【050】对冲：获取更纯粹的 CP
1. 简介
鼠年第一篇文章，让我们从甜蜜、愉快的 CP 开始吧。噢，抱歉，走错片场了，此 CP 非彼 CP ，但 CP （characteristic portfolio，因子特质组合）的确是我们的心头肉。
特别地，近年来，因子愈发受到重视，但普遍的关注点在于如何配置因子（业界）或新发现的因子是否有定价能力。但作为因子投资基础的因子组合构建方法，受到的关注却要少很多。
经典的因子组合构建方法分为两大类：排序分组和截面回归。前者毋庸多言，而截面回归则是 Barra 一直采用的方法，Fama and French (2019) 也对此进行了一些探讨（川总的文章Which Beta (II) ?对此有很精彩的介绍。
虽然 Fama and French (2019) 在上述最新文献中转向了截面回归方法，但 Fama and French (1992, 1993) 太过深入人心，使得分组排序法仍备受推崇。特别地，该方法非常简单易行，如同 Fama and MacBeth (1973) 回归方法一样，因此虽然有些缺陷，但如此好用的神器，爱偷懒的学界人士可不想轻易放弃。
依据排序法构建的组合也叫作 CP 组合（characteristic portfolio ，特征组合）。对于它们的主要批判在于，CP 组合往往不仅仅有对相关特征的暴露，也对一些未定价的特征（unpriced factors）有暴露，从而使得该 CP 组合并不纯粹。
那怎么办呢？Kent et al. (2019) 提出了一种简单粗暴的做法。嗯，逻辑上简单，实践还是需要花些功夫。当然，最重要的是，效果看起来还不错。
2. 模型
我们通过非常简化的案例来理解作者们的做法。这个精简的案例非常精彩，也可以帮助您很好地理解文章的做法。若您对更一般化的做法感兴趣，可随后阅读论文原文。
考虑一个有 N 支股票的两因子模型，其中，股票 i 的已实现超额收益由下式决定：
其中，
进一步，做出如下基本假设：
此外， f 、g 和不同
则对前述式子取期望可得：
用矩阵方式表示则得到：
其中，
首先考虑一个完美的情形，即股票预期超额收益的确可由相应的公司特征的线性组合决定，即下述关系成立：
其中，x 为对股票预期超额收益有影响的公司特征，
联立上述两个式子，显然：
因而，此时公司特征 x 可以很好地表征股票对因子的暴露（beta），按照公司特征排序构建的组合是完美的。
但市场往往并非如此完美。再来考虑如下的情形。一共有 6 支股票，每支股票对被定价的因子 f 和未被定价的因子 g 有不同程度的暴露。
图 1：股票因子暴露示例.
做多高 beta 做空低 beta 的经典 CP 组合，会做多前 3 支股票，并做空后 3 支股票。因而，CP 组合权重为：
这个组合的收益为：
显然，CP 组合对关心的因子 f 有显著的暴露，这实现了基本目的。但与此同时，由于未定价因子 g 与 f 相关，因此，CP 组合也对未定价因子 g 有一定暴露。
特别地，上述 CP 组合的预期超额收益和波动率分别为：
因此，其 Sharpe 比率为：
如果残差波动率（分母中最后一项）足够小，那么，该 CP 组合显然不是均值-方差最优的，因其同时对定价因子 f 未定价因子 g 有暴露。
那该怎么办呢？由于 g 的预期收益为 0，因此，如果有办法对冲掉对 g 的暴露，那么，便可能可以在不降低预期收益的前提下，降低 CP 组合的波动率。
观察基础资产对因子的暴露，可以构建如下组合 h ：
h 组合做多在 g 因子有负暴露的股票并做空对其有正暴露的股票，并恰到好处地选取股票权重，使得组合对 f 因子的暴露为 0。经过简单的数学变换可得，组合 h 的收益为：
显然，h 组合的预期收益为 0 。且 h 对未定价因子 g 有显著负暴露。这两点使得 h 可用于对冲 CP 组合。
特别地，在构建 CP 组合时，对于每一块钱的名义本金，投资 1/3 元在 h 组合上，据此构建起对冲的 CP 组合。该组合的预期收益与 CP 组合相同，为
从而 Sharpe 比率得以提升。
当然，上述最小化对未定价因子的暴露的方法不一定得到的是最优对冲比率。由于组合 h 的预期收益为 0 ，即对冲后的 CP 组合的预期收益始终不变，因此，一个理性的投资者应选择对冲比率以最小化对冲后的 CP 组合的方差，从而有：
即最优的动态对冲比率取决于经典 CP 组合和对冲组合 h 各自的波动率及二者的相关性，波动率一定的情况下，相关性越高，最优对冲比率也越高。
对于多因子的一般情形，基本结果与上述简化模型类似，但公式要复杂很多，此处不做过多讨论。但有两点有趣的观察值得一提：
首先，对每一个 CP 组合，其最优对冲比率都是该 CP 组合收益率对全部对冲组合（即 一组 h 组合）作多元线性回归得到的回归系数。换言之，在最优对冲比率下，对冲行为没有改变 CP 组合的溢价,仅仅移除了 CP 组合中不包含风险溢价的部分，从而降低了对冲后的 CP 组合的波动，提高了 Sharpe 比率。
要精确计算对冲比率，需要估计因子的协方差矩阵。但在实践中，准确估计资产/因子的协方差较为困难，因此，本文绕开了这一点，不过多讨论关于协方差矩阵的问题。
3. 美股实证
Kent et al. (2019) 以经典的 Fama-French 五因子为基础，对他们提出的对冲后的 CP 组合的表现进行了研究。
理论上，要完全控制其他特征的影响，需要将所有特征一起做排序分组，对于 5 个特征而言，即便每个特征只分 3 组，这也意味着需要分 241（
以 BM（book-to-market）为例。作者们在每年 6 月末，依据纽交所股票三等分，确定市值和 BM 的分界点，然后将全部 NYSE/AMEX/NASDAQ 股票分入 9 个组合中。到此为止，还是我们熟悉的常规操作。特别地，在 9 个组合内部，股票市值和 BM 总体非常接近。
接下来是很关键的一步。作者们进而估计了不同股票对 HML 因子的暴露，然后在 9 个组合内部，进一步构建了对冲组合，即做多对 HML 因子暴露低的股票并做空对其暴露高的股票。然后将 9 个对冲组合等权平均，得到 HML 的对冲组合。
对于 RMW 和 CMA 因子，也是类似的。对于 SMB ，则借鉴 Fama and French (2015) 的做法，用市值分别与 BM 、profitability 和 investment 构建交叉组合再取平均。对于市场因子，按照与 SMB 类似的方法构建对冲组合。
理论上，一个表现良好的对冲组合，应有零预期超额收益和对经典 CP 组合的显著负暴露，这可以使得对冲后的 CP 组合，在保持预期收益基本不变的同时，显著降低波动率。另一方面，扣除掉对经典 CP 组合的负暴露带来的负超额收益，长期来看，对冲组合应有显著的 alpha 。
表 1 的确反映了对冲组合的上述性质：
首先，Avg 列是对冲组合的月均收益，除 CMA 对冲组合外都为负，虽然也都不显著。
其次，
α 列表明，5 个对冲组合中有 4 个有正 alpha，且有 3 个 alpha 是显著的（MKT_RF，RMW 和 CMA）。 最后，后几列显示，每个对冲组合对其基准 CP 组合确实都有非常显著的负暴露。
要再次强调的是，在一个多因子模型中，对冲组合是要考虑对其他因子的暴露的，即要考虑因子间的协方差。例如，上述 HML 的对冲组合对经典 HML 和 RMW 因子都有高度显著的负暴露。
表 1：FF5 因子对冲组合表现.
数据来源：Kent et al. (2019), Table 4.
进一步，表 2 展示了不同方法构建的 CP 组合的表现，并检验了不同 CP 组合的 Sharpe 比率是否显著不同。前 3 列分别展示经典 CP 组合、对冲后的 CP 组合和行业中性 CP 组合的统计量，后三列为相应的检验 p 值。
可以看到，除 SMB 外，对冲后的 CP 组合都有显著更高的 Sharpe 比率。显然，按照 Kent et al. (2019) 的思路对经典 CP 组合进行对冲后，可以扩张到更高的均值-方差前沿上，这个对冲操作是很有意义的。
表 2：因子表现对比与 Sharpe 比率检验.
4. 思考与讨论
Kent et al. (2019) 的思路想必不少朋友可能想过。但能如此系统化地表述并进行规范的实证研究，确实很难得。其中的关键点无非两个：构建对冲组合，以及确定对冲比率。首先通过简单的例子，可以很清晰看到研究逻辑，在此基础上进一步一般化，得到普适的结果。这个研究框架以及展示研究成果的思路都非常值得借鉴。
另一方面，文章构建的对冲后的 CP 组合，乍看起来有点类似 Barra 的纯因子（pure factor）。但实则不然。一方面，Barra 的纯因子是通过求解约束下的横截面回归问题来估计因子溢价，而 Kent et al. (2019) 的出发点仍是经典的排序分组组合。另一方面，更为重要的是，Barra 模型里，决定股票预期收益（以及更为重要的协方差矩阵）的是标准化的公司特征，而 Kent et al. (2019) 则沿袭经典的资产定价的思路：用 betas 而非 characteristics 来刻画股票预期收益和因子之间的关联。
还有一个技术性细节值得一提。在估计不同股票的因子暴露时，作者们借鉴了 Asness and Frazzini (2014) 的做法，用五年滚动窗宽估计波动率，用一年滚动窗宽估计波动率，进而计算相关系数。但这一方法一直颇有争议。当然，这一细节处理大概不会影响全文的总体结论，所以也不用太纠结。
最后，本文的处理有一点点不同寻常。经典的风格因子 CP 组合是 dollar-neutral（资金中性的）或者说 self-financing（自融资的），但做多经典 CP 组合的同时，做多对冲组合，就意味着对冲后的 CP 组合不再是资金中性的，而是需要事先投入资本。特别地，如果基础因子数目较多，且因子相关性不高，那么，可以预期，需要事先投入的资本占比也更高。这显然会侵蚀对冲后的 CP 组合的表现。这一点，也许作者们在后续版本中可以有更深入的讨论。
5. 结语
经典的排序组合法因其简单明了，颇受学界和业界（包括园长在内）的青睐。但单纯按照排序法构建的经典 CP 组合有不少问题，特别地，其对未定价因子可能有较大暴露，从而导致 CP 组合并不那么有效（Sharpe 比率不高）。
针对这一点，Kent et al. (2019) 提供了一个新的思路：CP 大法仍然好使，但要加一点对冲。对冲后的 CP 组合会有显著更高的 Sharpe 比率，从而可以生成更有效的均值-方差前沿。
这一方法严格来说可能也有一点问题，但无论怎样，瑕不掩瑜，逻辑非常自然、清晰，实证复制应该也不会太难，无论对学界，还是对业界，都能有不小的启发。
By the way，文章一作是行为金融学大佬 Daniel Kent，合作撰写的【Investor psychology and security market under‐and overreactions】引用接近 7000，业内非常出名的 momentum crash 也出自这位大佬。
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Bali, Turan G., Robert F. Engle, and Scott Murray. "Empirical Asset Pricing: The Cross-Section of Stock Returns." John Wiley & Sons, 2016. Fama, Eugene F., and Kenneth R. French. "The Cross-Section of Expected Stock Returns." Journal of Finance 47.2 (1992): 427-465. Fama, Eugene F., and Kenneth R. French. "Common Risk Factors in the Returns on Stocks and Bonds." Journal of Financial Economics (1993). Fama, Eugene F., and Kenneth R. French. "A Five-Factor Asset Pricing Model." Journal of Financial Economics 116.1 (2015): 1-22. Fama, Eugene F., and Kenneth R. French. "Comparing Cross-Section and Time-Series Factor Models." Review of Financial Studies, forthcoming (2019). Kent, Daniel, Mota Lira, Simon Rottke, and Tano Santos. "The Cross-Section of Risk and Return (November 04, 2019)." Columbia Business School Research Paper No. 18-4, 2019.