一元二次方程实根的分布教学设计

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   引子：众所周知，二次函数是中学数学的一条主线，它不但把初中高中的知识有机地衔接了起来，高中数学学习过程几乎到处能见到它的魅影，例如三角函数求最值问题、三次函数极值和最值问题、高考常见的八大优美函数大都能转化为二次函数来解决、解析几何弦长等的最值问题、立体几何面积或体积的最值问题、极坐标和参数方程也常涉及二次函数的最值问题，甚至概率统计都可以沾上二次函数的外衣，如此等等，而且更为重要的是二次函数蕴含了高中重要的数学思想，即数形结合思想、分类讨论思想、化归思想等，学生在自行学习、小组探究之后对于这些数学思想往往会有更为深刻的理解，从而达到提升学生数学动手能力，提升学生思维的目的，基于这些原因，我精心设计和制作了这个教学设计和课件，

  本教学设计和教学课件均荣获2012年顺德区高中数学教学设计和课件大赛一等奖，分享给大家，敬请雅正。

一、 教学内容分析

一元二次方程的实根的求解是初中重要的内容，而二次函数是中学阶段重要的函数模型，贯穿整个中学数学始终。本节课是高三的复习课，在融合了函数与方程、化归思想、数形结合思想及分类讨论思想对上述知识做了系统的整理和升华，可作为一种专题教学或研究性学习。本节知识综合性强，对二次函数的性质、图像结合参数进行深入考虑和分析，巩固和提升了基本的数学思想，尤其是数形结合的数学思想。

本节教学的基础知识和主要的思想方法是：二次函数的图像和性质，一元二次方程的求根公式，一元二次不等式的解法，数形结合和分类讨论的数学思想。

二、 学情分析

我所教授的班级是学校文科快班，学习基础较好。在本节课之前我们已经复习了函数模块、不等式模块、含参数的二次函数最值的问题、函数的零点等知识，学生掌握基础知识的情况比较好。

三、设计思想

 1.一元二次方程实根的分布的地位和作用

函数是高中重要的数学知识，函数思想在高中各个模块中都可见其身影，其重要性不言而喻。二次函数是函数中重要的模型，贯穿整个高中始终。因此通过探究一元二次方程实根的分布，既复习了一元二次方程求根公式、根与系数的关系，又利用数形结合的思想探究了含参数的一元二次方程方程根的分布，提高了学生对函数和最后又利用分类讨论的思想对几种类型进行归纳概括。

本节教学内容属于对教材进行二次开发后形成的教学素材与载体，符合新课程的螺旋上升、循环推进的教学理念，而且它的起点低，所达成的目标高，易于为学生接受，能够很好地培养学生的思维能力。

2.一元二次方程根的分布的数学本质和教学目标设计

（1）二次函数是实数集之间的一种特殊的对应关系，一元二次方程的根即是二次函数与x轴交点的横坐标，其分布问题即是二次函数与x轴交点的位置特点与参数的取值的关系揭示。

（2）新课程强调数学知识、方法、能力的螺旋上升、教学的循序渐进。本节教学内容正是在初中二次函数、一元二次方程及高中集合、函数基本性质的基础上进行的教学，有衔接、加深、拓展的特点，揭示而来含参数的一元二次方程的分布于参数应满足的条件之间的内在规律。

（3）教学目标

①知识与能力目标：加深对一元二次方程、二次函数的认识；利用函数知识、方法重新审视一元二次方程更本质的规律。

②过程与方法目标：经历观察、归纳、概括等教学活动过程，获得一元二次方程实根的分布以及其成立的充要条件；通过数形结合得出简洁美观的数量关系；通过创造性思维提出新的问题并尝试通过合作、交流解决所得出的新问题；并用规律解决综合问题，并对此进行反思、推广。

③情感态度与价值观目标：体会二次函数乃至函数知识、思想的丰富多彩；能积极参与数学学习活动，体验数学学习充满探索性和创造性，锻炼克服困难的意志，并从中体验学习数学的快乐，体验成功，建立自信；培养对知识的科学态度和辩证唯物主义观点。

④在课堂活动中通过小组合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

四、教法和学法设计

1.采用高中数学“问题解决”的教学方法：创设情境——发现问题——探索问题——解决问题——发现新问题——探索新问题——······

2.采用多媒体演示，提高效率；

3.采用学案，充分保证每个学生的自主学习；

4.开展积极的合作、交流，体现合作学习和研究性学习。

五、教学重点与难点

教学重点：一元二次方程实根的分布的探究

教学难点：实根分布的充要条件，分类讨论的能力，归纳概括的能力

六、教具设计

1.多媒体（PPT课件）

2.导学案

七、教学反思

1．本节课从二次函数、一元二次方程实根的基础知识出发，利用数形结合将这些问题做一个系统的复习和提升，让学生从不同的角度去概括二次函数零点的分布。不仅仅是通过学习总结得到一元二次方程根的分布的求法，更重要的是让学生体会和感悟到对这类问题的研究方法,以便能将其迁移到其他数学问题的研究中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。

2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用PPT课件可以动态地演示出二次函数零点相对于区间（p,q）的动态变化过程，让学生直观观察到判别式、对称轴、端点函数值对零点分布的影响。

3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思想方法去分析、思考问题。

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