求圆被直线所截弦长最短问题的教学思考

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昨天在评讲学生练习时，遇到一个非常经典的求弦长最短的问题，该问题如下：

这个题目难度中等，但是初次接触到这类型的题目，学生还是存在比较大的疑难。很多学生可能想得到直线l垂直CM时，弦AB的长度取得最小值，但是不知道如何去证明？

对于直线与圆位置关系的问题，用几何法是比较可取的。（当然如果要求直线与交点或者切点坐标时就只能用代数法）学生对这个问题的疑难之处主要是缺乏运动变化的想象能力和动手能力，尤其是文科生往往对这个问题束手无策。其实只要学生愿意画一下图，如下图所示，这个问题是不难获得解决的。

实际上直线AB是绕着M点转动的，无论旋转到何位置，恒有d1>d2,所以由半弦长、半径和弦心距的勾股关系易知当CM 垂直AB时，弦AB取得最小值。

讲完这种解法后，有个学生当场提出了一个比较有意思的解法，设弦AB是绕着M点转动的任意一条直线，不妨设设P是AB的中点，M点关于点P对称的点是M1。则AB=2AM+MM1≥2AM,当且仅当MM1=0，即M为AB中点时等号成立，由初中的垂径定理易知CM 垂直AB时，弦AB取得最小值。一开始我还以为 53 28176 53 14939 0 0 2474 0 0:00:11 0:00:06 0:00:05 2725生搞错了方向，因为AM也是变量，但是后来在和他一起探究的过程中，才知道他是正确的，这个学生的思维很不错。

从上述个人思考发现：因为圆有非常优美的对称性，所以我们用几何法去解决直线与圆的问题时，不但能快速解决问题还能感受数学的美、几何的美。而如果使用代数法去解，如上述两种方法，感觉就像是用关公的到去剪蚂蚁的指甲，笨拙而又费力。各位读者朋友，不知您有何高见呢？欢迎在下方处留言，请不吝赐教，谢谢！