押注游戏——关于凯利公式的思考

文 | 微光

公众号 | 微光探索，ID: WeLightX

今天读到公众号「慧思书房」的文章《数据论证“长期满仓”和“适当分散”策略》，文中提到一个关于押注的游戏，挺有意思的，于是顺藤摸瓜研究了一番凯利公式，并引发了一些思考，码文记录一下。

文中游戏源自万维钢在「得到」APP对塔勒布所著《利益攸关》的讲解，内容是这样的：

2016年，物理学家奥利·彼得斯（OlePeters）和夸克理论的创始人、诺贝尔物理奖奖得主默里·盖尔曼（Murray Gell-Mann），专门写了一篇论文，论文有个例子是这样的 ——

比如现在有个赌硬币的游戏。你投入1元，它50%的可能性会变成0.6元，50%的可能性会变成1.5元，也就是说你或者损失40%或者盈利50%。这么算来，你的数学期望是正的5%。但是这个游戏有两种玩法。 

一个玩法是你每次只拿1块钱去玩，假设你能够一直玩下去的话，那你长期看来是赚钱的。数学期望可以用，你平均每把赢0.05元。这是一个加法的关系。

另一种玩法是，你把自己所有能动用的资金都押在这个游戏上面，第一把游戏玩完之后，不管结果是多是少，把剩下的钱再次全部押上，这样不断地玩下去。这种玩法，可就是乘法的关系了。那你最可能的结局是什么呢？是账户清零。

比如玩两把，平均而论你会一赢一输，那么总资产要先乘以0.6再乘以1.5，结果相当于乘以0.9。每玩两把，你平均会赔10%。一直玩下去，账户资产就趋近于零了。

一、如何下注

这个例子的第一种玩法比较好理解，但第二种玩法感觉有悖于人的直觉。看上去稳赚不赔的游戏，最后怎么会赔了呢？

事实上，直觉很多时候都不好使，关于直觉和人的本能反应，有兴趣的朋友可以看看《万万没想到》（作者也是万维钢）、《影响力》（芒格推荐书）、《怪诞行为学》系列等，里面有很多反直觉的例子。

第二种玩法，是一个比大小的简单数学问题。

先来看一个问题，赔了以后，需要多少才能赚回来？

首先分析同等比率赔赚的情况。假设无论输赢，不考虑本金，净赚和净赔比率都为  。也就是说，投入资金  ，如果赢了，连本金一起得到  ；如果输了，则只退给你   。

当  时，如果每次都ALL-IN，连玩两次，输赢各一次，则最后资金为  。我们发现，结果是小于  的。看似输赢一样的赔率，乘积效应下却是稳赔不赚的。

从而，一个基本事实是，跌下去一定比例，需要涨更多才能涨回来。跌10%，涨回来需要11.1%；跌20%，涨回来需要25%；跌50%，涨回来需要100%……。且容易忽略的是，其原因不是涨得多了基数大跌起来快，而是因为涨和跌的比例本身就具有不对等性导致的。不管先涨后跌，还是先跌后向涨，结果都一样。

理解了这个关系，这种看似占便宜实则输钱的玩法也就不难理解了。

这不是重点，你最疑惑的地方可能在于：按第一种玩法，每次投入固定金额结果是赚的，说明这个游戏肯定是能赚钱的。那第二种玩法的问题出在哪里呢？第一种玩法是否是最佳选择呢？如果不是，如何才能使收益最大化呢？

答案的核心在于每次下注的比例。很早以前，著名的凯利公式就给出了答案。

这里先说结论。对于这个游戏，每次下注总资金的25%，长期能赚钱，并且能使收益最大化。

假设初始本金为  ，每次投注所有本金的25%。如果赢了，则变为  ；如果输了，则变为  。赢和输的概率一样，则玩  次后，资金变为  。

整体式是赚的，且每玩一次的期望资金增长率为6.2%。

这是如何来的呢？感兴趣的读者可以接着看第二章。

二、凯利公式

下面来聊聊大名鼎鼎的凯利公式（Kelly Formula 或 Kelly Criterion，也叫凯利准则）。

凯利公式由 John Larry Kelly于1956年提出。它指出在一个期望收益为正的重复性赌局或者重复性投资中，每一期应该下注的最优比例。

于是，我把凯利公式推导了一遍，下面试图用通俗的语言介绍一下推导过程。

▍1. 例子引出

同样，也先从一个简单的例子引出。文首例子中介绍的是两种结果、概率相同、输赢净赔率不同的情况；这里举另外一种情况的例子，即两种结果、概率不同、输赢净赔率相同。

同样是抛硬币，但这个硬币不对称，正面和反面出现的概率不一样。正面的概率为  ，反面的概率为  ，  ，  。假设净赔率为1，出现正面为赢，赢得与本金相同额度的赌注；出现负面为输，损失全部本金。

你一眼就能看出，这是一个有得赚的游戏。那么问题来了，我们每次要下多少本？

每次下注下得大，赢了挣得就多。如果ALL-IN，自然赢了挣得最多；但如果输了，就会损失所有资金，甚至没法继续玩下去了。简单分析就会发现，每次ALL-IN风险太大，不是我们想要的结果。

我们来引入一个固定投注比例  ，  。假设初始资金为  ，玩  次后手头的资金为  ，第  次投入的资金为  。第  次后，如果赢了，则变为  ；如果输了，则变为  。

不难得到，玩  次后，资金为：

我们的目标是选择合适的  值，使  最大化。

定义一个单次游戏的资金指数增长率  ，使得  。  最大化，也就是求  ，使得  最大。

将  取对数，有

  取何值时上式最大呢？这里要用到数学分析或高等数学中的导数知识。

所谓导数，简单理解就是函数曲线切线的斜率，数学表示方法是在函数右上角加一撇。导数为零，即切线的斜率为零，就是说曲线的切线是水平的，对应一段区间内的极大值点或极小值点。到底是极大值还是极小值，要用到二阶导数。所谓二阶导数，就是导数的导数，也就是曲线斜率的斜率。二阶导数为正，说明曲线的斜率不断增加，曲线是向下凹的，对应极小值点；二阶导数为负，曲线的斜率不断减少，曲线是上凸的，对应极大值点。

  的导数  为 

  时，求得  。同时，不难得出，  的二阶导数在区间 (0, 1) 上为负值。所以，当  时，  取得最大值，收益率最大。

举个例子，如果正面的概率为0.6，负面的概率为0.4，净赔率为1，那么，每次投入资金的0.6-0.4=20%，可使收益最大化。

回过头来看看ALL-IN的做法不合理的原因。ALL-IN时，  ，  ，也就是说，最后资金变为零。因为无论概率有多小，乘法中只要出现了零，最终结果就为零。

▍2. 一般情况

上面的例子理解了，我们来看看一般情况。

假设初始资金为  ，每次投注比例为  ，每局游戏有  种结果，第  种结果的发生概率为  ，除去本金外的净收益率为  （为损失时  ），则玩1局后资金的数学期望值为 

假设单次游戏的资金指数增长率为  ，即  ，取对数，得 

对  求导，有 当  ，满足  时，  为最佳投资比例，即收益率可达到最大。这个方程，叫做凯利方程式。

如果期望净收益率  ，即看上去有钱可赚，这时也可求得  ；如果期望净收益率  ，即看上去就是个赔钱的买卖，这时解得  ，由于通常赌局不允许反向下注，此时的最佳策略是保持观望，不赌为赢。

如果每局游戏只有两种结果，即输或赢，赢的概率为  ，净收益率  ；输的概率为  ，净赔率  ，则方程的解为    上面这个公式叫做「凯利公式」。

再简化一下，如果赢了1赔  ，输了输光全部赌注，即  ，  ，则凯利公式可简化为 比如，赢了1赔5，输了损失本金的赌局，只有当赢的概率  时，才有  ，即有钱可赚。假设赢得概率为40%，则每次取最佳下注比例  时，可使收益最大化。

▍3. 特例分析

看回文首的例子，其实就是凯利公式的一个特例。

例子对应  ，  ，  。根据凯利公式，最佳投注比例为  

三、对投资的思考

看到这里，你可能还有一些疑惑。既然凯利公式说，有些情况下不能每次都ALL-IN，是不是和老唐所说的一直满仓状态相矛盾呢？凯利公式和价值投资理念之间又有什么关系呢？

其实不矛盾。凯利公式研究的是已知确定概率的游戏如何投入的问题。而价值投资，前提是公司未来业绩大概率会增长，不清楚也不研究具体的概率。

使用凯利公式的前提，是我们清楚地知道每一种结果出现的概率，以及每一种情况对应的赔率，在整体有利可图的情况下，来分析多大的投入比例可使收益最大化。

然而，短期的市场涨跌无法预测。我们不知道明天是涨还是跌，即不清楚结果出现的概率；也不知道涨幅是5%还是2%，跌幅是6%还是10%，即也不清楚每一种结果对应的赔率；综合来看，是赚钱还是亏钱也不清楚。而凯利公式的基础，是明确知道各项数据。

对于价值投资，关注的是公司长期价值的增长。那如果不看短期看长期，不看市值看价值，能不能使用凯利公式呢？我的答案是，能，但实际上没什么用，且切忌生搬硬套。

举例说明一下。假设公司未来净利润上涨的概率为60%，上涨的幅度为100%；而下跌的概率为40%，下跌的幅度为50%。计算一下，60%×100%-40%×50%=0.4>0。有投资价值吗？有。投多少呢？按凯利公式，  。

再看另一种情况。假设公司未来净利润上涨的概率为80%，上涨的幅度为100%；而下跌的概率为20%，下跌的幅度为50%。计算一下，80%×100%-20%×50%=0.7>0。有投资价值吗？有！投多少呢？按凯利公式，  。凯利告诉你，不光要投，还要上40%的杠杆投。

分析一下，对于第一种情况，利润上涨的概率只有60%，而利润下跌的幅度达到50%的公司，我相信对大部分价值投资者，已经被排除掉了；而对于第二种情况，胜算要大一些，凯利公式告诉你，甚至可以上杠杆了。也就是说，相比我们通常的认识，直接按凯利公式的计算结果，是没有任何安全边际投资决策，会显得非常冒进。

事实上：

第一，上面所提到的概率和赔率，实际上我们无法知道其准确数值，只能模糊地分析是大概率还是小概率，涨跌幅也只是一个理论的预示值。取值略有差异，结果会千差万别，在此基础上再用凯利公式计算的结果其实意义不大。

第二，对于价值投资者，我们选取公司的原则是业绩未来上涨是大概率事件，并且留有较大的安全边际，升值空间明显，而预测业绩下跌的概率和幅度往往较低，在这种前提下，按凯利公式计算出来的投资比例往往是大于100%的。也就是说从概率的角度，不光要投，还要上杠杆使劲投。但这并不意味着我们可以真的上杠杆，切忌生搬硬套。对投资的不确定性要心存敬畏，并且杠杆在实际使用中存在强制平仓的风险，需牢记「远离杠杆」的箴言。

声明：本人所发文章均仅用于记录个人学习思考，不用于任何投资建议。

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