随着n的增大而减小，所以n=2时取最大值。

点评：这题出的很精彩，又是新定义类型的问题，同时将绝对值及其几何意义，综合进行考察，最后一问较难，要求可能对初一学生过高了，需要一定的函数思想。