【数学美】分割三角形

等腰三角形中的多解问题与作图

分割三角形

林攀峰

导语著名数学家华罗庚：“复杂的问题要善于退，足够地退，退到原始而不失去重要性的地方，这是学好数学的一个决窍”。

思考1：若过等腰三角形其中一个顶点作一条直线，把它分成两个等腰三角形，则这样的等腰三角形应满足什么条件？

思路点拨：注意按锐角、直角、钝角三角形来分类讨论。

在△ABC中，若AB=AC，过其中一个顶点的一条直线，将△ABC分成两个等腰三角形。

情况1：若△ABC为等腰直角三角形， 

如图，过点A作底边上的高所在直线，满足条件，此∠B=90°,∠A=∠C=45°.

情况2：若△ABC为锐角三角形，如图2、3，则有两种不同的分法， 

在图2中，CA=CD，DB=DC，设∠B=∠BCD=α,∠A=∠ADC=2α，则有∠ACD=α，由α+2α+2α=180°，得α=36°，所以∠B=36°，∠A=∠ACB=72°.

在图3中，AC=AD，DB=DC,设∠B=∠BCD=α,∠ACD=∠ADC=2α，则有∠A=∠ACB=3α，由α+3α+3α=180°，得α=，所以∠B=，∠A=∠ACB=.

情况3：若△ABC为钝角三角形， 

如图，AB=AD，DB=DC,设∠C=∠DBC=α,∠ABD=∠ADB=2α，则有∠A=α，由α+α+3α=180°，得α=36°，所以∠ABC=108°，∠A=∠C=36°.

思考2：若过三角形其中一个顶点作一条直线，把它分成两个等腰三角形，则这样的三角形应满足什么条件？

思路点拨：若按三角形的形状、等腰三角形的腰与底全面讨论，一共27种，画出图形，再排除不成立和重合，是一项非常考验耐心和细心的工作。

我们若能改变思路，从图形 48 31278 48 14985 0 0 3851 0 0:00:08 0:00:03 0:00:05 3851生长入手，或许会有不一样的收获。

分析如下

基本图形：等腰△ABC（AB=AC）

图形生长：

（一）生长腰，构造出第二个等腰△AOC，则△BOC就是所求作的。

1:延长BA到O，使AO=AC；

2：延长BA到O，使OA=OC；

3：延长BA到O，使CA=CO；

4：延长AB到O，使BC=BO.

（二）生长底，构造出第二个等腰△BOC，则△AOB就是所求作的。

5：延长AC到O，使CA=CO，

再分别根据简化后5种情况，利用方程思想完成剩下的步骤，从而解决这个问题。

由此可以看出，解决问题的关键是恰当地运用图形的生长思想，通过图解加以区分，会很大程度地简化分类讨论情况。

练习：一个三角形可被分割成两个等腰三角形，原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值。

（青少年数学国际城市邀请赛试题）

请尝试解答，相信你一定行。

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