工具＆方法丨关于交互项的那些事（四）：非线性模型中的交互效应

如果交互效应出现在非线性模型中，比如二值选择模型（Probit或Logit），应该如何解释呢？与线性模型中的交互效应有何不同？

事实上，二者很不相同！艾春荣老师最早注意到了这个“奇怪”的现象（Ai and Norton, 2003）。

以 Probit 为例，考虑以下模型：

此时，交互效应（interaction effect）的符号是否由交互项系数  所决定呢？不一定！

根据定义，交互效应为如下混合偏导数。使用链锁法则，不难得到：

基于上式的复杂性，交互效应的符号与显著性与  的符号与显著性并没有必然联系。显然，此交互效应并非常数，而是解释变量  与  的函数。进一步，交互效应的符号也可能随着  与  的取值不同而变化。

事实上，即使 ，交互效应也不一定为0！此时，交互效应的表达式为

因此，简单地对  的显著性进行 t  检验，对于判断是否存在交互效应无济于事。对于这样的非线性模型，如何对交互效应进行统计推断呢？

Ai and Norton (2003)提供的方法是，给定所有协变量 ，则可计算任意两个解释变量（比如  与  ）之间的交互效应，例如

进一步，使用Delta Method，可计算在  处交互效应的标准误，进而得到相应的 t  统计量，以检验在 处的交互效应是否显著。

在具体操作中，对于样本数据 ，可得到在此 n 个观测值处的交互效应估计值及其 t  统计量。Ai and Norton (2003) 以 Logit 模型为例，通过是否购买 HMO 健康保险的具体案例，估计每个观测值的交互效应，并画图来直观表示。

上图的横轴为每位个体购买保险的预测概率（Predicted Probability），而图中的每个点则表示在不同观测值处的交互效应。显然，交互效应有正有负，依赖于具体的观测值。

进一步，考察不同观测值处的交互效应之相应 t  统计量。

上图的横轴依然为每位个体购买保险的预测概率，而图中的每个点则表示在不同观测值处的交互效应之相应 t  统计量。显然，这些 t  统计量有些显著（某些 t  统计量超过10，高度显著），而有些则不显著（某些 t  统计量在 0 附近取值）。

如何画出上述非线性模型的交互效应图？作者还提供了相应的Stata命令 inteff，可通过 “findit inteff” 来下载安装。

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参考文献

陈强，《计量经济学及Stata应用》，高等教育出版社，2015年（配套教学视频，可在网易云课堂学习，详见

https://study.163.com/course/introduction/1006076251.htm）

陈强，《高级计量经济学及Stata应用》，第2版，高等教育出版社，2014年（配套高级计量六天现场班，北京，2019年10月1-6日，详见

https://bbs.pinggu.org/thread-3156565-1-1.html）

陈强，《机器学习及R应用》，高等教育出版社，2020年（即将出版）

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