【好题共赏】将旋转进行到底

【专题系列】好题赏析，进阶学习！

（九年级2017上学期期中考精选题）

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好

题

赏

析

将旋转进行到底

如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕旋转中心E旋转得到线段CD，其中点A的对应点是C，点B的对应点是D，且A（-2，0），C（2，0）.

（1）求作旋转中心E；（保留作图痕迹）

（2）连接BE，DE，若∠BED=120°,求直线AB与CD所夹锐角的度数.

【分析】

（1）根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，注意A（-2，0）， C（2，0）关于y轴对称，故只要作出线段BD的垂直平分线，与y轴的交点即是旋转中心E.

（2）设直线AB与CD相交于点F，由旋转性质可知△EAB≌△ECD，有∠EBA=∠EDC，则在四边形EBFD中，可得∠BED+∠BFD=180°，得∠BFD=60°.

【点评】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质得出图形的旋转中心，及旋转的全等变换是解题的关键．

进

阶

学

习

1．如图，在方格纸中，线段AB绕某个点旋转一定角度得到线段CD，其中点A的对应点是点C，则旋转中心是点（　　）

A．点E          B．点F      C．点G       D．点H

【分析】根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线必过旋转中心，根据网格结构作AC、BD的垂直平分线，交点H即为旋转中心．故选D．

2.（2017•福建）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域是（　　）

A．1区    B．2区    C．3区    D．4区菁优网版权所有

【分析】根据旋转的性质连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即为旋转中心，从而得出线段AB和点P是绕着同一个该点逆时针旋转90°，∴点P逆时针旋转90°后所得对应点P′落在4区，故选：D．

3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，点E与点D关于直线AB对称，连接AE、BE．

（1）求BD：DC；

（2）将图1中的△ABE绕点B逆时针方向旋转到△A₁BE₁．连接A₁C、AE₁，如图2所示，求线段AE₁与A₁C的数量关系及它们所夹锐角的度数．

【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质和垂直平分线的性质可证明BD=AD，再根据含30°角的直角三角形性质可证明：AD：DC=1；2，所以BD：DC=1：2；

（1）如图2，过点A作AF⊥BC交于点F，则BC=2BF，由（1）可知△ADB中，AD=BD，∠ADB=120°，设A₁C分别交AE₁，AB于点M和N，证明△A₁E₁B∽△ABC，根据相似三角形的性质即可证明线段AE₁与A₁C的数量关系及它们所夹锐角的度数．

【注】参考答案：（1）BD：DC=1：2（2）A₁C=AE₁和30°．

4.在△ABC中，∠A=30°，AB=2，将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到△DBE，其中点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，AC、DE相交于点F，连接BF．

（1）如图1，若α=60°，线段BA绕点B旋转α得到线段BD．请补全△DBE，并直接写出∠AFB的度数；

（2）如图2，若α=90°，求∠AFB的度数和BF的长；

（3）如图3，若旋转α（0°＜α＜90°），请直接写出∠AFB的度数及BF的长（用含α的代数式表示）．

【分析】（1）首先根据题意，把线段BC绕点B顺时针旋转60°得到线段BE，再连接DE，即可补全△DBE；然后判断出AF垂直平分BD，即可推得DF=BF，∠AFB=∠DFG，在Rt△DGF中，求出∠DFG的度数，即可判断出∠AFB的度数．

（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△ABG∽△DFG，即可判断出∠DFG=∠ABG=90°；然后推得A、B、D、F在以AD为直径的圆上，再根据圆周角定理，可得∠AFB=∠ADB=45°；最后在△ABF中，由正弦定理，求出BF的长是多少即可．

（3）首先根据∠A=∠D=30°，可得A、B、D、F四点共圆，所以∠AFB=∠ADB，在△ABD中，求出∠ADB的度数，即可求出∠AFB的度数；然后在△ABF中，由正弦定理，求出BF的长是多少即可．

【注】参考答案（1）∠AFB=60°．（2）BF=．

（3）如图3，BF=．