人教版教科书乱象低级错误震惊数学界——从用相对论证明勾股定理说起

魔镜魔镜告诉我，什么是世界上最漂亮的几何定理？

这个问题的答案理所当然——平面几何中最重要、也算是最漂亮的定理，理应归属于勾股定理（在世界上一般被称为毕达哥拉斯定理）。

当然，她在数学、科学中的重要性，以及优美程度也是首屈一指的。爱因斯坦提出的相对论中的质能方程地位也与之相似。

最近，微博上火了一个话题——人教版出版的自读课本中提到，“爱因斯坦用质能方程证明了勾股定理”，这马上激起了人们的热议。

具体见下图：

图片来自微博 果壳网主编@瘦驼

(⊙﹏⊙)呃…

这所谓的“爱因斯坦使用相对论对勾股定理的证明”只要稍微一看，就会觉得相当不靠谱。

首先，其中的符号相当混乱：

题目中，前面介绍说E=mc^2中E为物体的能量，m为物体的质量，c为光速。

后面却又用E表示三角形面积，根据质能方程有E=mc^2，但是这里却又偷换概念把这个公式理解为直角三角形面积E=mc^2，如果这里的c是斜边，m是什么？文中并没有给出解释，所以这个所谓的面积公式几乎就是胡说八道不知所云了。

两个小直角三角形E(a)=ma^2，E(b)=mb^2，中同样没有交待m是什么东西，最关键的是这三个公式中的m为什么是同一个数，居然还可以约去？😂所以这个证明实在是让人笑掉大牙的bullshit……更让人震惊的是居然是人教版的自读教材？？？你说这是想让孩子学什么呢？

后来，有人爆出《自读教材》里这个证明可能是从网上摘抄的，并提供了“新语丝”网站2005年一个帖子作为证明。从行文方式看，几乎一样，所以有很大可能是《自读教材》的编者不懂装懂，照抄了其中的证明。OMG😨

新语丝网站截图

原文显然出于是恶搞幽默的目的所创，类似“洋葱新闻”，看起来令人脑洞大开，会心一笑，但不知怎么的，就偏偏有人信以为真了。

网上看到的类似恶搞图片

有人贴出过一个与之看起来相似的英文证明，据说爱因斯坦在11岁时就独立发现并给出过这样的证明。但这是一个利用相似原理给出的正确的证明，与相对论没有任何关系。严格说来，这个证明也很早就有了，爱因斯坦虽独立发现，也并非首创。

看起来，真正的证明与《自读教材》中给出的所谓的“相对论证明”仿佛大同小异，然而差之毫厘，谬以千里。

真正的证明里并没有用到质能方程，只是用到了相似。因为三角形的面积是底乘高的一半，所以相似三角形的面积比为相似比的平方。设大三角形的面积为mc^2,则两个小三角形的面积为ma^2,mb^2,由两个小三角形的面积之和等于大三角形的面积，从而得到

mc^2=ma^2+mb^2,

则a^2+b^2=c^2。

当然，勾股定理的证明方法非常多，现在基本有两三百种之多了。证明思路要么是把两个小正方形拼起来得到大正方形。要么构造图形，通过算两次得到此恒等式。要么用相似证明。比较而言，比较简洁的方法应该是利用相似来证明了，上述就是其中方法之一。

还有一种证法，是把三角形各扩大a、b、c倍，得到的两个小直角三角形刚好能拼成一个大的直角三角形，这样由斜边长相等就得到了a^2+b^2=c^2。这就是下面的这种漂亮的“无字证明”。

第三种相似证法是利用射影定理，

证：作CD⊥AB于D。

由相似得射影定理，  AC^2＝AD*AB；           BC^2＝BD*AB；

两式相加：AC^2＋ BC^2＝AD*AB＋BD*AB

＝（AD＋BD）*AB＝AB^2。

比较而言，用射影定理证明应该是最简洁的了。

我清楚的记得，1996年我参加陕西省的中考，考试中最后一个试题就是叙述并证明勾股定理。我就是使用上述射影定理迅速证明的。

当然，上述三种证法殊途同归，都需要用到相似来完成证明。

勾股定理也是经常受到青睐的一道考题：1979年高考题中也考过。2011年陕西省高考题考了证明其推广形式——余弦定理。虽然看似简单，但是从结果来看，得分率其实都不高。

但是，现在初中教材做了很大的调整，相似的概念到初三才能学到，而勾股定理是初二的第一章，所以书上一般是采取拼图算两次的方法来证明的。下面说一种比较经典的拼图方法。

证：

如图，将四个直角三角形拼成一个大正方形，则里面是一个边长为a-b的正方形，

由面积不变得到

c^2＝(a－b)^2＋4×0.5ab＝a^2＋b^2。

要注意，所谓的证明，是用基础的知识和结论来解释新的结论，不能循环论证，即使用由勾股定理得到的结论来证明勾股定理。例如利用直角坐标系中的两点间距离公式、余弦定理、三角函数的同角的正余弦平方和为1等证明都是循环论证。

当然，对于小朋友及初学者，只要能够给他们一个直观的演示即可，相对而言，下述动画通过倒水对勾股定理的“证明”应该是最直观的，所有人都能理解吧。【下图流水法客观承认勾股定理，不是严格的证明方法，小编注】

最后，作为一名数学教师，我希望学生们都能够拥有敢于质疑的精神，所谓“博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之”，并能够将质疑建立在实证与理性的基础上，去寻找确凿的证据，进行严密的思考，树立真正的科学精神。

以下为小编补充信息：随后人教社中数室发了一个声明。

声明

6月17日下午，自媒体XXX公众号发布了以《XXX》为题的文章，并有一些网友转发。看到此文章后，我们立即对相关内容进行了核实，现就有关问题说明如下。该文涉及内容确实出自我社出版的《义务教育教科书数学八年级下册自读课本》。这是一套供学生自行购买在课外阅读的图书，其中“第十七章勾股定理”中涉及“爱因斯坦对勾股定理的证明”的内容。我们认真查阅相关资料，确有文献记载爱因斯坦在少年时，曾运用相似、利用两个小直角三角形的面积和等于大直角三角形的面积，证明过勾股定理，但其证明过程中涉及的公式Ec=mc2与相对论的质能方程具有类似的形式是一种偶然，并不能说明他是利用相对论证明了勾股定理，因此自读课本中的有关表述存在错误。在《自读课本》中出现这样的问题，说明我们在编辑、审稿过程中不够严谨科学。对于读者提出的批评意见，我们表示衷心地感谢和接受，并向读者表示深深的歉意，我们将在今年本书再版时给予更正。再次感谢广大读者对我们出版的图书的批评和关心！

荒谬

这次是有人发现八年级下这本书的第17、18页有关勾股定理的内容出错。据说最初是一个自学初中数学的10岁的小学生提出来的。

书中说勾股定理曾经引起爱因斯坦的浓厚兴趣，“爱因斯坦用相对论来证明勾股定理”。还说“爱因斯坦的这个证明发表后，震惊了国际数学界，大家发现原来相对论有这么大的威力，后来德国著名数学刊物Mathematische Annalen聘请爱因斯坦做了多年的主编。”

看到这些文字叙述，根本不用看具体的证明，明白人都知道这个错误太荒谬。

传说爱因斯坦是在幼年时独自（重新）发现过一个勾股定理的证明。但他不可能用后来发现的相对论去证明勾股定理。而且两者之间没有关系。

令网友震惊的是这个错误之离谱。

一是错误长时间没被发现。该套教材至少自2013年就开始出版发行了，至今已有7年。

编者阵容听起来很强大，为人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心。

此外，图书要经过层层审批。

但凡只要真正认真思考过就不会出错。

但据知乎网友评论：（初版）的责编去美国享受美好生活去了，再版的责编只是换了个颜色：没仔细看内容。

我猜测这种编撰的图书容易出错的一个原因是没有具体的责任人。干活的是下面的人，可能是研究生之类的，没有积极性，挂名的人又不干活。

“专家”请自重

我们曾经在《是谁在为民科站台》 中呼吁，专家们要爱惜羽毛，不要为各种错误站台。看来是很有必要的。

如其中曾举例提到

我们还想起我们曾经介绍过深圳市儒家文化研究会专家罗莫，《他说他破解了‘哥德巴赫猜想’》。有读者认为我们不应该介绍这样十足的不该相信的材料（《是正确认识哥德巴赫猜想的时候了》）。但就是有一些专家，有一些大学与罗莫等同流合污。

据介绍，罗莫是深圳数学科普协会的秘书长。据深圳新闻网报道，今年7月，深圳市数学科普学会在南科大举行揭牌仪式，正式成立。据介绍深圳市数学科普学会是深圳数学工作者的学术性法人社团，由南方科技大学数学系专家教授联合深圳数学爱好者运营，是深圳市科学技术委员会的组成部分。...... 汪斌老领导在现场表示，深圳市数学科普学会得到了市科协的大力支持，去年支持出版了《深圳基础理论原创文集》一书，今年学会正式运营，市科协将全面主管学会运作。

《深圳基础理论原创文集》就有罗莫的大作。

深刻反思

下面是相关领导的回复：

在《自读课本》中出现这样的失误，说明我们在编辑、审稿过程中不够严谨科学。对于读者提出的批评意见，我们表示衷心地感谢和接受，并向读者表示深深的歉意，我们将在今年本书再版时给予更正。再次感谢各位老师对于我们出版图书的关注。也恳请各位老师在微博、微信中看到这篇文章时能替我们做一些解释工作，并请相熟的朋友撤回或不要再转发。拜托！[抱拳][抱拳][抱拳]

其实这是一个深刻反思教材中问题的好机会。人教社教材的荒谬只是冰山一角我们应该广泛讨论，引起大众和专家的积极思考，而非逃避。

最近数学会的诸多院士们，如田刚，袁亚湘，席南华院士等都不遗余力地在网络进行数学科普讲座。为什么呢？一个原因可能是为了巩固来之不易的数学春天，来之不易的国家领导的重视。

现在人教社的教材出了问题。这表示数学春天之下还有很多乌云。数学家们应该感到羞愧，应该低头看看脚下，“将论文写在中国大地”。

人教社发的声明也不是那么诚恳，领导的留言也显得尴尬。至少说明现在编书都在互相抄袭，不辨真假，缺少数学基本素养。最近暴露的正规教科书以及一些作协领导主编的书籍问题不少。希望国家能够重视教科书编写和课外读物把关。奉劝名家名师们，不能只挂名出了问题推给下属背锅，拿了钱还是要好好对待的，这一点我们应该学习郑渊洁，远离曹文轩。不能用身份硬性推销书籍进校园，这个后面会写继续写。

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