基本无害 | 使回归有意义——回归和因果关系（3）

Original 基本无害的数据Seminar

基本无害的计量经济学

——实证研究者指南

（重译本）

李井奎译

第三章使回归有意义第二节回归和因果关系

正文共3389个字，预计阅读时间9分钟。感谢阅读！
原文：3.2.3
温馨提示：左右滑动可查看完整公式！

3.2.3 不良的控制

我们已经指出，对协变量的控制可以增加回归估计值具有因果解释的可能性。但并不总是越多的控制就越好。有些变量是不良的控制变量，不应该包含在回归模型中，即使把它们包含进回归模型时预计可以改变短回归系数。不良的控制变量本身会是我们所设想的实验的结果变量。也就是说，不良的控制变量也可能是因变量。良好的控制变量，是我们可以考虑的当感兴趣的回归变量选定时（它们）也已经固定的变量。

尽管比第2章和第3.2.1节讨论的选择性偏差更微妙，不良控制问题的本质还是一类选择性偏差。为了说明这一点，假设我们对大学学历影响收入的问题产生兴趣，同时设想我们可以从事两种职业（白领和蓝领）之一。大学学历显然为高薪白领工作打开了大门。因此，职业是否应该被视为工资对受教育年限回归中被遗漏的变量呢？毕竟，职业与教育和收入两者都高度相关。也许，最好还是在一类职业中观察大学（学历）对工资的此种影响，比如仅看白领。该问题的争议在于，一旦我们承认大学学历影响职业这一事实，即使大学学历是随机分配的，同类职业中大学学历身份（与否）的工资比较，就不具有苹果与苹果的可比较性了。

下面是有关大学学历/职业中不良控制问题的公式化阐释。^[1]设为虚拟变量，表示是否白领工人，表示收入。这些变量的实现取决于大学学历身份（表示）以及与挂钩的潜在结果。我们有

其中，表示拥有大学学历，表示不拥有大学学历，表示潜在的收入，表示潜在的白领工人与否。我们假设是随机分配的，因此它独立于所有可能的结果。我们不难估计对或的因果关系，因为独立性告诉我们

在实践中，我们可以通过和对的回归来估计这些平均处理效应。

不良的控制意味着以为条件的收入比较不具有因果解释。以是白领工作为条件，考虑大学毕业生和非大学毕业生的平均收入差异。我们可以在一个包含的回归模型中计算这个值，或者在的样本中通过对进行回归。后一种情况下的估计值是在条件下和时的平均值之差：

由和的联合独立性，我们得到

这个表达点出了不良控制问题的本质：

换句话说，以是否从事白领工作为条件，有无大学学历的工资差异，等于那些的人们（拥有大学学历且为白领工人）大学学历的因果效应加上选择性偏差这一项，该偏差项反映了这样一个事实：大学学历改变了白领工人群组的构成。

在这种情况下，选择性偏差可以是正的，也可以是负的，这取决于职业选择、是否受过大学教育和潜在收入之间的关系。关键在于，即使，也就是大学教育对工资没有因果关系，(3.2.12)中的条件性比较告诉不了我们这一点( 对和的回归有着完全相同的问题)。如果说条件性比较抓住了大学学历效应中“不是由职业选择来解释的”那一部分，这也是不正确的。事实上，如果没有一个关于大学教育、职业选择和收入之间联系的更详细的模型，条件性比较并不能告诉我们多少有用的东西。^[2]

作为一个实证例子，我们看到，把职业这个二元虚拟变量纳入回归，确实降低了表3.2.1中报告的NLSY模型中受教育年限的系数，此例中系数从0.087降低到0.066。然而，对于这种下降，我们难以言说。当我们把职业虚拟变量纳入回归时，受教育年限系数的变化可能只是选择性偏差的产物。所以，我们只控制哪些本身不是由于教育引起的变量更好些。

不良控制问题的第二种情况，涉及到代理控制变量（proxy control），也就是说，回归包含了一些或许部分地控制了遗漏变量的变量，但它们自身也会受到我们所感兴趣的回归变量的影响。代理控制变量的一个简单版本是这样的：假设你对一个类似于(3.2.10)的长回归感兴趣，

为了便于讨论，在该方程中，我们将控制向量替换为能力这个标量指标。我们可以把它看作是在做出任何相关的教育选择之前(假设每个人都完成了八年级学业)一个衡量八年级学生先天能力的智商分数。根据定义这个方程中的误差项满足。因为是在确定之前观测的，所以它是一个良好的控制变量。

方程(3.2.13)是我们所感兴趣的回归，但遗憾的是，的数据是不可得的。不过，你还可以找到第二种能力指标(比如，用于筛选求职者的测试分数)，这个指标是在人们完成学业之后收集的。我们不妨把它称为后天的能力变量 。一般来说，相对于先天能力，学校教育会提高后天能力。具体来说，假设

由此式，我们可称学校教育和先天能力都提高了后天或（其他）可观测的能力几乎可以肯定，在所观测到的能力中也存在一些随机性，但我们可以通过确定性联系（3.2.14）更简单地阐明我们的观点。

你担心对的单独回归中遗漏变量偏差，（又）因为你想要控制的不可得，所以你打算让对和后天能力回归。用(3.2.14)代替(3.2.13)中的，对和的回归为

在这种情况下，、和都是正的，所以，除非等于0，否则是非常小的。换句话说，使用所感兴趣的变量而增加的代理控制变量，会产生低于预期效应的系数。但要关注的是，可以作某种程度的研究：如果对的回归是零，你可以感觉良好地假设在(3.2.14)中是零。

在代理控制变量情况中有一个有趣的模棱两可之处，这在第一个不良控制变量情形中是没有出现的。对结果变量的控制被轻易误导了；如果回归能有一个因果解释，那么你不会想在受教育年限回归中控制职业变量。不过，在代理控制变量情况中，你的意图还是不错的。虽然代理控制变量不会产生感兴趣的回归系数，但它可能比完全没有控制变量要有所改进。回想一下，使用代理控制变量的理由在于等式(3.2.13)。就这个模型中的参数而言，OVB公式告诉我们，在没有控制变量情况下对的回归产生一个系数，其中是对回归的斜率系数。(3.2.15)中的学校教育系数可能比你估计的完全没有控制变量的系数更接近。此外，假设为正，你可以有把握地说，我们所感兴趣的因果效应存在于这两者之间。

不良控制和代理控制变量问题所带来的一个教训是，在考虑控制变量时，时机很重要。在感兴趣的变量确定之前观测的变量，通常是良好的控制变量。特别是，因为这些变量确定于感兴趣的变量之前，所以它们本身不可能是因果关系的结果。然而，时机往往是不确定或未知的。在这种情况下，关于因果路径的清晰推理需要明确地假设首先发生了什么，或者断言没有任何控制变量本身是由感兴趣的回归变量引起的。^[3]

注释：

[1] 同样的问题也出现在以正概率为条件的比较中，我们还将在第3.4.2节对此详加讨论。

[2] 在这个例子中，选择性偏差可能是负的，也就是说。任何大学毕业生都能得到一份白领工作，这似乎是合理的，所以与相差不大。但是，那些没有大学学历(即 )而得到一份白领工作的人可能很特别，也就是说，他们的比平均水平更高。