刘钢 | 布尔巴基引领新数学的革命

作者 | 刘钢  苇草智酷学术委员、中国社会科学院哲学研究所研究员

转自 | 刘钢博文

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在布尔巴基问世之前，法国数学界拘泥于“函数论”而不能自拔。一战中丧失了很多年轻的接班人，导致学术断代，法国数学的领先地位逐渐动摇并出现衰退的局面。虽然在函数论领域成绩斐然，在实变函数中有约尔当（Camille Jordan, 1838—1922）、波莱尔（Emile Borel，1871—1956）、勒贝格（Henri Lebesgque, 1875—1946）等大家；在复变函数中又有柯西（Louis Cauchy, 1789-1857）、庞家莱（Henri Poincaré，1854—1912）、阿达马（Jacques Hadamard，1865—1963）等巨擘。这就让法国数界完全有资格沉溺于“函数论王国”，他们并不关心数学的其他领域。但年轻一代的数学家深刻认识到了法国数学同世界先进水平的差距。他们痛切感觉到，如果还沿着函数论的方向走下去，法国的数学就肯定要进入死胡同。世界就会忘掉法国的数学。这就会使法国的二百多年的数学传统中断。从费马到庞加莱这些最伟大的数学家都总是具有博大全才的数学家的名声，他们既能从事算术和代数的工作，又能进行分析和几何的探究。

布尔巴基的《数学原理·集合论》（第一卷）出版于1939年。由于第二次世界大战的爆发，此书并没有引起太多关注。早在1935年底，布尔巴基的成员们一致同意以“数学结构”（mathematical structure）作为重新统一数学的基本原则。“数学结构”的理念是布尔巴基学派的一重大发明。他们效仿希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）的公理化方法，打破将数学的分析、几何、代数、数论的经典条块分割，而要以“同构”（isomorphism）的理念对数学内部各基本学科进行整合。他们认为全部数学基于三种母结构，即代数结构、序结构拓扑结构。这三种结构分别对应于研究离散系统的代数类、研究连续现象的分析类和研究空间形式的几何类。

布尔巴基终于找到“结构”这一理念来引领这场新数学的革命。“结构主义”这就是布尔巴基学派的核心。在数学上所谓“结构”就是“……在不同的元素集合上，表示各种各样的概念的共同特征时才可以得到应用。这些元素的性质并无特指，定义一个结构就是给出它们之间的一个或若干关系……从给定的关系所满足的结构公理，便可建立起某种给定结构的公理理论，这个过程相当于只从结构公理出发来，就能推演这些公理的逻辑推论。”

一个数学学科可能由几种结构混合而成，同时每一类型结构中又有着不同的层次。譬如，实数集就具有三种结构：一种由算术运算定义的代数结构；一种顺序结构；最后一种就是根据极限概念的拓扑结构。三种结构有机结合在一起，比如李群是特殊的拓扑群，是拓扑结构和群结构相互结合而成。因此，数学不再象过去那样分门别类将数学归为数论、代数、几何、分析等学科，而是依据“结构”的相同与否来整合，即数学统一于“结构”。结构是数学的纲，纲举则目张。布尔巴基在引领新数学的革命，而结构主义则是这场革命的方法论。

一门科学成熟之前，术语运用是混乱的。各自为政，而每人又有一批追随者沿袭他的用法，这就造成了互相理解的困难。凭着布尔巴基学派的各位大师的威望，许多术语和符号，尤其是拓扑学及泛函的新词，都以布尔巴基为准。正是布尔巴基的《数学原理》使第二次世界大战以后的数学术语得到了空前的统一。另外，数学符号也统一起来。布尔巴基不仅以它的数学与写作影响了全世界，风⾏了⼏⼗年，他创造了⼀些数学概念和符号，其中许多“⼀夜成名”，⽐如1937年H. 嘉当使用的原创法⽂的filtre和英⽂翻译filter（滤子），就被用于布尔巴基的《点集拓扑学》。

最有名的例⼦就是由韦伊所独创空集符号Ø，已经⼴泛使⽤。还有的三个函数术语“单射” （injection）、“满射” （surjection）及“双射” （bijection），也是布尔巴基的发明。数学文献中最常用的自然数集合、整数集合、有理数集合、实数集合、复数集合，都按布尔巴基的用法分别用 n、z 、q 、r、c 来表示。使布尔巴基更为出名的是他的许多成员在战前和战后的工作开始为大家所知，尤其是代数数论、代数几何学、李群、泛函分析等方面的成就。这使得布尔巴基的活动更加引人注目了。可以说，60年代中期，布尔巴基的声望达到了顶峰。

布尔巴基出版的系列丛书

布尔巴基在数学方法论上的结构主义的理念确立后，从战前的1935年的酝酿到1939年正式出版第一卷《数学原理·集合论》，到战后布尔巴基各卷书的陆续推出以来，各国数学界⼈⼠却从来没有在公开场合⽬睹尊容。他的身世更是充满神秘色彩。他加究竟是谁，是否可信，都值得怀疑。一直有人觉得他的此事扑朔迷离，怀疑布尔巴基是在自我造神，故弄玄虚。他像隐⼠⼀样不露峥嵘，成了数学界⼀个谜。数学家中还是有怪才的。

譬如说，数学⼤师格罗腾迪克（Alexandre Grothendieck，1928-2014）就拒绝接受1966年在莫斯科颁给他的菲尔兹奖，以及临终前不让再版他著作和出版其未刊稿。他认为许多人根本不理解他的工作。证明庞加莱猜想的佩雷尔曼（Grigory Perelman，1966—）更是“隐⼠”，他拒绝前往马德里接受卡洛斯一世国王颁发的菲尔兹奖以及英国克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）的巨额奖金，拒接美国斯坦福大学的邀请，拒绝接受欧洲数学会颁发的青年数学家奖，拒绝接受任何访谈。他就像个苦行僧，与其母亲和姐姐生活在俄罗斯的圣彼得堡。当有人给他打电话约他，他却说：“你在影响我采蘑菇。”他的一系列异于常人的举动让哈佛大学教授贾夫（Arthur Jaffe）认为，他是一个非常传统守旧的人，很讨厌卷入各种浮华和偶像崇拜。

左：格罗藤迪克；右：佩雷尔曼

直到多年后，布尔巴基在《美国数学⽉刊》上发表⼀⽂，在作者简介中，还是煞有介事地这样称⾃⼰：“尼古拉·布尔巴基教授，帕尔多瓦皇家学院院士（Member Academy de Royal Academy Poldavia），居法国南锡，写了⼀套《数学原本》，内容是关于现代数学的综合性丛书（⾃1939年起由Hermann出版），现已出版⼗卷。”可是这个帕尔多瓦在何处？只在比利时漫画家埃尔热（Hergé），即乔治·勒米（Georges Remi，1907—1953）创作的系列漫画《丁丁历险记》（Les Aventures de Tintin）第五册的《蓝莲花》（Les Lotus Bleu）出现过。这更是个笑话了。然而，随着丛书继续出版，布尔巴基这个名字逐渐引起了人们的关注，只是无人知道布尔巴基究竟是何许人也，数学界众说纷纭，后来竟成了一个“谜”。

布尔巴基的签名以及《蓝莲花》的地点Poldavia

直到1968年，笼罩在布尔巴基身上的神秘面纱终于被揭开，原来布尔巴基是由一群年轻的法国数学家自发形成的一个社团，尽管该学派的几个主要奠基人被猜中，但他们自己一直予以否认。

布尔巴基学派的主要奠基人：

左起：1、韦伊；2、嘉当；3、谢瓦莱；4、让·德尔萨特；5、让·迪厄多内

至于外界说什么并不重要，关键是看布尔巴基这个小团体的意见。到了上世纪30年代，经过布尔巴基⼈⼀次次会议的来回争执和热烈讨论，⼤家⼀致认为，现代数学的教科书跟不 上现代数学前进的步伐，尤其在饱受世界⼤战重创的法国，缺少统⼀的数学观，即他们所认定的“数学取决于结构”的哲学理念。他们要把该信条作为写作原则，把数学看成有机整体，⽽⾮各个分⽀的碎⽚组合，重新构建数学的⼤厦。因此，他们撇开只写出⼀本基于微积分思路的现代分析教科书的最初想法，决定集体写出⼀部与众不同、体现当代数学“结构主义”思想，充满法国⽂学风格的恢弘⼤作。于是，他们模仿欧⼏⾥得，将书名取为《数学原本》，希望成为20世纪的欧⼏⾥得，引领国际现代数学教育之潮流。

他们相当成功！据2006年美国数学会翻译出版的《布尔巴基：数学家的⼀个秘密团体》（Bourbaki: A Secret Society of Mathematicians）⼀书中的记载，在法⽂原著出版之时，已出版的书达6千多页。他们引领的新数学的革命，一扫数学界以往的迂腐之风。在希尔伯特的形式主义和自己主张的结构主义大旗下，他们终于将数学做到基本统一。胜利就难免冲昏头脑，布尔巴基学派中的人有不少获得菲尔兹奖，于是这个小团体甚至高喊，自己主张的“新数学”要打倒欧几里得。甚至提出要把集合论引入中学课堂！由于当时布尔巴基的初衷就是根据数学结构来编写新教材，于是有不少大中学校的数学都按照结构主义的进路来编写教材。直到1970年代，当他们的书出版了40卷后，终于出现问题！它对初等数学教育的影响导致1970年代轰轰烈烈的“新数学”运动 的诞⽣。然⽽，“新数学”进入中学的实践结果⼏乎是⼀场灾难。旅居美国在霍普⾦斯⼤学教书的⽇本数学家⼩平邦彦 (1915-1997) ⽬睹⾃⼰的⼥⼉成了这场试验的牺牲品，在他的《惰者集》⼀书中对“新数学”⼤加鞭挞！ 

从历史的⻆度看，布尔巴基对整个数学贡献巨⼤，影响了⼏代数学家。但是，它的数学观和哲学思想也⼀直饱受批评。其中最激烈的讨伐者⼤概⾮俄罗斯数学家阿诺德（Vladimir Arnold，1937—2010）莫属。就数学哲学⽽⾔，阿诺德是庞加莱的信徒，⽽不是希尔伯特的拥趸，当然这不妨碍他解决了后者的“23个问题”中的⼀个。这位柯尔莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903—1987）的杰出弟⼦个性独特，⾔语锋利，批评起来不留情⾯。他⾯试⼀位求职的法国数学家，后者的专业是线性代数，却答不出“⼆次型xy的符号差为⼏”这个简单问题。这名法国教授也许读了太多的布尔巴基著作，过分重视“⼀般性”⽽忽略了“具体性”，⽽这正是阿诺德所最反对的。阿诺德⼤概最欣赏⼀句名⾔——“艺术源于⽣活，但⾼于⽣活”。他认为数学是现实世界的反映，⽽不是先有数学结构再将之套⽤到现实世界中去。他⾃⼰的⼀句名⾔是：“数学是物理的⼀部分。”这也从另⼀个⽅⾯验证了布尔巴基的缺陷：太注重纯粹数学⽽忽视应用数学，比如现在特别热门的统计学就不在他们撰著的考虑范围之内。也是许多数学家批评的另⼀⽅面。具有讽刺意义的是，布尔巴基学派最年长的波兰数学家曼德博（Benoit Mandelbrot，1924—2010）的侄⼦却是反对布尔巴基的急先锋。30岁不到时，他甚⾄逃离祖国⽽去了美国，在那⾥开创了布尔巴基⼤概不甚欣赏的分形⼏何学。

布尔巴基学派对数学的主要贡献在于首先引进了数学结构的概念，并用这个概念来统一数学。数学结构主要是一些对象的集合，对这些对象并没有预先指定其特征，而是着重考虑他们之间的关系。正是这个体系，构成了现代数学的核心。布尔巴基的结构主义观点，在上个世纪中叶盛极一时，在中学教材改革中曾经奉为经典。但是布尔巴基学派认为数学只是研究结构的科学，因此只对抽象的数学结构感兴趣而对对象本身究竟是数、是形、是函数还是运算并不关心，因此70年代以来，结构主义观点开始走下坡路了。可谓兴也结构，衰也结构。

后来想到布尔巴基将军当年在普法战争中先赢后输，没想到以他名字命名的学派也遭遇了相似的结局。瑞士琉森州有一幅环形绘画（Bourbaki Panorama Lucent），再现了布尔巴基将军兵败的场景。

后面我要探究布尔巴基的“结构”和“结构主义”与语言学的结构主义的渊薮。（完）

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