其他
最美公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（积分篇）
The following article is from 长尾科技 Author 长尾君
历史上，我们对世界物质世界的认识经历了好几次大革命。
第一次大革命是以牛顿定律为代表的力学革命。它建立了一个世界观，认为万物都是由粒子组成的，而粒子的运动是由牛顿定律来描写的。
第二次大革命是以麦克斯韦方程为代表的电磁革命。它统一了三种看起来很不相同的自然现象：电、磁和光现象，并特别指出光其实就是一种电磁波（一种由电磁相互转变而引起的波动性）。
更近期的两次物理革命是相对论革命和量子革命。这些物理革命对人类产生了极其巨大的影响。轮船、火车、汽车、飞机、照明、收音机、电视、计算机、手机、塑料、医药，等等
每次物理革命都不是一个人完成的，而是由很多英雄来缔造的。
今天的文章给读者介绍一下电磁革命的来龙去脉，以及这些改变人类文明的革命是如何在探索和好奇中被发现的。
麦克斯韦方程组以一种近乎完美的方式统一了电和磁，并预言光就是一种电磁波，这是物理学家在统一之路上的巨大进步。很多人都知道麦克斯韦方程组，知道它极尽优美，并且描述了经典电磁学的一切。但是，真正能看懂这个方程组的人却不多，因为它不像质能方程、勾股定理这样简单直观，等式两边的含义一眼便知。毕竟，它是用积分和微分的形式写的，而大部分人要到大学才正式学习微积分。
不过大家也不用担心，麦克斯韦方程组虽然在形式上略微复杂，但是它的物理内涵却是非常简单的。而且，微积分也不是特别抽象的数学内容，大家只要跟着我们的思路，看懂这个“最伟大”的方程也不会是什么难事。01电磁统一之路电和磁并没有什么明显的联系，科学家一开始也是独立研究电现象和磁现象的。这并不奇怪，谁能想到闪电和磁铁之间会有什么联系呢？ 1820年，奥斯特在一次讲座上偶然发现通电的导线让旁边的小磁针偏转了一下，这个微小的现象并没有引起听众的注意，但是可把奥斯特给高兴坏了。他立马针对这个现象进行了三个月的穷追猛打，最后发现了电流的磁效应，也就是说，电流也能像磁铁一样影响周围的小磁针。
消息一出，物理学家们集体炸锅，立马沿着这条路进行深入研究。怎么研究呢？奥斯特只是说电流周围会产生磁场，那么这个电流在空间中产生的磁场是怎么分布的呢？比方说一小段电流在空间某个地方产生的磁感应强度有多大呢？这种思路拓展很自然吧，定性地发现某个规律之后必然要试图定量地把它描述出来，这样我不仅知道它，还可以精确地计算它，才算完全了解。
三个月，在奥斯特正式发表他的发现仅仅三个月之后，毕奥和萨伐尔在大佬拉普拉斯的帮助下就找到了电流在空间中产生磁场大小的定量规律，这就是著名的毕奥-萨伐尔定律。也就是说，有了毕奥-萨伐尔定律，我们就可以算出任意电流在空间中产生磁场的大小，但是这种方法在实际使用的时候会比较繁琐。 又过了两个月之后，安培发现了一个更实用更简单的计算电流周围磁场的方式，这就是安培环路定理。顺便，安培还总结了一个很实用的规律来帮你判断电流产生磁场的方向，这就是安培定则（也就是高中学的右手螺旋定则）。 至此，电生磁这一路的问题“似乎”基本解决了，我们知道电流会产生磁场，而且能够用安培环路定理（或者更加原始的毕奥-萨伐尔定律）计算这个磁场的大小，用安培定则判断磁场的方向。那么，我们现在知道怎么单独描述电和磁，知道了电怎么生磁，秉着对称的思想，我怎么样都要去想：既然电能够生磁，那么磁能不能生电呢？ 奥斯特在1820年发现了电生磁，但由于种种原因，直到11年后的1831年，天才实验物理学家法拉第才发现了磁生电的规律，也就是电磁感应定律。法拉第发现磁能生电的关键就是：他发现静止的磁并不能生电，一定要变化的磁才能生电。
发现电磁感应定律之后，我们知道了磁如何生电，有了安培环路定理，我们就知道电流如何产生磁场。乍一看，有关电磁的东西我们好像都有解决方案了。其实不然，我们知道安培环路定理是从奥斯特发现了电流周围会产生磁场这一路推出来的，所以它只能处理电流周围产生磁场的情况。
但是，如果没有电流呢？如果压根就没有导线可以形成电流，如果仅仅是电场发生了变化，那么这样能不能产生磁场呢？大家不要觉得我胡搅蛮缠，你想想，根据电磁感应定律，变化的磁场是可以产生电场的。所以，我会反过来猜想变化的电场能否产生磁场并不奇怪。而这，正好是安培环路定理缺失的部分。 于是，麦克斯韦就对安培环路定理进行了扩充，把变化的电场也能产生磁场这一项也添加了进去，补齐了这最后一块短板。 到这里，电和磁的统一之路就走得差不多了，麦克斯韦方程组的基本形式也呼之欲出了。这里大家可以先考虑一下：我们都知道麦克斯韦方程组描述了经典电磁学的一切，而且它是由四个方程组成的。那么，如果让你选择四个方程来描述电磁里的一切，你大致会选择什么样的四个方程呢？ 此处思考一分钟 …… 我不知道大家是怎么考虑的，反正我觉得下面这条思路是很自然的：如果要用四个方程描述电磁的一切，那么我就用第一个方程描述电，第二个方程描述磁，第三个方程描述磁如何生电，第四个方程描述电如何生成磁。嗯，好巧，麦克斯韦方程组就是这样的。 所以，我们学习麦克斯韦方程组，就是要看看它是如何用四个方程优雅自洽地描述电、磁、磁生电、电生磁这四种现象的。接下来我们就来一个个地看。02库仑的发现在奥斯特发现电流的磁效应之前，人类已经单独研究电研究了好长时间，人们发现电荷有正负两种，而且同性相斥，异性相吸。后来库伦发现了电荷之间相互作用的定量关系——库仑定律，他发现电荷之间的作用力跟距离的平方成反比。也就是说，如果把两个电荷之间的距离扩大为原来的两倍，这两个电荷之间的作用力就会减少为原来的四分之一，扩大为三倍就减少为九分之一。 这跟引力的效果是一样的，引力也是距离扩大为原来的两倍，引力的大小减少为原来的四分之一。为什么大自然这么偏爱“平方反比”规律呢？因为我们生活在一个各向同性的三维空间里。 什么意思？我们可以想想：假设现在有一个点源开始向四面八方传播，因为它携带的能量是一定的，那么在任意时刻，能量达到的地方就会形成一个球面。而球面的面积公式 S=4πr²（r为半径），它是跟半径的平方 r² 成正比的，这也就是说：同一份能量在不同时刻要均匀地分给 4πr² 个部分，那么每个点得到的能量就自然得跟 4πr² 成反比，这就是平方反比定律更深层次的来源。
因此，如果我们生活在四维空间里，我们就会看到很多立方（三次方）反比的定律，而这也是科学家们寻找高维度的一个方法。许多理论（比如超弦理论）都有预言高维度，科学家们就去很小的尺度里测量引力，如果引力在一个很小的尺度里不再遵循平方反比定律，那就很有可能是发现了额外的维度。 好了，从更深层次理解了静电力遵循平方反比定律后，要猜出静电力的公式就是很简单的事情了。因为很明显的，两个电荷之间的静电力肯定跟两者的电荷量有关，而且还是电荷越大静电力越大，加上距离平方反比规律，两个电荷之间的静电力大致就是下面这样的了：
这就是我们中学学的库伦定律：两个电荷之间的静电力跟两个电荷量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比，剩下的都是常数。q1、q2就是两个电荷的电荷量，ε0 是真空的介电常数（先不管它是啥意思，知道是个跟电相关的常数就行了），我们熟悉的球面积公式 S=4πr² 赫然出现在分母里，这是三维空间平方反比规律的代表。
库伦定律是一个实验定律，也就说库伦做了很多实验发现两个电荷之间确实存在着一个这样大小的静电力，但是它并没有告诉我们这个静电力是如何传递的。两个并没有接触的物体之间存在某种力，一个常见的想法就是这两个物体之间存在着某种我们看不见的东西在帮它们传递作用力，那么这种东西是什么呢？有人认为是以太，有人认为是某种弹性介质，但是法拉第说是力线，而且这种力线不是什么虚拟的辅助工具，而是客观的物理实在。它可以传递作用力，也可以具有能量。这些思想慢慢形成了我们现在熟知的场。03电场的叠加有了场，我们就可以更加细致地描述两个电荷之间的相互作用了。为什么两个电荷之间存在这样一个静电力呢？因为电荷会在周围的空间中产生一个电场，这个电场又会对处在其中的电荷产生一个力的作用。这个电场的强度越大，电荷受到的力就越大，正电荷受力的方向就是这点电场的方向。所以，电场具有大小和方向，这是一个矢量。 为了直观形象地描述电场，我们引入了电场线。电场线的密度刚好就代表了电场强度的大小，而某点电场线的切线方向就代表了该处电场的方向。一个正电荷就像太阳发光一样向四周发射电场线，负电荷就汇集电场线。
如上图，我们把一个球面分割成了很多块，这样每一个小块就变成了一个长为 dx，宽为 dy 的小方块，这个小方块的面积 da=dx·dy。如果这个小块的电场强度为 E，那么通过这个小块的电通量就是 E·da。如果我们我们把这个球面分割成无穷多份，那么把这无穷多个小块的电通量加起来，就能得到穿过这个曲面的总电通量。 这个思想总体来说还是很简单的，只是涉及到了微积分最朴素的一些思想。如果要我们具体去计算可能就会比较复杂，但是庆幸的是，我们不需要知道具体如何计算，我们只需要知道怎么表示这个思想就行了。一个小块 da 的电通量是 E·da，那么我们就可以用下面的符号表示通过这个曲面 S 的总电通量：
这个拉长的大 S 符号就是积分符号，它就是我们上面说的微积分思想的代表。它的右下角那个 S 代表曲面 S，也就是说我们这里是把这个曲面 S 切割成无穷小块，然后对每一块都求它的通量 E·da，然后把通量累积起来。至于这个大 S 中间的那个圆圈代表这是一个闭合曲面。08方程一：高斯电场定律总之，上面这个式子就代表了电场 E 通过闭合曲面 S 的总电通量，而我们前面说过高斯电场定律的核心思想就是：通过闭合曲面的电通量跟这个曲面包含的电荷量成正比。那么，这样我们就能非常轻松地理解麦克斯韦方程组的第一个方程——高斯电场定律了：
方程的左边，我们上面解释了这么多，这就是电场E通过闭合曲面 S 的电通量。方程右边带 enc 下标（enclosed）的 Q 表示闭合曲面内包含的电荷总量，ε0是个常数（真空介电常数），暂时不用管它。等号两边一边是闭合曲面的电通量，另一边是闭合曲面包含的电荷，我们这样就用数学公式完美地诠释了我们的思想。 麦克斯韦方程组总共有四个方程，分别描述了静电、静磁、磁生电、电生磁的过程。库伦定律从点电荷的角度描述静电，而高斯电场定律则从通量的角度来描述静电，为了描述任意闭合曲面的通量，我们不得不引入了微积分的思想。我们说电通量是电场线通过一个曲面的数量，而我们也知道磁场也有磁感线（由于历史原因无法使用磁场线这个名字），那么，我们是不是也可以类似地建立磁通量的概念，然后在此基础上建立类似的高斯磁场定律呢？09方程二：高斯磁场定律磁通量的概念很好建立，我们可以完全模仿电通量的概念，将磁感线通过一个曲面的数量定义为磁通量。因为磁场线的密度一样表征了磁感应强度 B（因为历史原因，我们这里无法使用磁场强度）的大小。所以不难理解，我们可以仿照电场把磁感应强度为 B 的磁场通过一个平面 a 的磁通量 Φ 表示为 Φ=B·a。 同样，根据我们在上面电场里使用的微积分思想，类比通过闭合曲面电通量的做法，我们可以把通过一个闭合曲面 S 的磁通量表示为：
然后，我们可以类比高斯电场定律的思想“通过闭合曲面的电通量跟这个曲面包含的电荷量成正比”，建立一个高斯磁场定律，它的核心思想似乎就应该是：通过闭合曲面的磁通量跟这个曲面包含的“磁荷量”成正比。 然而这里会有个问题，我们知道自然界中有独立存在的正负电荷，电场线都是从正电荷出发，汇集于负电荷。但是自然界里并不存在（至少现在还没发现）独立的磁单极子，任何一个磁体都是南北两极共存。所以，磁感线跟电场线不一样，它不会存在一个单独的源头，也不会汇集到某个地方去，它只能是一条闭合的曲线。
上图是一个很常见的磁铁周围的磁感线，磁铁外部的磁感线从 N 极指向 S 极，在磁铁的内部又从 S 极指向 N 极，这样就形成一个完整的闭环。 如果磁感线都是一个闭环，没有独立存在的磁单极，那我们可以想一想：如果在这个闭环里画一个闭合曲面，那么结果肯定就是有多少磁感线从曲面进去，就肯定有多少磁感线从曲面出来。因为如果有一根磁感线只进不出，那它就不可能是闭合的了，反之亦然。 如果一个闭合曲面有多少根磁感线进，就有多少根磁感线出，这意味着什么呢？这就意味着进去的磁通量跟出来的磁通量相等，那么最后这个闭合曲面包含的总磁通量就恒为0了。这就是麦克斯韦方程组的第二个方程——高斯磁场定律的核心思想：闭合曲面包含的磁通量恒为0。 通过闭合曲面的磁通量（B·a 是磁通量，套个曲面的积分符号就表示曲面的磁通量）我们上面已经说了，恒为0无非就是在等号的右边加个0，所以高斯磁场定律的数学表达式就是这样的：
对比一下高斯电场定律和高斯磁场定律，我们会发现他们不仅是名字相像，思想也几乎是一模一样的，只不过目前还没有发现磁荷、磁单极子，所以高斯磁场定律的右边就是一个0。我们再想一想：为什么这种高斯XX定律能够成立？为什么通过任意闭合曲面的某种通量会刚好是某种量的一个量度？
原因还在它们的“平方反比”上。因为电场强度和磁感应强度都是跟距离的平方成反比，而表面积是跟距离的平方成正比，所以前者减小多少，后者就增加多少。那么，如果有一个量的表示形式是前者和后者的乘积，那么它的总量就会保持不变。而通量刚好就是XX强度和表面积的乘积，所以电通量、磁通量就都会有这样的性质。 所以，再深思一下就会发现：只要一种力的强度是跟距离平方成反比，那么它就可以有类似的高斯XX定律，比如引力，我们一样可以找到对应的高斯定律。数学王子高斯当年发现了高斯定理，我们把它应用在物理学的各个领域，就得到了各种高斯XX定律。麦克斯韦方程组总共就四个方程，就有两个高斯定律，可见其重要性。 静电和静磁方面的事情就先说这么多，还有疑问的请咨询高斯，毕竟这是人家独家冠名的产品。接下来我们来看看电和磁之间的交互，看看磁是如何生电，电是如何生磁的。说到磁如何生电，那就肯定得提到法拉第。奥斯特发现电流的磁效应之后，大家秉着对称性的精神，认为磁也一定能够生电，但是磁到底要怎样才能生电呢？不知道，这就得做实验研究了。10电磁效应既然是要做实验看磁如何生电，那首先肯定得有一个磁场。这个简单，找两块 N 极和 S 极相对的磁铁，这样它们之间就会有一个磁场。我再拿一根金属棒来，看看它有没有办法从磁场中生出电来。因为金属棒是导电的，所以我把它用导线跟一个检测电流的仪器连起来，如果仪器检测到了电流，那就说明磁生电成功了。
法拉第做了很多这样的实验，他发现：如果金属棒放在那里不动，是不会产生电流的。（这是自然，否则就是凭空产生了电，能量就不守恒了。如果这样能发电，那我买块磁铁回家，就永远不用再交电费了。）
然后，他发现金属棒在那里动的时候，有时候能产生电流，有时候不能产生，要是顺着磁感线的方向运动（在上图就是左右运动）就没有电流，但要是做切割磁感线的运动（在上图就是上下运动）就能产生电流。打个通俗的比喻：如果把磁感线想象成一根根面条，只有把面条（磁感线）切断了才会产生电流。 再然后，他发现金属棒在磁场里不动虽然不会产生电流，但是如果这时候改变一下磁场的强度，让磁场变强或者变弱一些，即便金属棒不动也会产生电流。 法拉第仔细总结了这些情况，他发现不管是金属棒运动切割磁感线产生电流，还是磁场强度变化产生电流，都可以用一个通用的方式来表达：只要闭合回路的磁通量发生了改变，就会产生电流。我们想想，磁通量是磁场强度 B 和面积 a 的乘积（B·a），切割磁感线其实相当于改变了磁感线通过回路的面积 a，改变磁场强度就是改变了B。不管是改变了a还是B，它们的乘积 B·a（磁通量）肯定都是要改变的。 也就是说：只要通过曲面（我们可以把闭合回路当作一个曲面）的磁通量发生了改变，回路中就会产生电流，而且磁通量变化得越快，这个电流就越大。 到了这里，我们要表示通过一个曲面的磁通量应该已经轻车熟路了。磁通量是B·a，那么通过一个曲面 S 的磁通量给它套一个积分符号就行了。于是，通过曲面S磁通量可以写成下面这样：
细心的同学就会发现这个表达式跟我们高斯磁场定律里磁通量部分稍微有点不一样，高斯磁场定律里的积分符号（拉长的S）中间有一个圆圈，这里却没有。高斯磁场定律说“闭合曲面的磁通量恒为0”，那里的曲面是闭合曲面，所以有圆圈。而我们这里的曲面并不是闭合曲面（我们是把电路回路当成一个曲面，考虑通过这个回路的磁通量），也不能是闭合曲面。因为法拉第就是发现了“通过一个曲面的磁通量有变化就会产生电流”，如果这是闭合曲面，那根据高斯磁场定律它的磁通量恒为0，恒为0那就是没有变化，没变化按照法拉第的说法就没有电流，那还生什么电？ 所以，我们要搞清楚，我们这里不再是讨论闭合曲面的磁通量，而是一个非闭合曲面的磁通量，这个磁通量发生了改变就会产生电流，而且变化得越快产生的电流就越大。上面的式子给出的只是通过一个曲面 S 的磁通量，但是我们看到了最终决定电流大小的并不是通过曲面的磁通量的大小，而是磁通量变化的快慢。那么这个变化的快慢我们要怎么表示呢？ 我们先来看看我们是怎么衡量快慢的。比如身高，一个人在十二三岁的时候一年可以长10厘米，我们说他这时候长得快；到了十七八岁的时候可能一年就长1厘米，我们就说他长得慢。也就是说，我们衡量一个量（假设身高用y表示）变化快慢的方法是：给定一个变化的时间dt（比如一年，或者更小），看看这个量的变化dy是多少，如果这个量的变化很大，我们就说它变化得很快，反之则变化得慢。 因此，我们可以用这个量的变化 dy 和给定的时间 dt 的比值 dy/dt 来衡量量这个量 y 变化的快慢。所以，我们现在要衡量磁通量变化的快慢，那就只需要把磁通量的表达式替换掉上面的y就行了，那么通过曲面S的磁通量变化的快慢就可以这样表示：
这样，我们就把磁生电这个过程中磁的这部分说完了，那么电呢？一个闭合回路（曲面）的磁通量有变化就会产生电，那这种电要怎么描述？11电场的环流可能有人觉得，磁通量的变化不是在回路里产生了电流么，那么我直接用电流来描述这种电不就行了么？不行，我们的实验里之所以有电流，是因为我们用导线把金属棒连成了一个闭合回路，如果我们没有用导线去连金属棒呢？那肯定就没有电流了。 所以，电流并不是最本质的东西，那个最本质的东西是电场。一个曲面的磁通量发生了变化，它就会在这个曲面的边界感生出一个电场，然后这个电场会驱动导体中的自由电子定向移动，从而形成电流。因此，就算没有导线没有电流，这个电场依然存在。所以，我们要想办法描述的是这个被感生出来的电场。 首先，一个曲面的磁通量发生了改变，就会在在曲面的边界感应出一个电场，这个电场是环绕着磁感线的，就像是磁感线的腰部套了一个呼啦圈。而且，这个磁通量是增大还是减小，决定了这个电场是顺时针环绕还是逆时针环绕，如下图：
如果我们从上往下看的话，这个成闭环的感生电场就是如下图所示：它在这个闭环每点的方向都不一样，这样就刚好可以沿着回路驱动带电粒子，好像是电场在推着带电粒子在这环里流动一样。
这里，我们就要引入一个新的概念：电场环流，电场的环流就是电场沿着闭合路径的线积分。这里有两个关键词：闭合路径和线积分。闭合路径好说，只有路径是闭合的，才是一个环嘛，感生电场也是一个环状的电场。 电场的线积分是什么意思呢？因为我们发现这个感生电场是一个环状电场，它在每一个点的方向都不一样。但是，我们依然可以发动微积分的思想：这个电场在大范围内（比如上面的整个圆环）方向是不一样的，但是，如果在圆环里取一个非常小的段 dl，电场 E 就可以看做是恒定的了，这时候 E·dl 就是有意义的了。然后把这个环上所有部分的 E·dl 都累加起来，也就是沿着这个圆环逐段把 E·dl 累加起来，这就是对电场求线积分。而这个线积分就是电场环流，用符号表示就是这样：
积分符号下面的C表示这是针对曲线进行积分，不同于我们前面的面积分（下标为S），积分符号中间的那个圆圈就表示这个是闭合曲线（电场形成的圆环）。如果大家已经熟悉了前面曲面通量的概念，我想这里要理解电场在曲线上的积分（即电场环流）并不难。 这个电场环流有什么物理意义呢？它就是我们常说的电动势，也就是电场对沿着这条路径移动的单位电荷所做的功。我这里并不想就这个问题再做深入的讨论，大家只要直观地感觉一下就行了。你想想这个电场沿着这个回路推动电荷做功（电场沿着回路推着电荷走，就像一个人拿着鞭子抽磨磨的驴），这就是电场环流要传递的概念。而用这个概念来描述变化的磁产生的电是更加合适的，它既包含了感生电场的大小信息，也包含了方向信息。12方程三：法拉第定律所以，麦克斯韦方程组的第三个方程——法拉第定律的最后表述就是这样的：曲面的磁通量变化率等于感生电场的环流。用公式表述就是这样：
对比一下这两个法拉第定律，我们发现后面这个只是把那个变化率从原来的针对整个磁通量移到了只针对磁场强度 B（因为B不是只跟时间t有关，还可以跟其它的量有关，所以我们这里必须使用对时间的偏导的符号∂B/∂t），也就是说它只考虑变化磁场导致的磁通量变化。这种形式跟我们后面要说的法拉第定律的微分形式对应得更好，这个后面大家会体会到。 磁生电的过程我们先讲这么多，最后我们来看看电生磁的情况。可能有些人会觉得我这个出场次序有点奇怪：明明是奥斯特先发现了电流的磁效应，大概十年后法拉第才发现了磁如何生电，为什么你却要先讲磁生电的法拉第定律，最后讲电生磁呢？13安培环路定理确实，是奥斯特首先爆炸性地发现了电流的磁效应，发现了原来电和磁之间并不是毫无关系的。
如上图，假设电流从下往上，那么它在周围就会产生这样一个环形的磁场。磁场的方向可以用所谓的右手定则直观的判断：手握着导线，拇指指向电流的方向，那么右手四指弯曲的方向就是磁场 B 的方向。
然后毕奥、萨伐尔和安培等人立马着手定量的研究电流的磁效应，看看一定大小的电流在周围产生的磁场大小是怎样的。于是，我们就有了描述电流磁效应的毕奥-萨伐尔定律和安培环路定理。其中，毕奥-萨伐尔定律就类似于库伦定律，安培环路定理就类似于高斯电场定律，因为在麦克斯韦方程组里，我们使用的是后一套语言，所以我们这里就只来看看安培环路定理：
安培环路定理的左边跟法拉第定律的左边很相似，这是很显然的。因为法拉第定律说磁通量的变化会在它周围产生一个旋转闭合的电场，而电流的磁效应也是在电流的周围产生一个旋转闭合的磁场。在上面我们已经说过，我们是用电场环流（也就是电场在闭合路径的线积分）来描述这个旋转闭合的电场，那我们这里一样使用磁场环流（磁场在闭合路径的线积分）来描述这种旋转闭合的磁场。
安培环路定理的右边就比较简单了，μ0 是个常数（真空磁导率），不用管它。I 通常是用来表示电流的，enc 这个右标我们在高斯电场定律那里已经说过了，它是包含的意思。所以，右边这个带 enc 的电流 I 就表示被包含在闭合路径里的总电流，哪个闭合路径呢？那自然就是左边积分符号中间那个圈圈表示的闭合路径了。 也就是说，安培环路定理其实是在告诉我们：通电导线周围会产生旋转磁场，你可以在这个电流周围随便画一个圈，那么这个磁场的环流（沿着这个圈的线积分）就等于这个圈里包含的电流总量乘以真空磁导率。 那么，这样就完了么？静电、静磁分别由两个高斯定律描述，磁生电由法拉第定律描述，电生磁就由安培环路定理描述？ 不对，我们看看安培环路定理，虽然它确实描述了电生磁，但是它这里的电仅仅是电流（定理右边只有电流一项）。难道一定要有电流才会产生磁？电磁感应被发现的原因就是看到奥斯特发现了电流的磁效应，发现电能生磁，所以人们秉着对称性的原则，觉得既然电能够生磁，那么磁也一定能够生电。那么，继续秉着这种对称性，既然法拉第定律说“变化的磁通量能够产生电”，那么，我们实在有理由怀疑：变化的电通量是不是也能产生磁呢？14方程四：安培-麦克斯韦定律那么，为什么描述电生磁的安培环路定理里却只有电流产生磁，而没有变化的电通量产生磁这一项呢？难道当时的科学家们没意识到这种对称性么？当然不是，当时的科学家们也想从实验里去找到电通量变化产生磁场的证据，但是他们并没有找到。没有找到依然意味着有两种可能：不存在，或者目前的实验精度还发现不了它。 如果你是当时的科学家，面对这种情况你会作何选择？如果你因为实验没有发现它就认为它不存在，这样未免太过保守。但是，如果你仅仅因为电磁之间的这样一种对称性（而且还不是非常对称，因为大自然里到处充满了独立的电荷，却没有单独的磁单极子）就断定“电通量的变化也一定会产生磁”，这样未免太过草率。这种时候就是真正考验一个科学家能力和水平的时候了。 麦克斯韦选择了后者，也就是说麦克斯韦认为“变化的电通量也能产生磁”，但是他并不是随意做了一个二选一的选择，而是在他的概念模型里发现必须加入这样一项。而且，只有加上这样一项，修正之后的安培环路定理才能跟高斯电场定律、高斯磁场定律、法拉第定律融洽相处，否则他们之间会产生矛盾（这个矛盾我们在后面的微分篇里再说）。麦克斯韦原来的模型太过复杂，我这里就不说了，这里我用一个很简单的例子告诉大家为什么必须要加入“变化的电通量也能产生磁”这一项。 在安培环路定理里，我们可以随意选一个曲面，然后所有穿过这个曲面的电流会在这个曲面的边界上形成一个环绕磁场，问题的关键就在这个曲面的选取上。按理说，只要这个曲面边界是一样的，那么曲面的其他部分就随便选，因为安培环路定理坐标的磁场环流只是沿着曲面的边界的线积分而已，所以它只跟曲面边界有关。下面这个例子就会告诉你，即便曲面边界一样，使用安培环路定理还是会做出相互矛盾的结果。上图是一个包含电容器的简单电路。电容器顾名思义就是装电的容器，它可以容纳一定量的电荷。一开始电容器是空的，当我们把开关闭合的时候，电荷在电池的驱动下开始移动，移动到了电容器这里就走不动了（此路不通），然后电荷们就聚集在电容器里。因为电容器可以容纳一定量的电荷，所以，当电容器还没有被占满的时候，电荷是可以在电路里移动的，电荷的移动就表现为电流。 所以，我们会发现当我们在给电容器充电的时候，电路上是有电流的，但是电容器之间却没有电流。所以，如果我们选择上图的曲面，那么明显是有电流穿过这个曲面，但是，如果我们选择下面这个曲面呢？
这个曲面的边界跟上图一样，但是它的底却托得很长，盖住了半块电容器。这是什么意思呢？因为我们知道电容器在充电的时候，电容器里面是没有电流的，所以，当我们把曲面选择成下面这个样子的时候，根本就没有电流穿过这个曲面。 也就是说，如果我选上面的曲面，有电流穿过曲面，按照安培环路定理，它是肯定会产生一个环绕磁场的。但是，如果我选择下面的曲面，就没有电流通过这个曲面，按照安培环路定理就不会产生环绕磁场。而安培环路定理只限定曲面的边界，并不管曲面的其它地方，于是我们就看到这两个相同边界的曲面会得到完全不同的结论，这就只能说明：安培环路定理错了，或者至少它并不完善。 我们再来想一想，电容器在充电的时候电路中是有电流的，所以它周围应该是会产生磁场的。但是，当我们选择下面那个大口袋形的曲面的时候，并没有电流穿过这个曲面。那么，到底这个磁场是怎么来的呢？ 我们再来仔细分析一下电容器充电的过程：电池驱使着电荷不断地向电容器聚集，电容器中间虽然没有电流，但是它两边聚集的电荷却越来越多。电荷越来越多的话，在电容器两个夹板之间的电场强度是不是也会越来越大？电场强度越来越大的话，有没有嗅到什么熟悉的味道？
没错，电场强度越来越大，那么通过这个曲面的电通量也就越来越大。因此，我们可以看到，虽然没有电流通过这个曲面，但是通过这个曲面的电通量却发生了改变。这样，我们就可以非常合理地把“变化的电通量”这一项也添加到产生磁场的原因里。因为这项工作是麦克斯韦完成的，所以添加了这一项之后的新公式就是麦克斯韦方程组的第四个方程——安培-麦克斯韦定律：
把它和安培环路定理对比一下，你就会发现它只是在在右边加了变化的电通量这一项，其它的都原封未动。E·a 是电通量，套个面积分符号就表示通过曲面S的电通量，再加个 d/dt 就表示通过曲面S电通量变化的快慢。因为在讲法拉第定律的时候我们详细讲了通过曲面磁通量变化的快慢，这里只是把磁场换成了电场，其他都没变。 ε0是真空中的介电常数，把这个常数和电通量变化的快慢乘起来就会得到一个跟电流的单位相同的量，它就被称为位移电流，如下图：
所以，我们经常能够听到别人说麦克斯韦提出了位移电流假说。其实，它的核心就是添加了“变化的电通量也能产生磁场”这一项，因为当时并没有实验能证明这一点，所以只能暂时称之为假说。在安培环路定理里添加了这一项之后，新生的安培-麦克斯韦定律就能跟其他的几条定律和谐相处了。而麦克斯韦之所以能够从他的方程组里预言电磁波的存在，最后添加这项“变化的电通量产生磁场”至关重要。 因为你想想，预言电磁波的关键就是“变化的电场产生磁场，变化的磁场产生电场”，这样变化的磁场和电场就能相互感生传向远方，从而形成电磁波。而变化的电场能产生磁场，这不就是麦克斯韦添加的这一项的核心内容么？电场变了，磁通量变了，于是就产生了磁场。至于麦克斯韦方程组如何推导出电磁波，我后面再专门写文章解释，这里知道电磁波的产生跟位移电流的假说密切相关就行了。15麦克斯韦方程组
至此，麦克斯韦方程组的四个方程：描述静电的高斯电场定律、描述静磁的高斯磁场定律、描述磁生电的法拉第定律和描述电生磁的安培-麦克斯韦定律的积分形式就都说完了。把它们都写下来就是这样：
高斯电场定律说，穿过闭合曲面的电通量正比于这个曲面包含的电荷量。高斯磁场定律说，穿过闭合曲面的磁通量恒等于0。法拉第定律说，穿过曲面的磁通量的变化率等于感生电场的环流。安培-麦克斯韦定律说，穿过曲面的电通量的变化率和曲面包含的电流等于感生磁场的环流。 我们看到，在这里，从始至终都占据着核心地位的概念就是通量。
如果一个曲面是闭合的，那么通过它的通量就是曲面里面某种东西的量度。因为自然界存在独立的电荷，所以高斯电场定律的右边就是电荷量的大小，因为我们还没有发现磁单极子，所以高斯磁场定律右边就是0。
如果一个曲面不是闭合的，那么它就无法包住什么，就不能成为某种荷的量度。但是，一个曲面如果不是闭合的，它就有边界，于是我们就可以看到这个非闭合曲面的通量变化会在它的边界感生出某种旋涡状的场，这种场可以用环流来描述。因而，我们就看到了：如果这个非闭合曲面的磁通量改变了，就会在这个曲面的边界感生出电场，这就是法拉第定律；如果这个非闭合曲面的电通量改变了，就会在这个曲面的边界感生出磁场，这就是安培-麦克斯韦定律的内容。 所以，当我们用闭合曲面和非闭合曲面的通量把这四个方程串起来的时候，你会发现麦克斯韦方程组还是很有头绪的，并不是那么杂乱无章。闭上眼睛，想象空间中到处飞来飞去的电场线、磁场线，它们有的从一个闭合曲面里飞出来，有的穿过一个闭合曲面，有的穿过一个普通的曲面然后在曲面的边界又产生了新的电场线或者磁场线。它们就像漫天飞舞的音符，而麦克斯韦方程组就是它们的指挥官。16结 语有很多朋友以为麦克斯韦方程组就是麦克斯韦写的一组方程，其实不然。如我们所见，麦克斯韦方程组虽然有四个方程，但是其中有三个半（高斯电场定律、高斯磁场定律、法拉第定律、安培环路定理）是在麦克斯韦之前就已经有了的，真正是麦克斯韦加进去的只有安培-麦克斯韦定律里”电通量的变化产磁场”那一项。知道了这些，有些人可能就会觉得麦克斯韦好像没那么伟大了。 其实不然，在麦克斯韦之前，电磁学领域已经有非常多的实验定律，但是这些定律哪些是根本，哪些是表象？如何从这一堆定律中选出最核心的几个，然后建立一个完善自洽的模型解释一切电磁学现象？这原本就是极为困难的事情。更不用说麦克斯韦在没有任何实验证据的情况下，凭借自己天才的数学能力和物理直觉直接修改了安培环路定理，修正了几个定律之间的矛盾，然后还从中发现了电磁波。所以，丝毫没有必要因为麦克斯韦没有发现方程组的全部方程而觉得他不够伟大。 最后，如题所示，我这篇文章讲的只是麦克斯韦方程组的积分篇，方程都是用积分的形式写的。因为积分篇主要是从通量，从宏观的角度来描述电磁学，所以相对比较容易理解。有积分篇那就意味着还有麦克斯韦方程组的微分篇，微分篇的内容我下一篇文章再讲。我这篇文章主要参考了《电动力学导论》（格里菲斯）和《麦克斯韦方程直观》（Daniel Fleisch），大家想对麦克斯韦方程组做进一步了解的可以看看这两本书。
最美的方程，愿你能懂她的美～
本文经授权转载自微信公众号“长尾科技”，「中国光学」做了少量修改。
往期回顾
· 华人科学家发明神奇生发帽：自发电治脱发，效果完胜用药，临近商业化 | 专访
· 小鼠在强磁场下到底安全吗？科学家给出答案:23特斯拉以下呆两小时比较安全这是中国光学发布的第918篇文章。小编每日呕心沥血，搜集整理各种内容，只为更好服务大家。如果你觉得有意思，转发到朋友圈也能让我们对自己的努力感到值得。
☞文章来源：长尾科技
声明：本文所用视频、图片、文字如涉及作品版权问题，请第一时间告知，我们将根据您提供的证明材料确认版权并按国家标准支付稿酬或立即删除.点“在看”，分享给朋友吧！