线性模型之Logistic和Softmax回归

初中就开始学习线性回归，并且可以根据最小二乘法，计算出线性回归系数，进而利用线性回归进行数据的简单预测。

线性模型是机器学习中最简单、应用最广泛的模型，指通过样本特征的线性组合来进行预测的模型。给定一个d维样本[x1, · · · , xd].T，其线性组合函数为

其中w = [w1, · · · , wd].T 为d维的权重向量，b为偏置。

线性回归就是典型的线性模型，直接用f(x, w)来预测输出目标y = f(x, w)。在分类问题中，由于输出目标 y 是一些离散的标签，而 f(x, w) 的值域为实数，因此无法直接用 f(x, w) 来进行预测，需要引入一个非线性的决策函数g(·)来预测输出目标

对于两类分类问题，g(·)可以是符号函数

当f(x, w) = 0时不进行预测，这里定义了一个简单的二分类问题。结构：

很想神经网络中的一个神经元，g(.)在神经网络中叫激活函数。

两类与多类分类

一个线性分类模型（Linear Classification Model）或线性分类器（LinearClassifier），是由一个（或多个）线性的判别函数f(x, w) =w.T * x + b和非线性的决策函数g(·)组成。

两类分类

两类分类（Binary Classification）的类别标签y 只有两种取值，通常可以设为{+1, −1}。

在两个分类中，我们只需要一个线性判别函数f(x, w) = w.T * x + b。特征空间Rd 中所有满足f(x, w) = 0的点组成用一个分割超平面（hyperplane），称为决策边界（decision boundary）或决策平面（decisionsurface）。决策边界将特征空间一分为二，划分成两个区域，每个区域对应一个类别。

所谓“线性分类模型”就是指其决策边界是线性超平面。在特征空间中，决策平面与权重向量 w 正交（平面上任取一点X，W.T * X + b = 0，故正交）。特征空间中每个样本点到决策平面的有向距离为

下图给出了一个两维数据的线性决策边界示例，其中样本特征向量 x =[x1, x2]，权重向量w = [w1, w2]。

线性模型试图找到参数w，使得

那么，损失函数为：

其中 I(·) 为指示函数。但 0-1 损失函数的数学性质不好，其关于 w 的导数为 0，从而导致无法优化w。

多类分类

多类分类（Multi-class Classification）问题是指分类的类别数C 大于2。多类分类一般需要多个线性判别函数，但设计这些判别函数有很多种方式。

从上面定义可以，如果数据集可以多类线性可分的，那么一定存在一个“argmax”方式的线性分类器可以将它们正确分开。 

Logistic 分类

Logistic回归（Logistic Regression，LR）是一种常用的处理两类分类问题的线性模型。在logistic回归中，我们使用logistic函数来作为激活函数。标签y = 1的后验概率为

即，激活函数为：

那么标签y = 0的概率就是1 - p(y = 1)。那么，logistic函数长啥样呢？

该函数的定义域是(-∞,+∞)，而值域却是(0,1)，所以我们可以根据计算出来的概率值来进行对样本进行分类：

现在，只需要将w权重向量训练出来，即可。这需要损失函数。

Logistic 回归采用交叉熵作为损失函数，并使用梯度下降法来对参数进行优化。关于交叉熵概念，可以看前面写的基础知识：

N个样本，用logistic 回归模型对每个样本x(n)进行预测，并用输出x(n) 的标签为1的后验概率，记为yˆ(n)，

使用交叉熵损失函数：

风险函数R(w)关于参数w的偏导数为：

采用梯度下降法，logistic回归的训练过程为：初始化w0 ← 0，然后通过下式来迭代更新参数。

其中α是学习率。

找到，Wt+1与Wt的关系了，有些代码基础的同学，都能通过递归或者循环的手段，将w训练出来。

Softmax 分类

softmax其实是Logistic的推广到多类别分类应用中，不必建立多个二分类分类器来实现多类别分类。softmax分类器的思想很简单，对于一个新的样本，softmax回归模型对于每一类都先计算出一个分数，然后通过softmax函数得出一个概率值，根据最终的概率值来确定属于哪一类。

对于每一类都有一个权重参数θ，根据下式子计算样本的分数：

通过下公式来计算并归一化之后就是输出的概率值：

σ为激活函数softmax，s(x)为加权分数，第k类，除以总的K类得到的值，就是第k类的概率值，一个样本属于不同类的概率不同，分类为取值最大的概率对应的那个类别。

同样，softmax回归使用交叉熵损失函数来学习最优的参数矩阵W。

采用梯度下降法，softmax回归的训练过程为：初始化W0 ← 0，然后通过下式进行迭代更新。

其中α是学习率，yˆ(n)是当参数为Wt 时，softmax回归模型的输出。

要注意的是，softmax 回归中使用的 C 个权重向量是冗余的，即对所有的权重向量都减去一个同样的向量 v，不改变其输出结果。因此，softmax往往需要使用正则化来约束其参数。此外，我们可以利用这个特性来避免计算softmax函数时在数值计算上溢出问题。

猜你可能喜欢