深度 | 加州的数学难题，可能扩至全美
文：纽约华人资讯网主笔 詹涓
加州有一个数学难题，这个问题有可能向全美延伸。
如果一切都按照计划进行，加州将在本月批准公立学校数学教育的新指导方针。
但是，自从今年2月草案公开征求公众意见以来，这些建议不仅引发了一场关于如何教授数学的激烈辩论，而且还引发了如何解决一个比费马大定理更难解的问题：缩小在数学教育的各个层面上持续存在的种族和社会经济成就差异。
加州的指导方针并不具有约束力，但可能会影响甚至改变许多学区的数学教学方式。这份数学教育草案否决了资优天才儿童的概念，建议在进入11年级后才开始分数学快慢班，将代数课程从8年级推迟到9年级，并考虑用数据科学或统计学等更“实用”的课程来取代微积分。
该草案还建议，数学不应该忽视种族，教师可以利用课程探索社会公正——例如，可以在应用题中寻找性别刻板印象，或将数学概念应用到诸如移民或不平等等话题上。
即使是在加州这样一个蓝州，指导方针草案也遭到了严厉的批评，有人指责该框架将“觉醒”政治注入了一个本应实用和精确的主题。
加州这份新草案声称，它的建议是基于先进社会科学研究的最新、似乎无懈可击的发现。诸如“研究人员发现”、“研究表明”和“研究很清楚”这样的短语散布在该框架中，该框架明确表示：“研究表明，所有学生都有能力成为强大的数学学习者和使用者。”
如果这是真的，这一证据将为采纳该框架的提议提供强有力的理由，考虑到加州的规模和声望，该框架的提议通常被视为其他州的榜样。
那么，有必要回顾加州这份厚达800页的框架在主张什么，引用的研究又是否如数学般准确到位。
加州教育署官网关于数学教学框架的说明页面截图。
对天赋的否定
加州数学框架的一个首要原则是对“天赋”观念的否定。框架明确“拒绝关于天赋和才能的观念”，不鼓励让有天赋的学生在数学学习中获得加速（第1章，第8页）。鼓励所有学生在11年级之前不分快慢班，该框架的作者还担心，如果那些被认定为“天才”的人日后失去这个称号，他们脆弱的自尊心可能会受到伤害（第1章，第15页）。
“所有的学生都应该拥有强大的数学能力，”指导方针写道。“我们拒绝认为天赋和才能是天生的……以及‘天才崇拜’。”
有关学生天资的文本援引了纽约大学心理学家安德烈·辛皮恩（Andrei Cimpian）2015年发表的一篇论文，但脚注中唯一列出的辛皮恩的文章是她与普林斯顿大学心理学家萨拉-简·莱斯利（Sarah-Jane Leslie）合著的论文。
那篇论文发现，女性和女孩通常不被鼓励进入那些被认为需要“特殊能力才能成功”的领域，其中包括数学。但它并没有提及是否有些人天生有数学天赋，或者是否“所有的学生”都天生擅长数学。
“这不是我自己的研究旨在解决的问题，”莱斯利在一封电子邮件中回答有关该框架对她作品的引用的问题时说。
该数学框架的主要作者、斯坦福大学数学教育教授乔·博尔勒（Jo Boaler）在第一章中还写道: “有一种心态一直存在，认为有些人‘数学不好’（或者不属于这里），这种心态遍及许多来源和许多层次。值得注意的是，与白人和男性相比，女孩、黑人和棕色人种的孩子更容易收到他们不具备高水平数学能力的信息。”
博尔勒写道，人们生来就具有不同的数学能力这一概念，已经被“一个接一个的研究彻底推翻了”。
这一说法在很大程度上依赖于斯坦福大学心理学家卡罗尔·德韦克（Carol Dweck）的研究成果。德韦克对她所谓的“固定思维模式”和“成长型思绪”进行了区分。
该框架援引德韦克的理论称，许多学数学的学生，尤其是女孩和有色人种的孩子，会被有意无意地灌输“固定思维模式”，认为自己不擅长数学。如果她们能养成一种“成长型思维”，相信自己拥有学习和提升的能力，她们就可以做到。
这是一个常识，如果学习自认为自己在某方面天资很差，无论那是数学、音乐还是棒球，可能更容易放弃。在这一点上，该框架援引德韦克的理论似乎是公平的。但德韦克本人从来没有排斥人们在先天上存在差异，也没有否认某些学生在某些科目上比其他学生更优秀的观点，她甚至也从来没有表示，“成长型思维”是一剂万能药，只要有了它，就能让所有学生在数学或其他任何学科上都取得高水平的表现。
德韦克在接受采访时表示：“成长型思维模式是指能力并非固定不变，而是可以培养的，不仅可以通过努力学习和工作，还可以通过良好的策略和指导来培养。这并不是说人们都是一样的，具有相同的能力，或者通过努力他们一定能达到相同的水平。”
普林斯顿大学的数学教授谢尔裘·克莱纳曼（Sergiu Klainerman）更进一步。“很明显，有些人在数学上有天赋，就像有些人在音乐上有天赋一样，”他在采访中说。“你可以清楚地看到，当你教数学时，有些孩子学得非常快，有些孩子学得相当好，但得更加用功才行，还有一些孩子学起来非常吃力。区别非常明显。”
尽管如此，加州的数学教育框架还是将对天赋的否认和排斥作为其主要也是最具争议的建议的基础，从而建议推迟基于数学能力而对加州学生实施分轨制，也就是分快慢班。
取消分班
加州数学框架草案正式建议所有学生在10年级之前参加普通的数学课，在11年级之前不建议学生加速学习。该文件宣称，“数学教育摆脱分轨制和加速，将使所有学生视数学为一门他们有能力学习的学科”（第7章）。
取消数学分班这一点在加州许多教育工作者和家长那里受到了巨大的挑战。目前，分进数学快班的学生在8年级甚至7年级开始学习代数I，而普通班的学生必须等到9年级。但如果8年级不开始学代数，按照现有进度一般到12年级就没法学微积分，而微积分被认为是高等数学的黄金标准，这可能意味着一些学生在申请大学和以后进大学攻读理工科专业方面，会面临不利。
博尔勒指出，孩子们想要在八年级时开始修代数I，可能最早需要在小学就要为此做准备。她说：“学生还在四年级、五年级、六年级时，我们不知道他们能做什么。但不幸的是，一旦被人认定了你的数学水平较低，就没有办法转弯。如果你在六年级时被告知，‘你的数学水平较低’，这会改变你的思维模式和对自己的信念。”
所以博尔勒和新框架的其他作者提出，更好的办法是大多数学生在10年级之前的数学课程上保持一致，老师在这个进度不同的班级里对学生因材施教。
支持者表示，这种方法将促进对数学概念的更深理解，同时消除“数学教育中的相当大的不平等”，并确保代表人数不足的少数族裔和女孩不会在早期就被排除在更高层次的数学之外。
为了支持这一想法，该框架引用了2005年在纽约罗克维尔森特（Rockville Centre）进行的一项关于取消数学分班的实验研究。“当所有的学生一起学习时，”加州框架组织在总结罗克维尔森特的经验时说，“学生们取得了更多的成就。”
但是要知道，罗克维尔森特是一个位于长岛的富裕小镇，人口约2.5万，85%为白人，平均家庭收入为16.6万美元，学生非常“整齐”，这座城市的财力使它能够为成绩较差的学生提供大量个性化的课后帮助。相比之下，加州是个极其多元化的大州，平均家庭收入还不到罗克维尔森特的一半。
这一事实导致对其经验进行研究的作者提出了这样一个问题：“在一个资源较少、困难学生人数较多的地区，这项改革会起作用吗？”他们说，需要更多的研究来回答这个问题。
此外，罗克维尔森特所做的与加州所提议的正好相反。加州建议是所有人都推迟学代数，而罗克维尔森特是所有人都提早学，研究报告指出，学校负责人“决定所有的学生都要学习以前只留给该地区最优秀的学生才能进的快班课程。”
其他批评加州新框架的人说，这对那些数学拔尖的学生来说是一种拖累，而且它可能会伤害那些学习困难的学生，他们需要更有针对性的指导。
布鲁金斯学会的研究员汤姆·洛夫莱斯（Tom Loveless）研究分轨制多年，他认为减少分轨并不能缩小种族成就差距，他说：“服务成绩优异的黑人、西班牙裔和贫困儿童的最好方式是给他们上快班。取消快慢班，最终会伤害到它本打算帮助的孩子。”
一些老师说，这个想法完全没考虑到课堂中的现实。“这对我们所有的学生都是一种伤害，”沃伦·T·艾希中学（Warren T. Eich Middle School）的六年级数学教师迪安娜·庞塞蒂（Deanna Ponseti）表示。
她说：“在我的学生中，约有一半低于年级水平，约有25%的学生程度低两个年级以上，但也有20%的学生远高于年级水平。我得把课上的大部分时间都花在教授基础技能上，希望帮孩子把进度赶上去。我当然知道因材施教这件事理论上很好，但我们没有足够的时间与高水平的学生进行更深层次的讨论。”
更灵活的数学教学
博尔勒说：“我们目前的一个数学系统不起作用。在许多教室里，学生们学习解决的是非常狭窄的问题。他们不感兴趣，对学习提不起劲儿来。事实上，数学可以用来解决真实世界中的问题。”
传统的数学教学顺序是计算、代数、几何，以及最终的高等代数、三角和微积分。而加州新的数学框架想要改变数学教学方式，在早期就引入所有领域的概念，并结合在一起解决问题——就像在现实世界中使用数学一样。
例如：在一个平均家庭成本为X的城市里，一个学生在未来的职业生涯中月工资多少钱才能买得起一套房子? 工资差距也可能是一个数学问题：同样的工作，女性的工资仅为男性的82%。
框架草案还给了一个用例：其中一幅插图向学生们展示了因商业捕鲸而濒临灭绝的北极露脊鲸种群生存，以及依靠捕鲸获取食物、收入并延续文化传统的当地居民的需求之间的平衡问题。
学生们必须制定一个计划，既能允许捕猎，又能让这个种群生存和繁荣。带有数学成分的变量将包括鲸鱼的增长率、生命周期、食物产量和狩猎对经济的影响。如果再引入与气候变化有关的变量，对鲸鱼的繁殖能力、食物来源以及迁徙模式构成进一步影响，则可以将整个解题的过程进一步细化。
这些似乎都是非常野心勃勃的尝试。但针对具体的教学材料，一些专业人士提出了批评。加州大学尔湾分校的杰出数学教授斯维特拉娜·吉托米斯卡娅（Svetlana Jitomirskaya）就是其中的一位，她撰文强调，“把整个州变成一个实验室来研究非常有争议的教育理论，而且不经过数学学界的任何审查，这是不负责任的。公共教育应使所有学生具备逻辑和抽象思维的技能。即使你不记得二次方程公式，学习它的过程也会让你更清楚地思考。全世界都是这么教数学的。”
这位数学教授还指出，她发现教学材料中提出的一些数学问题经不起推敲。
以第二章的一道高中几何问题为例：
“一位农民有36个篱笆，每个都有1米长……这位农民想把它们放在一起，使面积尽可能大。”
吉托米斯卡娅认为这个问题完全不合适用在高中课堂里——甚至在大学里也很少学习，她表示，“几何学的目标应该是发展逻辑和证明的思想，也就是说，提出陈述来证明一个数学论证是正确的。然而，在这里，甚至没有讨论证明的必要性，就已经提出了答案。它引入了一个错误的概念，即解决问题意味着什么——这是大学教授们努力想要解决的问题。”
作为一位数学家，吉托米斯卡娅认为教学生用逻辑支持答案是已知的唯一减少差距的方法，而加州数学框架草案将严谨的数学训练、逻辑和抽象思维培养最小化，“对孩子没有任何好处”。
吉托米斯卡娅举的是另一个例子是五年级的一道数学题：埃尔南德斯女士为孙子织围巾，围巾长度为X，宽为Y，求面积是多少。这看起来似乎是个几何题，但在框架展示的课堂讨论环节中，问题渐渐向性别刻板偏见的方向移动。学生们开始讨论“在数学应用题里，有没有出现过男性织围巾、煮饭、打扫卫生？”
这种在数学教育中引入了政治修辞的尝试，也引起了其他一些科研人员和教师的不满。一些老师表示，一些来自韩国、中国和东欧的新移民学生在进入学校时，在数学课上的成绩能帮助他们获得信心：原因很简单，数学是一门不需要过多语言就能理解的学科。但如果加入过多其他复杂的讨论，这会抹杀掉这些学生的优势和自信。
公开信联署部分。
一封由上千名从事科学技术和数学教研工作的加州人签名的公开信也指出了这一点，“在数学中注入政治修辞与数学作为一门学科是相异的，而且会造成持久的损害——包括让母语不是英语的学生的数学难度大大增加。……公平正义的真正捍卫者会希望所有加州的孩子们学习真正的数学，而不是无尽的新教育潮流。”
取消微积分？
新框架中9-12年级的数学进度。9-10年级大多数学生学习统一的课程，11-12年级后开始分班，接触数据科学、统计学和微积分等课程。
数学框架草案设计了高中四年数学教育的路线图。9-10年级大家上一样的课程，根据对未来的规划，到了11-12年级则可以选择不同的第三和第四年课程。通过这种方式，这些决定可以反映学生对数学理解的现实应用。
例如，一个计划毕业后在制造车间工作的学生可以选择学习数学I和数学II与建模课程，以获得压铸和三维打印的数学基础。或者，计划学习政治学的学生可以在11年级选择数据科学课程，在12年级选择统计学课程，以更好地理解投票、分配和选区划分背后的数学含义。
相对而言，微积分的地位则会被弱化。草案援引了一项研究，即缺乏深度理解的“微积分热潮”无助于学生长期的数学准备。数据显示，大约有一半的学过微积分的高中生会在大学里重修这门课程，或者在大学里参加微积分预备课程。从这个角度来说，慢点学、学扎实似乎是有道理的。
从实用角度说，此举需要大学的支持；近年来，加州大学系统已经不再强调微积分学分的重要性，但还有更多的精英大学仍然重视这一项。从未来的学习来说，对于数学家来说，代数是所有高等数学的重要基石，特别是高级微积分。正如斯坦福大学数学教授布莱恩·康拉德（Brian Conrad）所言，草案中提出的数据科学路径不会全面发展进一步研究数据科学所需的数学技能。大学水平的数据科学使用的正是微积分，如果该框架以目前的形式被采用，许多学生将没有准备好。
他继续说，“你还需要线性代数，这是建立在高中代数技能基础上的，有的时候，你就是没法越过这些传统的知识和技能。”
目前，加州草案仍在进一步修订，而加州教育委员会将在2022年春季晚些时候，也可能是夏季，决定是否批准。
即便批准，各学区仍可自由选择不接受州政府的建议。在那些选择接受建议的地方，以考试分数、大学准备程度的形式来体现的学术成果，将为加州数学教改提供更多的数据。
换句话说，对话远未结束。