特别推荐丨老姚专栏：教科书没有讲的矩估计性质

在初级计量经济学中，与∑有关公式几乎无处不在。只要老老实实地对公式进行展开、合并......，相信小伙伴们最终都能搞定这些公式。然而，如果每次都要重复进行这些工作，可能就不甚烦恼了。本文介绍一个简单的方法，能帮助小伙伴们轻松搞定与有关的公式，而这种方法也恰恰反映了我们常用的矩估计所拥有的良好性质。

 一、矩估计的基本原理 

简单来说，矩估计就是用样本均值来估计总体均值，用样本方差来估计总体方差，用样本协方差来估计总体协方差。例如，假设是随机变量的观测值，则对总体均值的估计就是样本均值。更简单一点，我们可以将矩估计理解为，就是用来代替。接下来我们基于这种理解，可以轻松地写出总体方差与总体协方差的矩估计量：

总体方差为。若用来代替。则对总体方差的估计就是：，记为样本方差。

总体协方差为，其矩估计就是：，记为样本协方差。

矩估计背后的统计思想是大数定理——当样本容量趋于无穷大时，样本均值趋近于总体均值（亦即变量的期望值）。大数定理表明，上述三个矩估计量均满足一致性。

 二、矩估计的“神奇”性质 

矩估计还存在一个神奇之处，那就是对应于每一个总体矩公式，都相应存在一个样本矩公式。例如，对于总体矩，我们应该熟悉下列公式：

很容易验证，存在一组与上述公式相对应的样本矩公式：

若约去，则有：

公式（1c）、（2c）与（3c）在初级计量经济学中经常被应用。如果了解与相对应的规则，熟悉总体矩公式的同学就能很容易地记住这些公式。实际上，我们还可以记住更多常用的样本矩公式。这是因为，鉴于存在相应的总体矩公式，如下三个样本矩公式一定可以被证明是成立的：

这里，与a是b常数，上标表示样本矩。上述三个公式在初级计量经济学中也经常被应用。

笔者在此提醒小伙伴们要意识到，矩估计的“神奇”之处恰恰体现了矩估计作为一种估计方法的合理性。想一想我们就会明白：如果总体矩具有某些性质，但样本矩却没有相应的性质，那么样本矩绝不可能是对总体矩的良好估计。

 三、推广到不等式 

前面介绍的都是一些等式。其实，如果总体矩满足一些不等式，那么样本矩也存在相应的不等式。例如，总体矩满足：

上述不等式被称为Jensen不等式。（不妨简单验证一下：对于这一凸函数，由于,因此，）

Jensen不等式也有“样本版”。如果小伙伴们对微积分比较熟悉，那么一定还记得如下不等式：

上述两个不等式的几何图示非常直观（见图1与图2）。很明显，它们就是Jensen不等式的非随机版本。

为什么在这里要讨论一下推广呢？我们是想借此引出Jensen不等式的一个应用。可以证明，对总体方差的矩估计并不是一个无偏估计，而要获得一个无偏估计，必须进行所谓的自由度调整，下文（“应用”）将证明，总体方差的无偏估计为.进一步地，总体标准差的无偏估计是否为呢？若熟悉Jensen不等式，则我们很容易知道：

由于对总体方差的无偏估计，上述不等式的右边就为总体标准差。因此低估了总体标准差。

 四、应用 

假设从一个总体中独立抽取，请证明是总体方差的无偏估计量，即。

简证：定义为任意常数，首先可以证明下式成立：。

简证：定义为任意常数，首先可以证明下式成立：

在这里，我们实际上可以快速写出上述等式，因为存在相应的总体矩公式：

接下来可令等于总体均值，则可以证明：

因此有：

故得证：

文章附注：

—————————————————

很容易发现，无论是样本方差还是样本协方差，它们实际上都属于某个“复合变量”的样本均值。

若定义：，则该式可以变为我们所熟悉的公式：

►往期推荐

回复【Python】👉简单有用易上手

回复【学术前沿】👉机器学习丨大数据

回复【数据资源】👉公开数据

回复【可视化】👉你心心念念的数据呈现

回复【老姚专栏】👉老姚趣谈值得一看

►一周热文

数据Seminar

这里是大数据、分析技术与学术研究的三叉路口

作者：姚耀军
推荐：杨奇明编辑：青酱

    欢迎扫描👇二维码添加关注