数学到底是什么？布尔巴基学派启示录
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尼古拉·布尔巴基，法国数学家，生于1886年，大学毕业后获得奖学金，先是去了巴黎，然后到了哥廷根大学，分别师从庞加莱和希尔伯特，1910年完成学位论文答辩。他的学术生涯丰富多彩，合作者无数，名誉扶摇直上。
——简历中这位颇有成就的数学家实际上就是鼎鼎大名的布尔巴基学派，而简历的撰写者正是学派的创始人之一，数学家安德烈·韦伊。虽然这位杜撰的布尔巴基先生先后师从庞加莱和希尔伯特，但真实的布尔巴基学派所信奉的却始终是公理体系与结构主义思想。
从最初在巴黎的一家餐厅讨论写作一本1000多页的现代分析教科书，到最终出版堪称“二十世纪《几何原本》”的数十卷《数学原本》，布尔巴基学派如何缔造了自身的传奇？其结构主义思想如何影响了整个数学界，对今天的数学又有何启示？2019年12月10日是布尔巴基学派首次会议的85周年纪念日，这个冬天或许正是我们重温其发展史的时候。
撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）
几百年来，法兰西民族给近现代世界的文化进步和科技发展起到了引领大潮的推动力作用，并为此贡献了一代又一代的天才人物。十七世纪从科学哲人笛卡尔、帕斯卡，到“业余数学家之王”费马；十八世纪从启蒙思想家伏尔泰、狄德罗、卢梭，到1789年的法国大革命；十九世纪从伟大小说家巴尔扎克、雨果及现实主义雕塑大师罗丹，到流芳百世的数理全才庞加莱和造福人类的生物巨人巴斯德，他们所代表的各行业的杰出法国学者为人类的荣耀增添了光辉。
二十世纪三十年代的法国，出现了一个被称为“布尔巴基”的数学团体，它的成员均为那时还未成名的法兰西年轻数学家。然而在很短的时间内，这个团体以它的数学观和它的著作，像一颗耀眼的明珠迅速升腾在世界数学的天空，在六七十年代达到辉煌，其对国际数学界甚至中小学数学教育不可忽视的影响力也在那时臻于极大。
到了新世纪，虽然布尔巴基不再光辉如初，它的著作也少有出版，但它依然存在，依然定期举办讨论班，依然召开数学会议，依然影响着世界各地的数学。我国当前的数学氛围和前景，与当年布尔巴基诞生之初的环境有类似之处，数学界的思维状态也和法国那时的情景有可比之点。因此重温一下布尔巴基这个在上世纪影响国际数学几十年的数学家团体的兴衰史，分析一下它的数学世界观，或许能给予我们关于“数学到底是什么”的一丝线索。
布尔巴基的诞生
布尔巴基是如何“横空出世”的？这要从当时法国数学界的状况谈起。上世纪初的第一次世界大战，敌对国德国的政府聪明地设法保护自己的年轻才俊免上前线当炮灰，从而保存了一批未来的优质科学家，大概他们从一百年前的法国统帅拿破仑那句名言“我不会杀了会下金蛋的老母鸡”中学到了什么。然而法国政府却好像忘掉了历史伟人的这句忠告，让年轻人聚集在爱国主义的大旗下，一视同仁地奔赴前线战场，连1794年创办的精英大学巴黎高等师范学校（简称巴黎高师或高师）的学子们也不例外。结果是，从1911年到1914年进校的高师数学系学生，几乎半数在大战中丧生；从1900年到1918年进入高师的331名学生中，四分之一没能从战场上归来。
到了二十年代，一批法国数学界未来的精英考取了巴黎高师。他们当中有五位是十年后布尔巴基诞生的“助产士”：嘉当 (Henri Cartan，1904-2008) 、谢瓦莱(Claude Chevalley，1909-1984)、德尔萨特 (Jean Delsarte，1903-1968) 、迪厄多内 (Jean Dieudonne，1906-1992) 和韦伊 (André Weil，1906-1998) 。这五个布尔巴基的最初成员中，德尔萨特和韦伊、嘉当、迪厄多内及谢瓦莱分别于1922、1923、1924及1926年进校。所以巴黎高师是培育出布尔巴基的摇篮。
在他们大学求知的岁月，巴黎高师的数学家群体以及更广泛的法国数学界因为世界大战而落到青黄不接的地步。虽然皮卡 (Charles Picard，1856-1941) 、阿达马 (Jacques Hadamard，1865-1963) 、波莱尔 (Felix Borel，1871-1956) 、勒贝格 (Henri Lebesgue，1875-1941) 等名闻天下的一流数学家依然健在，但都已垂垂老也，早已超出富于创造力的年岁。比他们年轻二十来岁的新一代数学家，或已经战死疆场，或还未羽毛丰满。祖父级年龄教授的沉闷课堂、使用了多年未变的陈旧教材，都让他们深感失望。
1982年，在一篇采访记中，嘉当回忆了导致布尔巴基诞生的最初想法和直接起因：
“1934年，韦伊和我都在斯特拉斯堡大学教书。我常和他谈到我所教的微积分课。因为所用的教科书不令人满意，尤其关于多重积分和斯托克斯定理，我一直在想怎样用最好的方式教这门课。我和韦伊就我的担心讨论了几次。某一天风和日丽，他对我说‘我们需要永久性地解决这个问题。我们应该写一本关于分析的好教科书。这样你就不再埋怨了。’”
布尔巴基的主要肇始者韦伊在他出版于1991年的自传《一位数学家的学徒日子》(The Apprenticeship of a Mathematician) 中，证实了前一个肇始者回忆的正确性：
除了上述的五人外，库伦 (Jean Coulomb，1904-1999)、埃雷斯曼 (Charles Ehresmann，1905-1979) 、芒德布罗伊 (Szolem Mandelbrojt，1899-1983；分形之父芒德布罗 (Benoit Mandelbrot，1924-2010)的叔父) 及波塞尔 (Rene de Possel，1905-1974) 等四人也参与了这个数学团体的创建。在这九个创始人中，仅仅出生于波兰、年龄最长的芒德布罗伊不是高师出身，波塞尔本质上不是数学家，而是地球物理学家，早在1937年就“脱党”了。
1934年12月10日是礼拜一，这九人中的六位——嘉当、谢瓦莱、德尔萨特、迪厄多内、波塞尔和韦伊——趁着参加庞加莱研究所的朱利亚讨论班之机，在巴黎拉丁区的一个名叫A. Capoulada的餐厅地下室，围着餐桌一边吃午饭，一边举行了第一次“工作会议”。他们都不到30岁，年纪最小的谢瓦莱才25岁，尚未正式任教，其余的五人都不在巴黎的大学教书：嘉当和韦伊在斯特拉斯堡大学，德尔萨特在南锡大学，迪厄多内在雷恩大学，而波塞尔在克莱蒙特-费朗大学。
他们的目的很简单很直接：为法国高等教育撰写一部新的分析教材，以取代目前不令人满意的教课书——比如用了多年的古尔萨 (Edouard Goursat，1858-1936) 的那本《分析学》。按照韦伊的想法，有必要“通过写出一本覆盖广泛材料的分析教程，为未来的25年建立微积分学的内容”，而且此书应“尽可能现代化”。为了完成这一使命，德尔萨特强力支持集体写作的想法，并且希望第一卷要在六个月后出版（事实上第一卷到了1939年才问世），嘉当则提议整套书的篇幅最多在1000到1200页之间（事实上到目前为止，完成日期“不可预测”的这套书已出的三十多卷总页数已超过了六千页），而韦伊提出建议成立确认各个章节内容的几个子委员会。
1935年7月，这群年轻数学家召开了第一次全体会议。7月16日可以被认为是“集体笔名”布尔巴基的诞生日。那天，忙着开会但讨论问题未果的他们决定休息一会儿，便跑到三英里外的Pavin湖边。一个有根据的说法是：
“布尔巴基”就这样降落人间！
“布尔巴基”仅仅是我年轻时读报纸常常看到的像“梁效”、“丁学雷”这样的写作班子的笔名吗？不，它是十九世纪一个具有希腊血统的法国将军的姓，这位将军全名叫查理·布尔巴基 (Charles Bourbaki，1816-1897) 。
布尔巴基将军毕业于法国的“西点军校”——I’Ecole Spéciale Militaire，有过几十年的戎马生涯，从非洲到意大利打了无数次的仗。在1870-1871的普法战争中，他先赢后输，而这也折射出当时法国的情景。
为何这位或许不懂得多少微积分的昔日军人与这帮今日数学才俊有缘？事实上，这同来自巴黎高师的一出恶作剧有关。1923年，一个数学系三年级的大学生雨松 (Raoul Husson) 决定对一年级新生来个恶作剧，他贴了一张海报，说Holmgren教授要做一个讲演，所有新生都要参加。结果如韦伊在其自传中所述：
始作俑者雨松从法国军事史中看到布尔巴基的名字，普法战争也刚过去55年，加上布尔巴基将军的麾下有高师的学生，他的名字还在人们的记忆之中，故雨松把他的名字借来张冠李戴地用在了数学上！
三十年代再次成为“布尔巴基”麾下的数学家们，干脆假戏真做地搞起了幽默勾当。首先他们决定用他的姓作为所建团体的名称。为了展示它作为一个人物个体的“真实存在性”，他们决定在法国科学院发表以之署名的一篇数学文章，但这还需要一个名。韦伊未来的太太伊夫兰 (Eveline) 则为布尔巴基起了一个与末代沙皇一样的名“尼古拉”，这样Nicolas Bourbaki就成了这个数学组织的正式全名。韦伊自告奋勇地杜撰了布尔巴基的简历，开了一次嘉当之父、陈省身的老师老嘉当 (Elie Cartan，1869-1951) 的后门，送到科学院秘书皮卡手上，因为在科学院发表文章需要一位院士的推荐。
这位无中生有的尼古拉·布尔巴基，在热爱语言和文学的韦伊 [须知他的妹妹西蒙娜 (Simone Weil，1909-1943) 是享有世界声誉的法国哲学家和社会活动家] 绘声绘色的生花妙笔下，是个颇有成就的数学家，生于1886年，在祖国的哈尔科夫大学毕业后，获得奖学金，去了巴黎，然后到了哥廷根大学，分别师从庞加莱(Henri Poincaré，1854-1912) 及希尔伯特(David Hilbert，1862-1943) ，1910年在母校成功答辩学位论文。后来他的学术生涯丰富多彩，合作者无数，名誉扶摇直上。为了避免被查询，韦伊故意申明布尔巴基的博士论文在1941年德寇入侵后被摧毁，真是描绘、掩饰得天衣无缝。
数学家安德烈·韦伊。| Wikipedia
布尔巴基出名后，各国数学界人士却从来没有在公开场合目睹尊容，他也像隐士一样地不露峥嵘，成了数学界一个迷。如果他的确是个真人，则比去世前的数学大师格罗腾迪克 (Alexandre Grothendieck，1928-2014) 或证明庞加莱猜想的佩雷尔曼 (Grigory Perelman，1966-) 更是“隐士”。直到多年后，布尔巴基在《美国数学月刊》上发表一文，在作者简介中，还是煞有介事地这样称自己：
布尔巴基建立之初的意图仅仅是写一本新的分析学教材，但他们很快就开始“雄心勃勃”起来，因为他们要为“分析学”的写作提供集合论等基础学科的“预备知识”甚至“相关知识”，但这样一来，书的覆盖面就像滚雪球一般越滚越大。谁也没有料到，迄今为止他们已经出版了三十多卷。为什么他们的事业在上世纪六七十年代前越做越大？
理由是这批现已在数学史上留下盛名的青年人一开始就有鸿鹄之志。两千年前，古希腊数学家欧几里得集前人几何成就之大成，一举写出《几何原本》(The Elements)，用几乎处处无懈可击的公理体系，严密推理出几百个几何和算术定理，吹响了导致西方现代文明理性思维的号角之声，成为印刷版次数目仅次于《圣经》的不朽作品。
到了上世纪三十年代，经过布尔巴基人一次次会议的来回争执和热烈讨论，大家一致认为，现代数学的教科书跟不上现代数学前进的步伐，尤其在饱受世界大战重创的法国，缺少统一的数学观，即他们所认定的“数学取决于结构”的哲学理念。他们要把该信条作为写作原则，把数学看成有机整体，而非各个分支的碎片组合，重新构建数学的大厦。因此，他们撇开只写出一本基于微积分思路的现代分析教科书的最初想法，决定集体写出一部与众不同、体现当代数学“结构主义”思想，充满法国文学风格的恢弘大作。
于是，他们模仿欧几里得，将书名取为《数学原本》(Elements of Mathematics) ，希望成为二十世纪的欧几里得，引领国际现代数学教育之潮流。65年后，上世纪结束，他们的目标实现得很不错。据2006年美国数学会翻译出版的 Bourbaki: A Secret Society of Mathematicians（《布尔巴基：数学家的一个秘密团体》）一书中的记载，在法文原著出版之时，已出版的书是：1.《集合论》，2. 《代数》，3. 《一般拓扑学》，4. 《单实变量函数》，5. 《拓扑向量空间》，6. 《积分学》，7. 《交换代数》，8. 《微分和解析簇》，9. 《李群和李代数》，10. 《谱理论》。其中几乎每种书都有好几卷。
《数学原本》第一卷，集合论（1970版）| Wikipedia
这些书的写作过程有点像中国五十年前革命现代京剧的创作：精益求精，百炼成钢。它们都是“革新”的产物，一个属于艺术，一个属于科学，但异途同归于同样的哲学思辨。在布尔巴基集体看来，范·德·瓦尔登的《代数学》是数学写作的典范，于是决定每个章节写出像它那样的风格。但是范·德·瓦尔登写书的依据是诺特 (Emmy Noether，1882-1935) 和阿廷 (Emil Artin，1898-1962) 的讲义，他不必受到别人七嘴八舌的干扰，而以一己之力独自完成那本杰作。（参看《一百年前，她成为德国历史上第一位女性数学讲师》）
布尔巴基就不同了，他们是“写作班子”。每本书动笔之前，大家在会上讨论怎么写，写哪些，以及材料布局的先后次序，等等，都要由众人各抒己见，出谋划策，任何成员都像联合国常任理事国那样拥有否决权，只有一致同意后才决定开写。这时一位志愿者接下任务，由他无拘无束地按照大家定下的模糊计划写出初稿。一两年后，初稿在布尔巴基会议上宣读。在“审稿”会上，他们如同遵循美国杰出数学家费德勒 (Herbert Federer，1920-2010) 关于修改自己数学作品的忠告“好像你是作者最凶恶的敌人”似的，对初稿百般挑剔，无情批判，结果是一部稿子体无完肤地落荒而去，于是再写第二稿，甚至第三稿第四稿，乃至第六、第七、第八稿。读者最后看到的出版物，就是这样千锤百炼后出炉的产品。
前已所述，布尔巴基人信奉“结构主义”思想。他们认为数学研究的是结构：代数结构、拓扑结构和序结构。代数结构关心的是代数运算，拓扑结构与“连续”的概念有关，是分析学研究的对象，而序结构像实数那样考虑的是大小关系。布尔巴基所写的几十卷书全是遵循结构主义思想的结晶，这些精心打造的著作，注重理论概念的结构分析，对不同结构分门别类，全书材料经过整理归纳，各就各位，论题所在位置恰到好处，具有严密的逻辑性，对同时代及后世的数学家及学生影响极大。从欧洲到亚洲，从北美洲到南美洲，许多数学家长大成人的养分就是一部接着一部的布尔巴基大书！
作为一个数学团体，虽然是“半秘密”性的，布尔巴基有自己公开的数学活动。自从1935年7月历时一周的第一次全体会议开始，直到1939年，这样的会每年一次。第二次世界大战爆发后，会员无法聚会，但零星联系依然存在，大战结束后又恢复了所有活动。直到1948年美国洛克菲勒基金会开始提供资助前，布尔巴基的成员都是自掏腰包参加活动，充分说明他们对数学的无比热爱。
不像正式的数学团体，布尔巴基也没有什么“学会章程”之类的繁文褥节。它的正式成员制度，体现了“数学是年轻人的事业”这一信条，“到了50岁必须退出”是一项不成文的规定。年轻的数学人想参加活动，悉听尊便，但要想成为新成员，必须有经得起布尔巴基讨论数学时燃起的熊熊烈火炙烤的心理准备，而且要有添加燃料让火烧得更旺的激情才行。那些坐在一旁洗耳恭听沉默不语的胆小人物或对数学不太活跃的落后分子，多半不会再被邀请参加活动。多年来，布尔巴基的正式成员一般维持在一打左右。
法国和苏联数学界都有讨论班的传统，法国有阿达马的讨论班和朱利亚 (Gaston M. Julia，1893-1978) 的讨论班，苏联有柯尔莫哥洛夫 (Andrey Kolmogorov，1903-1987) 的讨论班和盖尔范德 (Israil Gelfand，1913-2009) 的讨论班。从1948年起，布尔巴基开始举办讨论班，每年2、6、11月共三次在周末举行，每次五个邀请报告，约有200人参加。报告的内容都是数学各方面的最新结果，最后结集出版。今年最后的一次布尔巴基讨论班，报告的内容有北京国际数学研究中心博士后韦东奕与合作者的成果。
通过几十卷数学著作的出版，布尔巴基成了上世纪影响力最大的数学学派之一，其声誉在六七十年代达到顶峰。
韦伊一开始就锁定了巴黎的出版社Hermann同他们携手同进。编辑Enrique Freymann早先就出版过谢瓦莱和韦伊为纪念英年早逝的一位杰出逻辑学家而编辑的一本论文集，后来为布尔巴基丛书的大卖立下汗马之功。事实上，谢瓦莱甚至宣称这位出版人很早就鼓励他们两人写出分析教程以取代古尔萨。尽管有冒险的可能，Freymann一开始就以极大的热情支持布尔巴基的事业。对他至死不渝地全力相助，布尔巴基深受感动，将1954年出版的《集合论》第一卷献给了校对清样时不幸去世的他。
布尔巴基的数学观与现代数学三大学派之一的形式主义学派相一致，他们是德国人希尔伯特的门徒，而不是法国人庞加莱的接棒者。公理体系与抽象的结构主义是他们几十年如一日挥舞的两面旗帜。他们信奉的是：数学的统一性，公理方法，以及结构的研究。这在他们于1947年以尼古拉·布尔巴基署名的文章《数学的结构》中有进一步的阐述。他们所撰的数学书，将现代纯粹数学大厦的中央大厅、砖瓦结构、门窗走廊、天花板面、悬梁屋檐等建筑要素一一展示，有机结合，极富数学建筑之美。精工细作的写作态度使得几乎每本都是登峰造极之作，再加上出版商的通力合作，在数学家与出版社直到七十年代为止的蜜月期间，《数学原本》各卷出版后的销售蒸蒸日上，不仅众多的数学工作者购买，而且全世界的图书馆也要馆藏一本，在很长一段时间内成了出版社的主要利润来源。
希尔伯特信奉公理化体系，他试图将所有现存理论纳入一个有限完备的公理集合当中，并证明这些公理是相容的。而庞加莱认为数学是现实世界的反映。| Wikipedia
然而，如果以为布尔巴基的主要成就仅仅只是十来种30多卷的大书，那就大错特错了。布尔巴基的成员，无论是奠基者还是中生代，甚至年轻一代，许多都是顶级的数学家，其中名气最大的大概就是韦伊了，他是上个世纪全世界几个最伟大的数学家之一，在代数数论和代数几何领域的深刻工作影响深远。同是奠基者的迪厄多内，是这个数学圈子的主要写手，一生在多个领域勤奋耕作，著作等身，晚年还写出泛函分析等学科的数学史。他自己的一本书《现代分析基础》(Foundations of Modern Analysis)，七十年代末被南京大学数学系选为研究生的教材，而那时我班两位醉心纯粹数学的同学——田刚和王宏玉——则旁听了这门课，按照授课老师之一的苏维宜教授所述，他们两人的考试成绩全班最高。可见布尔巴基及其成员对远在东方的年轻学子也产生了持续终生的影响。
几乎所有的法国菲尔兹奖获得者都是布尔巴基后来的成员，如施瓦尔兹 (Laurent Schwartz，1915-2002) 、塞尔 (Jean-Pierre Serre，1926-) 、格罗腾迪克以及英年早逝的动力系统大家约科兹 (Jean-Cristophe Yaccoz，1957-2016) 。在分形领域做出杰出贡献的德奥迪 (Adrien Douady，1925-2006) 也在其中。早期的成员中，唯一的外国人艾伦伯格 (Samuel Eilenberg，1913-1998) 来自波兰，后来长期在美国。他和美国数学家麦克莱恩 (Saunders MacLane，1909-2005) 创造的范畴论，现在是理论物理学界炙手可热的数学工具。
布尔巴基不仅以它的数学与写作影响了全世界，风行了几十年，而且创造了一些数学概念和符号，其中许多“一夜成名”，比如原创法文的filtre和英文翻译filter。最有名的例子就是空集的符号Ø，它由韦伊所独创。现已广泛使用的三个函数术语“单射” (injection) 、“满射” (surjection) 及“双射” (bijection) ，也是布尔巴基的发明。
作为数学家群体的布尔巴基，其影响力也进入了艺术界，对结构主义的艺术流派有一定的影响。但是，它对初等数学教育的影响却导致了七十年代轰轰烈烈的“新数学”运动的诞生。“新数学”要打倒欧几里得，要把“集合论”请进中小学的课堂。然而，这个影响却是负面的，因为“新数学”的实践结果几乎是一场灾难。旅居美国在约翰斯·霍普金斯大学教书的日本数学家小平邦彦 (1915-1997) 目睹自己的女儿成了这场试验的牺牲品，在他的《惰者集》一书中对“新数学”大加鞭挞！
从历史的角度看，布尔巴基对整个数学贡献巨大，影响了几代数学家。但是，它的数学观和哲学思想也一直饱受批评。其中最激烈的讨伐者大概非俄罗斯数学家阿诺德 (Vladimir Arnold，1937-2010) 莫属。就数学哲学而言，阿诺德是庞加莱的信徒，而不是希尔伯特的粉丝，当然这不妨碍他解决了后者的“23个问题”中的一个。这位柯尔莫哥洛夫的杰出弟子个性独特，言语锋利，批评起来不留情面。我在他的一篇文章中读到，他面试一位求职的法国数学家，后者的专业是线性代数，却答不出“二次型xy的符号差为几”这个简单问题。这名法国教授也许读了太多的布尔巴基著作，过分重视“一般性”而忽略了“具体性”，而这正是阿诺德所最反对的。阿诺德大概最欣赏一句名言——“艺术源于生活，但高于生活”。他认为数学是现实世界的反映，而不是先有数学结构再将之套用到现实世界中去。他自己的一句名言是：“数学是物理的一部分。”
这也从另一个方面验证了布尔巴基的缺陷：太注重纯粹数学而忽视应用数学，比如现在特别热门的统计学就不在他们撰著的考虑范围之内。这也是许多数学家批评的另一方面。具有讽刺意义的是，布尔巴基最年长的创始人芒德布罗伊的侄子芒德布罗，却是反对布尔巴基的急先锋。30岁不到时，他甚至逃离祖国而去了美国，六十年代在那里开创了布尔巴基大概不甚欣赏的分形几何学。
今天，距离布尔巴基第一次工作会议的日子已经过去85年了。它的成长史和兴衰史，它对世界数学的不朽功勋和消极影响，都对中国数学界有启示作用。现代数学的发展和应用，应该是牛顿-庞加莱与哈代-希尔伯特的对立统一，应该是具体与抽象的相辅相成，应该是应用与理论的有机结合。这大概是中国数学努力赶超世界先进水平的一条可行之路吧。
写于2019年12月10日
布尔巴基学派首次会议的85周年纪念日
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