微积分的“前世今生”
摘要：
微积分是一门在历史上有重大影响的数学分支，了解微积分的“前世今生”不仅可以提升大家学习微积分的兴趣，还能让人更好的学习和应用微积分。明白微积分中包含的思想是如何从遥远的古代想法，变为现在严谨、完善的数学体系，并体会这一过程所蕴含的精神。
微积分诞生的前夜
与曲线相关的求切线和求面积问题，很久以来就是引人关注的问题。为了解决这个问题，微积分中最重要的思想：极限思想，更是在各种文明中频频出现。华夏文明、古印度文明、古希腊文明都有关于极限的思想和解决曲线问题的方法。虽然有《墨经》《庄子》中关于极限的思考，刘徽（约225－295）的“割圆术”，“印度圆”求圆面积的方法，以及芝诺（Zeno of Elea,约B.C.490－B.C.425）的“阿喀琉斯与乌龟”等思想实验，但这些思想都没能发展出微积分。尽管这些思想都极富启发性，但还是缺少了一些重要的“必要条件”。
能发展出微积分体系的是以数学家阿基米德（Archimedes,公元前287－公元前212）为代表的这一条思想路线。这一思想路线有个非常明显的特点：公理化的研究方法。就是靠着这一点，数学不仅可以更清晰地表达思想，从而更好的联系现实，而且公理化后的数学超越了繁琐的眼前问题。一代代数学家们可以围绕公理体系概念和定理的拓展和完善来研究问题，从而为数学积累大量的、稳固的知识。从此“算术”不再是眼前问题的附庸——只是在需要计算是才被关注，当眼前问题解决时就会被弃置一旁。数学真正成为了不同学科的“必学工具”——能参与解决具体问题，但又高于具体问题。
经过漫长的中世纪后的十七世纪，阿基米德等人的这一思想被重新发掘出来。当曲线相关的求切线和求面积问题，正式进入了公理化的研究模式之后，只需等待那些伟大的数学家将所需的知识一一准备齐全，微积分的诞生就是水到渠成的事情。
在曲线问题上，接过阿基米德接力棒的伟大学者是开普勒（J.Kepler,1571－1630）。开普勒拓展了阿基米德关于椭圆问题的思考，并用于了他在天文学上的研究。他引入了无穷大和无穷小的概念，为极限问题的进一步研究铺平了道路。紧接着，几何问题的研究方法有了很大的进步——笛卡儿（R.Descartes,1596－1650）将代数方法引进了几何研究，关于曲线的几何问题可以用代数方法进行研究。同时代的费马（P.d.Fermat,1601－1665）在研究解析几何时，也深入研究了曲线及其切线的性质，他的“准等式”求极值点的方法已经与微积分非常接近。
在意大利的卡瓦列利(F. B. Cavalieri,1598－1647)、英国的巴罗(I.Barrow,1630－1677）和沃利斯（J. Wallis,1616－1703）等人的努力下，面（体）积、求极值、求瞬时速度和求切线四者的问题研究都到达了一定程度。微积分的诞生已经近在咫尺，就差那能冲破瓶颈，发现这四者的内在联系，并证明微分与积分之间关系之人的出现。
只要人们依然对解决问题充满兴趣，对探求真理充满渴望。当机遇降临时，爱智慧的心将会为思想家们指明靠近真理的方向，使他们不会迷失在繁杂的人际关系量度或只顾眼前的“实用问题”之中。
1661年，一位年轻的优秀学生进入了英国剑桥，并受到了巴罗教授的悉心指导。同年，德国莱比锡大学也迎来了一位热爱哲学和科学著作的青年学生。牛顿(I.Newton,1643－1727）和莱布尼茨（G.W.Leibniz,1646－1716）这两位智慧之人登上了数学史的舞台。在爱智慧之精神地引领下，他们站在巨人的肩膀上，创造出了超越“巨人们”的伟大成果——微积分。
微积分的诞生
牛顿和莱布尼茨，是两位充满思维力量的思想家。
牛顿创造出的经典力学体系，让在黑暗中隐藏的自然和自然法则，第一次被人所照亮，从此人类有了第一个完整的、系统的科学理论。而莱布尼茨对二进制和逻辑学的研究，为后世数理逻辑和计算机科学提供了思想基础。他的“莱布尼茨之梦”更是激发了无数学者的研究热情。但是，他们创造微积分的出发点却不尽相同。
牛顿创立微积分的出发点，来自于他对物理学的研究。《1666年10月流数简论》中，可以看出牛顿微积分来自于他对运动学的研究，该文事实上是以速度的形式引入了流数，即倒数的概念（注）。牛顿所发明的“流数法”最终被运用到了他的力学名著《自然哲学中的数学原理》中，书中利用微积分工具证明了开普勒行星运行三大定律和万有引力定律在内的一系列结论。
莱布尼茨的出发点来自他对几何学的研究。与更注重实际应用的牛顿不同，莱布尼茨更侧重微积分的形式运算法则和符号系统。作为符号设计的天才、符号逻辑思想的先驱，莱布尼茨设计出了漂亮的符号系统。他在微积分运算时使用的许多符号，因其在实践中所表现出的优越性和启示性而被沿用至今。
牛顿和莱布尼茨两人的出发点和思路差异明显，一个是专注于观察和测量的英国经验主义的世界；一个用传统理性主义的方法来解决难题的世界。但是，他们都有一种精神促使着他们去挑战前人所无法完成的事情，去解决前人无法解决的问题，去发现前人无法察觉的关系。这种精神，就是那能让人产生对未知事物好奇的，能使人不满足于前人言语、说教的，能给予人克服种种困难之毅力和激情的——追求真理之精神。就是这种梦想着追求在事物背后更普遍、更基础知识的精神，牛顿和莱布尼茨由不同的问题出发，最终分别走到了微积分的面前。
在微积分打开了高等数学的大门之后，大量数学家投身于微积分的研究之中，刺激和推动了许多新的数学分支的产生，从而形成了“数学分析”这个新兴的数学领域。但是，刚刚诞生的微积分是有缺陷的。牛顿和莱布尼茨所使用的一些概念模糊不清。莱布尼茨未能在严格的定义无穷小量；而牛顿的“始比”和“末比”时而保留，时而略去，无法准确定义。结果，第二次数学危机的种子就这样被悄悄地埋下了。
微积分的完善
微积分诞生后的十八世纪，是属于微积分的时代。欧拉（L.Euler,1707－1783）、拉格朗日（J.Lagrange,1736－1813）、拉普拉斯（P.S.Laplace,1749－1827）等伟大的数学家都投身于微积分的研究之中，他们的成果极大的促进了数学和物理学等自然课学的发展。但与此同时，第二次数学危机的幽灵却如同一朵可怖的乌云，遮挡了微积分理论大厦的光芒。关于极限的一系列问题，成了数学家们不得不面对的事情，否则微积分将会成为一座没有根基的“空中楼阁”。
经过一个多世纪的发展，微积分的力量已经被充分的发展出来。需要运用微积分工具的牛顿力学体系，已经成为工业生产中必不可少的知识理论。实践生产中的力量证明了微积分，而微积分也已成为了人们生活中必不可少的要素。这使得传统思想不能通过独占话语权，从而封杀微积分思想的存在。这样一来，为生产力发展提供动力的知识理论研究，最终也从生产力的发展中获得了保护。
依靠着生产力发展所带来的保护，数学家们能在更良好的环境中解决问题。当面对微积分基础概念模糊的困难时，十九世纪的数学家们拥有了比前辈们更好的研究环境，这促使了问题的最终解决。在法国数学家柯西（A-L.Cauchy,1789－1857）和德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierstrass,1815－1897）等人的努力之下，微积分学才达到了足够的严密程度。在戴德金（J.W.R.Dedekind,1831－1916）和伟大的德国数学家康托尔（G.Cantor,1845－1918）的努力下，实数理论以及集合论最终很好的回应了极限中关于“无穷”的问题，微积分的严格基础体系也宣告完成。
至此，微积分终于能如同一座根基牢固的大树，屹立在思想、知识体系之中。而树上早已枝繁叶茂、硕果磊磊。如今，微积分已经深入到自然学科和社会学科的方方面面。从物理学到生物学，从经济学到管理学，都离不开微积分及其思想的光辉。
结语：
从古代中国、印度、希腊的极限思想萌芽，到现代微积分的严格基础体系的建立，历时千年，在无数思想家们的努力之下，人们终于在极限问题上交出了一份令人满意的答卷。但这还不是终点，真理不是几个挂在树上触手可及的苹果，而是一片永远映在空中的繁星。我们只是在仰望真理星空的一角，而不是拥有了全部的真理果实，就如微积分的奠基人牛顿所说：“在我的面前，仍是一片未知的真理海洋。”接过先前思想家的伟大意志，踏上追寻真理的永恒道路，我们的未来就在前方。
参考文献：
姜保周，《高数中微积分的发展》
莱布尼茨：“精炼我们的推理的唯一方式是使它们同数学一样切实，这样我们能一眼就找出我们的错误，并且在人们有争议的时候，我们可以简单的说： 让我们计算[calculemus]，而无须进一步的忙乱，就能看出谁是正确的。”(发现的艺术 1685,W 51）
马国良，《微积分发展浅议》
牛顿临终前对友人的话：“我不知道世人将怎样看我。我自己不过是一个在海边玩耍的小孩，偶然拣到一些比平常更光滑的卵石或更美丽的贝壳并因此沾沾自喜。而在我面前，却仍是一片未知的真理的海洋。”
英文原句：“I do not know what may appear to theworld, but to myself I seem to have been only like a boy playing on theseashore and diverting myself in now and then finding a smoother pebble or aprettier shell than ordinary, whilst the great ocean of truth lay allundiscovered before me.”
《牛津大学公开课：康德的纯粹理性批判》节选：“他（康德）活在一个分裂的世界里。他活在牛顿和莱布尼兹的双重世界里。一个是专注于观察和测量的英国经验主义的世界；一个用传统理性主义的方法来解决难题的世界，如果你是处在正确位置上那个对的人那你就应该能演绎出世界的全部事实。”
英文原句：“He’s living in a divided world. He’s living in a world of Newton andLeibniz. A world of British empiricism focused on observation and measurementand a world of traditional rationalist approaches to difficult problems whereif you’re the right person sitting in the right armchair you should be able todeduce the facts of the world.”
人教版，《数学选修3—1 数学史选讲》
亚历山大•波普（Alexander Pope)的诗句：“自然和自然法则在黑暗中隐藏；上帝说，让牛顿去吧！于是一切都被照亮。”
英文原句：Nature and Nature'slaw lay hid in night; God said,"Let Newton be,"and all was light.
张双南，《中科院“内讧”？“阴阳五行”之争升级，科学家互“撕”究竟鹿死谁手？（上）》