部分与整体，互逆成循环--浅谈关于角平分线的四个模型的封闭命题组--杰说变式研究系列02
“一题多解，解法优化；一题多变，变中求同；多题一法，同模通法”是数学解题与习题教学中非常重要的教学方法，也是学生学习的方法．对各个数学知识模块，进行这三个维度的探究教学，非常有益于学生的数学思维能力的培养．本文主要侧重于思考与研究常见的几何特征模型的一些变式问题的一些结论，并介绍一点对问题变式的改编方法的思考．
【补充说明本文初二学生可以阅读学习部分内容。可以作为教师研究命题的参考。在中考中可以看到不少经典定理的逆命题变式的考题。以后再举例说明。】
主题1见昨天的文章
杰说变式研究系列--01有女初长成一题十八变--关于双角平分线的模型
本文是主题2：浅谈关于一些常见的含有平分角结构的特征图形的互逆命题组
而这三组“角的等量关系”，显然可以从其中任意两个推出第三个．证明思路中可以看出角的等量关系可以与线的位置关系（平行的三线八角结构），线的数量关系（等边对等角及等角对等边）相互转化．而几何证明，线角是核心元素，线角转化是重要方法技巧．
其证明思路与前一个问题几乎完全相同，稍有一些小区别，需要用到三角形外角定理证明比较简洁点．
显然这个图形中，①②③④知二可证其余．其中①②→③④，①④→②③，①③→②④，就是三线合一定理．而②③→①是根据线段的垂直平分线的性质定理，于是再用三线合一可以推出④．
第五个真命题：②④→①③，只需AAS证明△ABD≌△ACD，前面四个命题也是证明这两个三角形全等，只不过前面四个有教材的定理体系，可以直接使用有关结论．第五个命题不是定理．
方法2（等面积法证明角平分线的另一个定理，教材中已经删去）：辅助线同方法1，得出DH=DG，从而(S[△ABD]/S[△ACD])=(AB/AC)．又△ABD与△ACD等底同高，得出(S[△ABD]/S[△ACD])=(BD/DC)．所以 (AB/AC)=(BD/DC)．再由②BD=CD知AB=AC，余下证明略．
命题1：①②→③简证如下：构造辅助线CG，CH，根据角平分线的性质定理（本质是AAS证明△OCG≌△OCH）由①推出GG=CH，根据HL证明△CPG≌△CQH，从而得出∠CPG=∠CQH，从而∠CPQ+∠CQO=180°．
命题2：②③→①简证：相同的辅助线，先证△CPG≌△CQH，再用角平分线的判定定理（本质是HL证明Rt△OCG≌Rt△OCH）推出①OC平分∠POQ．
命题3：①③→②简证：相同的辅助线，先证GG=CH，再根据AAS证明△CPG≌△CQH，余下证明略．
我们发现这三个命题的证明思路本质是一样的，证明两对三角形全等，只是证明全等的方法路径顺序有所改变而已．
这个四边形很重要，在许多常见的问题中都会见到它的身影，这是后话．
另外还可以应用圆的知识来证明有关结论，略去．只是教材中缺乏“对角互补的四边形四顶点共圆”的结论．还要注意这个四边形与等腰△COO’的转化，以及OQ + OP=2OH，OQ -OP =2QH．
命题1：①②③→④⑤⑥简证如下：显然两平行直线AD，BC被AB所截得的同旁内角的平分线BF与AF互相垂直，利用等式性质对角的等量关系进行变形可得．延长BF，AD交于点G，由平行平分角结构可以推出等腰AB=AG．在等腰△ABG中利用三线合一结构（本质是△AFB≌△AFG）得出BF=FG．再由平行平分线结构推出△CFB≌△DFG，从而CF=FD．
命题2：①②④→③⑤⑥简证如下：①②④→③，问题转化为命题1．
命题3：①③④→②⑤⑥，同命题2思路．
命题4：②③④→①⑤⑥，同命题2思路．
命题5：①②⑤→③④⑥简证思路：①⑤平行平分线结构推出△CFB≌△DFG，①②平行平分角结构可以推出等腰AB=AG，在等腰△ABG中利用三线合一结构得出BF⊥AF，其余问题略．
命题6：①②⑥→③④⑤简证思路：在AB上截取BE=BC，连接EF．②的条件得出轴对称全等△BCF≌△BEF，再导角证明∠AEF=180°－∠BEF=180°－∠BCF=∠ADF，从而SAS证明△AFE≌△AFD．
命题7：①③⑤→②④⑥，由条件的对称性知，同命题5．
命题8：①③⑥→②④⑤，由条件的对称性知，同命题6．
其他真命题的本质都是证明其中四对全等△AFB≌△AFG，△CFB≌△DFG，△BCF≌△BEF，△AFE≌△AFD，中有两对成立．留待读者自己思考，有个别题目需要设法绕开SSA的障碍或者证明三点共线．
当条件强化为直角梯形的图形时，所有命题都成立．
感悟：逆向思维带来的逆问题变式可以产生很多有意义的问题．但是有些图形的情况某些逆命题比较难，可以适当向学生介绍统一法和反证法．这样的例子后面的总结文章再介绍．
[亲爱的学生读者，学习数学关键就是要有自己的感悟，老师的感悟是为了给大家做示范]
通过总结常见的基本结构，在问题2-4中，我的思考模式都是模块化的思路．如何培养学生这种思维能力是很值得推敲的教学问题，需要在教学实践中慢慢思考总结．
一个图形的互逆命题组放在一个整体来考虑它们图形与思路的共性，是把局部问题放在整体来思考的研究路径，有一定的价值．如果因此产生思维定式的局限，说明研究的问题还达不到足够的高度与广度．需要在学习中不断突破，总结提升．
一些常见的特征图形，这样的学习思考有助于巩固基础．但是生僻的图形结构这样的学习对学生来说有些费力不讨好．
本漫画主体部分是我的12级三牧学生刘思进同学完成，我非常喜欢，把它改编为个人logo。每次看到这个图片都想起他们那一届学生的故事。
【本文结束，感谢您的阅读。如果您方便，欢迎转发分享朋友圈，感谢您帮忙推广与宣传】
本文是林山杰老师原创，不欢迎其他微信公共号不经过授权的转载。
扫码关注或分享本公共号：三山三爱。
下面的原文链接是我好友金良快老师的关于角平分线的文章之