1900~1928年间是物理学史上最激动人心的时代，一群天才，主要是年轻人，在不到三十年的时间里构造了崭新的量子力学体系，从而改变了物理学的面貌，也彻底地改变了人类社会的面貌。本报告系统地解释了什么是量子(quantum)、什么是力学(mechanics), 在对量子力学创建过程的回顾中讲述构成量子力学的具体内容，然后介绍几例量子力学带来的新技术，最后还会谈谈如何学习量子力学的问题。量子力学从来都不是什么革命，它只是经典物理学自然的、逻辑的延续。量子力学一如物理学的其它分支，都是人类思想智慧的结晶。量子力学，还有相对论，这些百年前的头脑风暴，今天应该成为受教育者的知识标配。
2019年12月30日晚，中科院物理所研究员曹则贤在物理所做跨年科学演讲《什么是量子力学？》，本文为演讲人亲自撰写的文字稿。看视频请戳页面左下角蓝字「阅读原文」。
撰文 ∣ 曹则贤（中科院物理所研究员）
内容提要
为什么要学习量子力学 ？
什么是量子(quantum)？啥是力学(mechanics)?
量子力学是什么样的学问？
量子力学是如何创立的？
量子力学的威力
如何学习量子力学
尊敬的各位来宾，屏幕前的各位朋友，女士们、先生们，这里是中关村南三街8号中国科学院物理研究所，我是物理所职工曹则贤。接下来我想和大家聊一个比较高大上的话题：什么是量子力学？具体地，我会聊一聊我们为什么要学习量子力学，什么是量子 (quantum) ，啥是力学 (mechanics) ，量子力学是什么样的学问，通过对量子力学创立过程的回顾介绍量子力学具体的内容，通过几个例子谈谈量子力学的威力，最后作为结束语我会谈谈如何学习量子力学。在回顾量子力学创立过程中涉及的人物包括黎曼、玻尔兹曼、巴尔末、普朗克、爱因斯坦、索末菲、里兹、玻尔、海森堡、约当、玻恩、德布罗意、康普顿、德拜、薛定谔、泡利、狄拉克、冯诺依曼、维格纳、外耳、玻色，等等。
许多人会说量子力学很难学，可我要说的是首先量子力学不难学；其次，再难学也要学。大家可能注意到了，此刻我站在这里讲，世界的很多角落里有人在拿手机看直播。这在几年前都是不可想象的。从前，孙悟空翻江倒海，玉皇大帝——那可是神仙们的头儿，也只能派千里眼、顺风耳去看看是怎么回事。今天我们的人类，可以用望远镜巡天，可以在天空俯瞰整个大地。这是一个技术超越神话的时代，而物理学是一切技术进步的基础。从前慢，慢到一生只够学会用母语读小说。但在今天这样的科技支撑的、高度发达的时代里，量子力学这样的上世纪头脑风暴的产物，也许今天应该成为人们的知识标配。我们为什么要学习量子力学呢？量子力学简直就是一个号称学物理的人的必备。从前法国先哲庞加莱说过一句话：“虽然人们并不是因为科学就幸福了，但是如今没有了科学人们可不怎么能幸福起来。” 仿此，我们可以说：“虽然，人们不会因为懂得量子力学就是物理学家了，但是今天的人们如果不懂量子力学而宣称自己是物理学家的话，可能显得有点鲁莽！” 量子力学和相对论，据说是现代物理的两大支柱啊！作为支柱的量子力学我们怎么可以不学呢？当然了，正确的态度应该是把物理学看成一个不分割的整体，我们努力从不同的方向去学习，追求一种融会贯通的境界。学物理的人，大体会说学量子力学让我们很happy. 按照美剧《生活大爆炸》里Sheldon 博士的说法：“Quantum physics makes me so happy, it’s like looking at the universe naked (量子物理让我高兴，宇宙看起来跟在裸奔似的).” 如果在中学时期就能学一些量子力学，那就更棒了。不仅你自己感到快乐，还能让你妈感到快乐。![]()
图1. Dr. Sheldon: Quantum physics makes me so happy.
什么是量子 (quantum) 呢？拉丁语形容词“多少”的阳性、中性、阴性形式分别是 Quantus，Quantum，Quanta. 如今英文的Quantity，quantitate, quantitative 都和数量有关，是定量、量化的意思。在拉丁语系的语言中，比如意大利语， quantum 的同源词都明显是多少的意思， 比如Quanto costano （这东西多少钱）？Quanti anni hai (你有几个岁) ? 在英语中，quantum 也一直当作“数量”在用。降雨量是quantum of rainfall而不是quantity of rainfall. 在著名的007系列中有一集quantum of solace，被翻译成了“量子危机”。其实这和“量子”没有任何关系。Quantum of solace是舒适度、安全度的意思。过去的江湖人士而今的特工明星到了任何地方，都要有本领迅速评估出环境的安全度。如今在西方的和量子力学有关的语境中, quantum (quant) 被当成名词单数，而quanta (quanten) 被当成名词复数用，偶尔也有用quantal的。Quantum mechanics,日本人把它翻译成量子力学，我们玩的是拿来主义。什么是量子呢？可以说一个事物的最小构成单元就是quantum，它具有完整性、不可分辨性。比如，鱼群的quantum就是一条一条的鱼。将来我们会知道，抽象的事物，比如物理的作用量, action，它的量子是普朗克常数h. 谈论量子世界要关注两个词， atom和integer, 不要把它们简单地按照英汉字典理解成“原子”和“整数”，不，它们的正确意思应该按照字面理解，是拉丁语的不可分和不相连。我们的手指头、脚指头就分立的、不相连的，对它们计数用的就是integer，1, 2, 3, 4……这些不相连的数。基于这样的分立对象的就是digital，我们说我们处于数字时代 (digital times) ，但digital 来自digitus这个词, 它就是手指头、脚趾头的意思。Atom 和integer就体现了量子的精神，这种精神在日常生活中就有应用。春秋时期，齐景公麾下有三个猛士公孙接、田开疆、古冶子，因居功自傲得罪了相国晏婴 (“晏子过而趋，三子者不起”)，结果 “一朝被谗言，二桃杀三士。”为什么二桃能杀三士呢？因为桃在被“计功而食”的语境中就有了不可分的特性 (atomicity) ，两个桃子三个人分，只好争抢。三个猛士因争抢引起了羞辱感，结果全自杀身亡，这完全是着了人家的量子计谋。另一例子是，人民解放军有一位中将皮定均将军，他规定 “吃鸡蛋必须以煮鸡蛋的形式发到士兵手里，不许做成鸡蛋汤、炒鸡蛋。” 煮鸡蛋体现的是一个一个鸡蛋的分立存在，忽略鸡蛋大小的差别，则吃到了就是吃到了，不含糊。与之相对，炒鸡蛋、鸡蛋汤语境下的鸡蛋是搅合到一起的，鸡蛋失去了其量子特征，则就有了很大的含糊的余地：“二斤鸡蛋炒两个辣椒和二斤辣椒炒两个鸡蛋，都是辣椒炒鸡蛋。”量子是存在的最小单元，对于群体由少数几个单元组成的体系，我们谈论它的问题时要抱着一种谨慎的态度，因为这里要用到不同的处理问题的方式或者哲学。比如2018年 GDP是93万亿元，表示成人民币的量子就是9300万亿分，是16位数。我们说增长率是6.6%，这个数值纯从数学的角度来看是合理的；其实就是说是6.612724568932% 也行。但是，我们说某单位工资比去年涨了6.61% 就可能不是很科学，因为可能就是分几档涨的，涨工资更多的是关系到个人的事情，含糊的、近似的6.61% 的说法数学上没大毛病但也不科学。而若是提到谁家的人口增长，比如老王家的人口增长6.6%, 虽然只到小数点后一位，也显得不是人话。这种情形，说清楚老王家到底几口人添了几个孩子才恰当。大家这时应该感觉到了吧，量子的概念不是多么邪乎的存在，它存在于我们的日常生活中。![]()
那么quantum mechanics中的mechanics 是什么意思？mechanic是机械，弓箭、抛石机是人类最早的机械，机械手表是机械制造的巅峰。Mechanics, mechanism，说的是机巧、道理、机制，how it goes，类似汉语的“道”。早先人们用机械观来理解遇到的各种物理现象，故有热的机械观 (The mechanics of heat)，电的机械观(The mechanics of electricity)，原子的机械观(The mechanics of atom)。Mechanics 被译为力学是错译，英语里的力学是theory of force，德语为die Kraftslehre，但是力的概念在1894年已经被赫兹踢出了物理学，后来的物理学基本不拿力来说事情。Quantum Mechanics (量子力学)，字面上大约可以理解为关于小物理量世界的道。量子力学是1900-1928年间一伙儿天才的头脑风暴的产物，他们几乎都出现在这张照片里。这张1927年第五次索尔维会议的合影据说是人类有史以来智商和最高的合影，没有之一。这些天才们之所以能有这样伟大的成就，只不过是因为确实是天才；确实早学了数学与物理；恰巧在那个时空点上。1927年的第五次索尔维会议，其主题是电子与光子。那一年，光子一词刚在前一年被创造出来。电子与光，就是量子力学，当然也是相对论，关切的对象和思想来源。我个人认为“光是人类同远方的唯一联系，是第一物理对象和工具！” 关于光的性质，人们下意识中都能体会到。关于光，电影《地道战》的一段唱词特别好。“太阳出来照 (射线、几何光学) 四方，毛主席的思想闪金 (光的颜色、光谱学) 光，太阳照得人身暖 (热效应) 哎，毛主席思想的光辉照得咱心里亮 (光是信息载体) ，照得咱心里亮。” 短短四句，把光的性质说全了。而电子呢， 也叫阴极射线、β粒子，是1859-1909年间被以不同面目发现、被用多种方式研究的，它对物质的诸多电性质负责。注意，它的发现始终是和光联系在一起的。
量子这个概念，最先走进科学，是黎曼1854年的论文Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen (论作为几何学基础的几个假设) . 在这篇论文中黎曼提出了流形的概念，奠立了微分几何 (广义相对论的数学基础啊) ，还第一次将量子 (Quanta)用于科学：“流形之通过某些特征或者边界想区分的部分称为 Quanta. Quanta的比较依其性质或者通过计数得来的分立量，或者通过测量得来的连续量。”
和量子力学有关的能量量子的概念，应该出现在玻尔兹曼 (Ludwig Boltzmann，1844-1906) 1877年的论文里。为了得到气体的麦克斯韦分布，![]()
，玻尔兹曼引入了能量单元 (Energieelement) 的假设。一个 n个粒子的体系，每个粒子具有（0，1，2……p）个能量单位的能量，则总能量一定的平衡态是什么样子？这个问题等价于在约束 n0+n1+…+np=n ，和 0*n0+1*n1+…+p*np=E下求状态数 ![]()
的最大值。利用拉格朗日乘子法，可得结果为 ![]()
，此正是麦克斯韦分布。但是，玻尔兹曼在得到这个分布函数后的应用中，又翻过头来把能量当成了连续的物理量加以处理。能量是连续的，在十九—二十世纪之交的那个年代，是物理学家头脑中根深蒂固的观念。到了1900年，为了拟合黑体辐射的实验结果，即找出空腔中光的能量密度同频率的关系，热力学老师普朗克 (Max Planck，1858－1947) 大胆地从热力学着手。普朗克主要是在维恩工作的基础上往前摸索的。他从熵概念出发，假设 ![]()
，也即![]()
，解得平均能量Uν为 ![]()
，则能量密度为![]()
，同实验结果符合得非常好。几天以后得到其中的常数 h=6.55x 10-34Js。这个公式的巨大成功带来了极大的困惑。于是，普朗克另辟蹊径。普朗克假设 P=Uν/ hν 是个整数 (不是整数就取近似整数。普朗克一点也不激进) ，这P 个能量单元来自N个频率为ν的谐振子 (作业题1：此处内能被当成了能量，怎么回事？2. 黑体辐射的谐振子模型是怎么回事？)，则平衡体相当于求 ![]()
的最大值。利用 S = k logW ，得 ![]()
，进一步地可得 ![]()
。这样普朗克从两种不同路径得到了黑体辐射公式，这个公式从此就叫普朗克规律 (Plancks Gesetz)，他现在必须认真对待他的假设了 (M. Planck, Annalen der Physik, 4, 553(1901)) 。 P=Uν/ hν 是整数，这意味着 hν 是光的能量单元？光的能量真有单元，还和频率成正比，啥意思啊？普朗克觉得很难接受。1905年，爱因斯坦 (Albert Einstein，1879-1955) 利用辐射的基本能量单位的假说，成功解释了光电效应。他进一步假设固体吸收光也是以吸收整个能量单位方式进行的，这样出射的光电子动能为 ![]()
，就能很好地解释光电效应的测量结果。至此，光有能量单位尘埃落定！后来，爱因斯坦还提出光的能量单元还有动量单元 hν/c。量子力学的另一个起源是光谱学的研究。氢气的液化温度是20.28 K，氢是倒数第二个被液化的气体，有了液化氢就有了纯净的氢气。氢气放电的光谱那时可见四条线，波长为6562.10，4860.74，4340.10 和4101.2 Å。这四个波长包含什么秘密呢？1885年巴尔莫老师(Johann Balmer,1825 -1898)发现这四个数是3645.6的 9/5,16/12,25/21和36/32 倍。写成公式就是正比于 ![]()
，n=3, 4, 5, 6. 那么，n=7呢？代进去，果然发现有第五条谱线。这说明氢的光谱线还真是有规律的。里兹 (Walter Ritz) 建议把公式 ![]()
倒过来，写成 ![]()
的形式。这引导人们猜测也许 ![]()
对应的波长处都有谱线，实验发现果然如此。那么如何解释这个![]()
的规律呢？
1913年，玻尔提出了氢原子的行星模型，他认为光是电子从高能量轨道向低能量轨道跳跃 (Jump, Sprung) 后发出的，这解释了 ![]()
公式里的减号。可是，行星体系的能量是连续的啊，为什么在氢原子体系里变成了 ![]()
。玻尔假设电子的轨道角动量是量子化的，![]()
，在这个前提下去解平方反比力下的两体问题，得![]()
，氢原子光谱线的频率，或者谱线出现的位置，问题得到完美解决。
然而，注意光谱线，谱线的特征除了位置，还有亮度、宽度、精细结构、简并度等诸多问题。12年后的1925年，在哥廷恩给玻恩当助手的海森堡 (Werner Heisenberg，1901－1976) 试图回答谱线的强度问题，引出了矩阵力学。注意，谱线和两个轨道有关系，那谱线强度也应该和两个轨道有关系。如果把一组能量横排，然后竖着排，看它们之间的能量跃迁，会得到了一个矩阵。海森堡试着从轨道的傅里叶展开中引入频率，将之表示为两项之差的方式。如果认定谱线是来自振荡的话，其强度应该是和振幅的平方成正比。注意，此时爱因斯坦已经指出：“辐射强度的概念应该用经典的跃迁几率的概念替代。”海森堡将他的这一套思想试着在谐振子上寻找思路，得到了x(0)和p(0) 的表达式![]()
![]()
然后呢，然后他也不知道怎么办好了，就把结果写了下来，放到玻恩教授 (Max Born, 1882-1970) 的办公桌上，自己度假去了。玻恩教授认出海森堡写成的东西是数学里的矩阵。玻恩计算矩阵形式的xp，发现 ![]()
，这是有别于玻尔量子化条件的量子化条件。注意，除了爱因斯坦的辐射强度的概念应该用经典的跃迁几率的概念替代思想以外，还要注意经典概率的算法，比如从A 经过一些中间步骤到B的概率计算，就是矩阵的乘法！玻恩将海森堡的这些内容整理后以海森堡的名义发表。玻恩的助手约当 (Pascual Jordan, 1902 – 1980) 发现如接受 ![]()
，则这意味着 ![]()
，即动量是关于坐标的微分算符。后来，玻恩和约当一起发了一篇文章，玻恩和约当、海森堡一起发了一篇文章，这就是关于量子力学的一种形式，矩阵力学，的三部曲，即1). W. Heisenberg, über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen (运动学的和力学的关系之量子理论意义)， Z. Physik, 33 (1925) 879. 2). M. Born and P. Jordan, Zur Quantenmechanik (论量子力学), Z. Physik, 34 (1925) 858. 3). M. Born, W. Heisenberg, and P. Jordan, Zur Quantenmechanik II (论量子力学II), Z. Physik, 35 (1926) 557.在另外的方向上，1923年，康普顿(Arthur Compton，1892-1962)研究X-射线的电子散射, 发现散射后散射角越大，X-射线变得越长。康普顿接受光的量子有能量 ![]()
和动量 ![]()
的说法，利用经典的弹球碰撞模型，求得散射后X射线波长同散射角之间的关系，即康普顿散射公式 ![]()
。这是光有粒子性的一个证据。1923年德布罗意 (Louis de Broglie, 1892-1987)提出了物质波的概念，粒子的波长为![]()
，频率![]()
(Louis de Broglie, Recherches sur la théorie des quanta, Ann. de Physique (10) 3, 22-128 (1925))。德布罗意的博士论文传到德国，爱因斯坦表示说“很有意思”，德拜嘟囔了一句“总该有个波动方程吧？”而薛定谔 (Erwin Schrödinger，1887-1961) ，他早就对经典力学-经典光学之间的类比有深刻研究，很快就领会了德布罗意论文的内容。薛定谔于1925年圣诞节上了一个滑雪场，在那里待了一周，得到了著名的薛定谔方程 ![]()
。他将这个方程应用到了氢原子上，得到方程形式为![]()
，复杂得吓人，其解 ![]()
也很吓人。其得到的量子化的能量为![]()
。但是这个公式，与玻尔的结果有大的飞跃，这里的能量是三个变量或曰量子数的函数。这样，量子力学就有了第二种形式：波动力学。薛定谔的文章题目为量子化是本征值问题 ( Quantisierung als Eigenwertproblem)，题目大有深意。文章分为四部分，分别为Erste Mitteilung: Ann. Phys. 79, 361(1926)；Zweite Mitteilung: Ann. Phys. 79, 489(1926)；Dritte Mitteilung: Ann. Phys. 80, 437(1926)；Vierte Mitteilung: Ann. Phys. 81, 109(1926).到1926年，光的粒子性和电子的波动性算是确立了，于是化学家路易 (Gilber N. Lewis) 造了photon（光子）一词。1927年，1927年，戴维森 (Clinton Davisson，1881-1958) 和革末 (Lester Halbert Germer，1896-1971) 用电子束轰击Ni晶体。玻恩认识到那花样是晶体对波的散射的结果。至此，电子具有波动性质得到确认。 那么，薛定谔方程 ![]()
的主角，波函数![]()
，的物理意义是什么？按照薛定谔的说法，![]()
是电子的电荷在空间中的分布，而玻恩指出电子是粒子，![]()
是电子在空间体积元 ![]()
出现的几率，这就是波函数的几率诠释。这个诠释同波函数作为矢量的性质是相关的。对波函数有许多不负责任的诠释。1924年泡利 (Wolfgang Pauli, 1900-1958) 推断电子还存在一个二值的自由度，并提出了“不相容原理”，指向了电子自旋这一内禀自由度。泡利矩阵是描写自旋角动量的数学工具。1927年，泡利针对薛定谔方程给出了 ![]()
形式的哈密度量，包含电子同电磁场的相互作用，将这个哈密顿量用之于薛定谔方程 ![]()
，则必须要求波函数是二分量的，![]()
。这个意义下的薛定谔方程也称为泡利方程。泡利还于1930年预言了中微子的存在。在这段时期，英国的狄拉克 (P.A.M. Dirac，1902-1984) 在量子力学创立方面不断取得进展。他发展了跃迁概率理论，从经典泊松括号得到了一般意义下的量子化条件![]()
。他还想得到相对论版的量子力学。从相对论质能关系 E2=p2c2+m2c4 出发，得到的 ![]()
后来发现只能描述自旋为0的粒子，不适用于电子。于是，狄拉克尝试把二次型 E2=p2c2+m2c4 降解到线性的层次，即尝试做因式分解 x2+y2=(αx+βy)2 。狄拉克发现若 α2=β2=1 ，αβ+βα=0，则完成所需的因式分解。对于二次型 E2=p2c2+m2c4 ，这样的分解要求α，β至少是 4×4 的反对称矩阵。狄拉克构造了这样的矩阵，写出了相对论量子力学方程 ![]()
，这里的波函数ψ是四分量的。狄拉克为了解释他的量子力学方程的解，不得已于1931年提出了反电子的概念，反电子随于1932年被发现。图8. 光子轰击原子核产生电子-正电子对过程的气泡室内粒子径迹照片
关于量子力学，维格纳 (Eugene Wigner, 1902 – 1995) 也是要提的，他和外尔(Hermann Weyl，1885－1955) 一起将群论引入了量子力学，有了群论的量子力学才能理解光谱的各种特征，包括谱线在电场下和磁场下的分裂 (Stark效应， Zeeman效应)。1922~1925年间，维格纳在其博士论文中首次提到分子激发态有能量展宽Δε, 它同平均寿命Δt 通过关系式Δε·Δt ~h相联系，而海森堡提出Δx·Δp ~h的不确定性关系是在1927年。当然了，不存在什么不确定性原理所宣称的那些问题，比如什么粒子位置测量得越准确、动量就越不准确。如果大家拿一维方势阱和谐振子的精确解计算一下的话，会发现位置和动量的不确定性是正相关的！外尔首先是个数学家，业余时间对量子力学和相对论都有贡献，还创立了规范场论。据信是外尔帮助薛定谔求解了氢原子的薛定谔方程。外尔这样的数学家做的物理才更像物理。
1924年，印度人玻色 (Satyendra Nath Bose, 1894–1974) 在假设相空间具有体积单元 h3 的前提下也得出了黑体辐射公式。爱因斯坦接着玻色的工作发展起了玻色-爱因斯坦统计。自旋为整数的粒子都满足玻色-爱因斯坦统计，被称为玻色子。玻色1924年的两篇德语论文 (1. S. N. Bose, Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese (普朗克分布和光量子假说) Z. Phys. 26, 178–181 (1924). 2. S.N. Bose. Wärmegleichgewicht im Strahlungsfeld bei Anwesenheit von Materie (存在物质是辐射场的热平衡) ，Zeitschrift für Physik 27, 384-393 (1924) ）都是爱因斯坦翻译的，这是科学史上难得的一段佳话。1926年，冯·诺依曼 (John von Neumann, 1903-1957) 指出，算符的本征态张成一个矢量空间并名之为希尔伯特空间，量子态可以看成希尔伯特空间中的一个矢量；1932年，冯·诺依曼撰写了《量子力学的数学基础》一书。 关于量子力学还有个关键的人物，索末菲A (Arnold Sommerfeld, 1868 – 1951)。索末菲和玻恩一样，是导师的大老师级的人物，泡利、海森堡、德拜 (Peter Debye)、贝特 (Hans Bethe)、鲍林 (Linus Pauling) 这些诺奖得主皆出自其门下。索末菲认为玻尔模型把电子限制在一个平面内，简化得太狠了些，电子是在整个三维空间内绕原子核运动的。三维空间内绕一点的运动可由距离r和两个角坐标，倾角θ和方位角ϕ，来描述。倾角θ和方位角ϕ分别引入了第二和第三量子数。1916年索末菲引入三维的量子化模型，![]()
，量子化的条件为![]()
，解出的能量形式为 ![]()
。也就是说，玻尔模型里的那个n，是这里的k。索末菲的工作是旧量子力学的关键。至此，我们有了薛定谔方程、泡利方程和狄拉克方程、克莱因-戈登方程，有能量量子化 (hν)、作用量量子化 (h)和相空间量子化 (h3)，量子力学的大框架就算有了。相空间量子化让统计意义的量子力学走向了量子统计。如果要问什么是量子力学，量子力学就是由量子力学方程及伴随的概念、观念所构成的一个物理理论体系。量子力学是一个集体智慧的结晶，是人类发展史上罕见的头脑风暴爆发。因为对发展量子力学的贡献而获得诺贝尔物理学奖者包括普朗克(1918)、爱因斯坦 (1922年获得1921年度的) 、玻尔(1922)、康普顿(1927)、德布罗意 (1929) 、海森堡 (1932) 、薛定谔与狄拉克(1933)、泡利 (1945) 、玻恩(1954)，等等。其中，爱因斯坦获得的是1921年空缺的，玻恩则迟至1954年才终于获奖，而偏偏这两位才是奠立量子力学的关键人物。人世间的事儿啊，想来令人唏嘘。回顾一下量子力学的创立过程，发现它就是一个靠猜。构造量子力学，或者说构造近代物理，这是一门艺术。用玻恩的话说， 是猜出正确公式的艺术 (The art of guessing correct formulae~ Max Born) 。有人会问，量子力学客观吗，量子力学正确吗？关于客观性，我觉得这是个伪问题。人类的物理学，取决于人这种存在自身的物理及其与环境间的相互作用，必然打上人的烙印，而且是特定时代的人的烙印。古希腊智者色诺芬尼 (Ξενοφάνης) 说，“如果牛有上帝，牛的上帝一定长有犄角。” 可以想象，螃蟹设计的汽车，注定是横行的。怎么可以要求我们人类创造的量子力学是客观的呢？它一定或多或少地带上人类的烙印。量子力学正确不正确？我不知道。我只知道周期势场下薛定谔方程的解告诉我们什么是导体，什么是绝缘体。于是有了半导体的概念。半导体可以有n-型和p-型两种载流子，电导率可以在十几个数量级范围内变化，可以制成不同的结。由此才有了电子学和我们的信息化社会！量子力学导出的氢原子能量是四个量子数 ![]()
的函数。ms只取 (½, -½) 两个值，而对于给定的自然数n，![]()
，![]()
，故对于给定的n, 四个量子数 ![]()
的组合共有 2n2 种可能。2n2=2, 8, 18, 32…, 看到2,8,18,32(=18+14) 你想起了什么？对，元素周期表。量子力学解释了元素周期表就该长成那个样子。普朗克分布律是量子力学的缘起，1917年，爱因斯坦利用辐射~物质相互作用处于热平衡的模型重新得到了普朗克分布 (Albert Einstein, Zur Quantentheorie der Strahlung Phys. Z. 18, 121-128(1917)) , 其中提出了受激辐射的概念。受激辐射是激光的概念基础。1960年，人类制造出了激光器。量子力学是一伙儿天才们的头脑风暴的产出，如今应该是受教育者的知识标配，至少该是中学生的知识标配。那么，如何学习量子力学呢？如果你关注创造史，可以读读Mehra的The historical development of quantum theory；如果你关注哲学，可以读读Jammer 的The philosophy of quantum mechanics；如果你关注创立者的工作手册，可以读读Dirac 的The Principles of quantum mechanics；如果你关注量子力学的数学，可以读读Von Neumann 的Mathematical Foundations of quantum mechanics；如果你关注量子力学新论，可以读读Weinberg 的 Lectures on quantum mechanics；如果你关注习题集，可以读读Flügge 的Practical quantum mechanics，如果你关注最浅显的入门，可以读读曹则贤的《量子力学~少年版》。
量子力学量力而学，但其实量子力学“说难学，也好学。人家咋着咱咋着！”我必须再次强调，量子力学是一门严肃的学问，是经典物理的自然延续。人们学习量子力学的困难主要在于没有认真学过经典物理。在学习量子力学之前，如下的预备知识应该是学过或者至少听说过的，这包括但不限于经典力学、经典光学、电磁学、流体力学、热力学、原子物理、场论、相对论……. 微积分、变分法、常微分方程、数理方程、复分析、概率论、傅里叶分析、线性代数、群论、不变量理论，等等。 Quantum physics makes me so happy. 学习量子力学还可以让妈妈高兴！特 别 提 示
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