专访张继平院士：创造一流研究成果，培养新一代世界领先的数学家

编  者

2019年11月22日，中国科学院公布2019年院士增选结果，北京大学数学科学学院教授、北京国际数学研究中心副主任张继平当选。让我们走进张老师的研究与工作之中，听听张老师对数学、教育以及人生的思考。

张继平院士在北京国际数学研究中心

一、学术

1977年，张老师以乡村小学教师的身份参加了首届高考，考入山东大学数学系；1982年，张老师来到北京大学攻读研究生，师从时任数学系主任的段学复院士，开始了数十年如一日的代数学研究。张老师作为一流数学家，我们敬仰的老师，他在求学过程中有怎样的经历，在研究中又取得过怎样的成果？

Q：在您的研究道路上，对您影响最大的是哪些人？

首先是我的研究生导师段学复先生。段先生把我带到科研最前沿的同时也教导了我许多东西，是我人生的导师。还有协助段先生的石生明老师。1982年初我刚来到北大读研究生，石老师也刚从美国回来，在学术上对我有许多指导和帮助。

另一个是我1989年去美国做博士后的导师，菲尔兹奖获得者John Thompson先生。他是当代最伟大的数学家之一。他对数学的理解不光局限在代数学这一个领域，而是在很多领域都有极其深刻的想法。这些想法常常给人一种“不可思议”的感觉，如群与模形式，黎曼假设的表示论思考等。也许人们需要更多更深入理解他的数学思想。

Q：您在数学研究中取得了多项重要的、影响深远的工作。您在研究生涯中有什么“特别”的时刻吗？您本人最引以为傲的工作是哪一项，或哪几项呢？

印象特别重要的工作，我这里举三项。第一项是我做博士生的时候对亏零p-块存在性研究做出的突破，即在一定条件下，给出对有限群G亏零p块存在性的第一个充要条件。这是我博士论文的一部分。亏零p-块存在性研究是当代模表示论的重要难题，是美国科学院院士、国际数学家大会一小时大会报告人Feit在1982年提出的模表示论十大公开问题之第六问题。用子群的亏零p-块存来刻画群的p-块是当前模表示论研究的国际前沿焦点，如著名的Alperin权猜想。在1986年美国Arcata表示论会议上，我关于亏零p-块存在性的工作被报告后引起广泛的关注。著名群表示论专家、英国Berwick奖获得者Robinson曾指出：“最困难的是G的Sylow p-子群为循环的情形, 但幸运的是, 这已由张继平解决”。　　

第二项是我博士毕业后一年左右解决的Brauer第39问题和其后与人合作解决Brauer第40问题的工作。这两个结果本身对小维数线性群的结构有非常深刻的刻画，成为一项基础性重要结果，特别是在高维Galois表示的自守提升定理的证明中有深刻和关键作用，是2014国际数学家大会45分钟报告人Guralick和2018国际数学家大会45分钟报告人Tiep有关高维Galois表示的自守提升研究工作的基础。大家知道二维Galois表示的自守提升在费马大定理的证明中非常关键，而Serre的模性猜想（Modularity Conjecture）以及Langlands纲领等都要用到Galois表示的自守提升定理。　　

第三项是近几年我和我的学生们在归纳Alperin权猜想条件（iBAW condition）上做出的工作。这是当今模表示论领域里最受关注的两大前沿焦点问题之一。另一个问题是McKay猜想，在国际上一流群表示论学者的努力下McKay猜想已经接近得到解决了，因此大家更多地关注Alperin权猜想。这方面我们团队做得最全面和最深入，具有基础性和先导性，例如对典型群的幺幂块（unipotent block）我们已经得到了非常完整的结果，我们也对一大类一般线性群和酉群验证了iBWC条件，这也是我们“十年磨一剑”的成果。

Q：有限群及表示论与数论、几何等数学的其他分支都有密切的联系，您能举几个例子吗？

历史上有很多比较成熟的结果，就不再赘述了，我想谈一些更加现代的联系。我发展群的算术理论的一个重要原因是因为群和代数数论、黎曼流形的问题有很多深刻的关联：前者与有限群关系紧密的有戴德金ζ函数（Dedekind Zeta function）——两个不同构的数域可以有相同的戴德金ζ函数，这与它们对应的Galois群有十分重要的联系；关于黎曼流形Laplace-Beltrami算子的谱几何理论有与代数数论中平行的问题。我关于Brauer第39、40问题的工作是研究有限线性群，而有限线性群的偏差（deviation）理论在代数几何、弦论、镜像对称、量子上同调等理论研究中相当重要。

Q：在您研究的方向上，还有哪些悬而未决的重要问题？

我刚才提到我们解决了Brauer第39问题和第40问题，事实上，Richard Brauer在1963年提出了关于有限群及其表示论的43个重要问题和猜想，它们一直是该领域不断繁荣发展的源泉。直到今天，其中的绝大多数重要难题和猜想都没有解决，还有Brauer时代之后出现的Alperin权猜想、Broue导等价猜想，模表示论的范畴化等，特别是有限群及其表示在数学的其它领域的应用日益重要。

二、管理

1998年9月，年仅40岁的张老师接替姜伯驹院士，成为了北京大学数学科学学院的第二任院长。2008年6月，张老师正式卸任。1998年到2008年的十年是北大数学，也是中国数学快速发展的十年，中国数学界在这十年间经历了不少的风云变幻：国际数学家大会的召开、985工程的实施、北大数学“黄金一代”在校的培养、北京国际数学研究中心的建设……张老师曾戏称作为院长的他是北大数院的“值日生”。我们来跟随张老师，走回那个风起云涌的时代。

 张老师担任数学学院院长期间在学校会议上发言

Q：您在担任北京大学数学科学学院院长期间有什么难忘的事吗？

这个时期有太多的难忘且充满感情、热情和激情的人和事，我这里只概要说几件。

第一件事是“搬家”，2000年初，数学科学学院从静园一院搬到现在的理科一号楼。静园一院最开始是原燕京大学的女生宿舍，把一个学院都装进去，拥挤程度可想而知。搬到相对现代化的理科大楼后，学院教学、科研条件都有了重大改善。教员办公室、教学、科研、管理、图书、计算机、报告厅、数学所、教育部重点实验室等各项用房，从总体布局到设计装修等各个环节，全院上下都积极关心参与。最后大家基本都满意。今天，20年过去了，学院的用房总体上还是当年的布局和面貌。

第二件事是建设世界一流大学的国家985计划的实施，北大设立了985岗位。学院根据学校的评聘大原则，紧密结合数学学科特点和学院实际，比较平稳顺利地完成了985 A、B、C岗位的评聘。教师们的月工资翻了一至三番。同时我们对学院的教学、科研体制做了很多的改进和创新，使得学院教学、科研、人才培养、国际交流等等各方面全面发展，有明显的进步。整个过程中，我们最注重的一点是，最大限度地调动教师的积极性，全力营造宽松和谐、风清气正的学术和人文环境，重视教学，鼓励科研，完成教学工作量的教师不会因没有发表科研论文而受罚。　　

第三件事是2001年学院“数学基础研究与人才培养基地建设”项目获得“国家教学成果特等奖”。该项目在姜伯驹院长的主持下取得巨大成效，特等奖也是对学院既往教学和人才培养的一个肯定，也给后来的进一步改革与创新以极大鼓励。

第四件事是2002年在北京召开的国际数学家大会，北大数院做出重要贡献。当时我是中国数学会的副理事长，国际数学家大会组织委员会的成员兼“当地安排委员会（Local arrangement committee）主任，同时任大会刊物Beijing Intelligencer主编，学院的张恭庆院士、姜伯驹院士、丁伟岳院士、柳彬教授等也为大会的成功举办做出了积极贡献。其中特别要提到的是为大会提供服务的200余名志愿者，除科学院和其他高校20多人外，其余的是北大数学学院的学生。在会议结束后，美国数学会通讯的副主编Allyn Jackson撰文，高度称赞了本次会议学生志愿者服务是历届大会最好的。其中一位大会一小时报告人把他的报告“献给志愿者们”。

第五件事是北京国际数学研究中心的建立。建立数学中心的想法从2002年开始酝酿谋划，时任北大党委书记闵维方教授非常支持，把它作为北京大学创建世界一流大学的重要举措，指示学校有关部门全面支持我和田刚考察挑选地址、提出建设方案。时任国务院总理、中央主管人才工作的领导都在中组部、教育部的联合建设报告上作出重要批示，特别是主管科教文卫的时任国务委员始终亲切关怀和支持北京国际数学研究中心的建设。尽管如此，我和田刚等一起还是遇到了许多不曾预期的巨大困难，经历了暴风骤雨的考验。“艰难困苦，玉汝于成”，2011年具有鲜明中国特色的北京国际数学研究中心建筑群完工；在田刚院士带领下，北京国际数学研究中心这座世界一流的学术殿堂现在已巍然矗立燕园未名湖北岸，这比我预期的还要快，我倍感欣慰，也是我们能给学校、教育部、中组部、发改委等，和有关领导同志关心支持的最好感谢。　

张老师向来访学者介绍北京国际数学研究中心

最后我谈一谈人才培养。1998年我接班姜伯驹院士，主持院务工作。姜伯驹院长主持的北大数学人才培养模式的改革和理科人才培养基地建设取得很大成效，我在思考如何在此基础上更进一步， 把北大数学院的这些天之骄子培养成新一代杰出人才？我借鉴和参考了很多国际经验，但面对学校和学院实际仍旧感到不少困惑。于是我去请教了北大老校长、曾任数力系系主任丁石孙先生。从丁先生那里我了解到，王选、张恭庆等院士所在的北大数学力学系1954级学生是一届特别的群体，240个学生来源和程度差别很大，可就是这一级学生中后来诞生了七位两院院士。当时数力系根据这一级学生特点，因材施教，成立了课外兴趣小组，由程民德先生、丁石孙先生分别带分析小组和代数小组等。

张老师（左二）在数学中心与来访师生座谈

作为新任院长，我心想，人说新官上任三把火，但我觉着用不着烧三把火，一把火足已。受丁石孙老校长的启发，我当时形成的一个想法是：培养新一代世界领先的数学家，再造北大1954级的辉煌。这就是我心中那把火。我和当时的学院教学副院长郑志明（现为中科院院士，任职北航）等一起商议。总结历史经验，立足学院实际。我们没有提出新计划和口号，而是决定向着目标直接出发。1999年我任“北京大学数学教学系列丛书”主编，开始大规模的教材建设，和北大出版社合作，计划用8年时间，编写、修订40余种教材，现在50余本装帧精美的教材早已呈现在世人面前；从1999年9月开始开设低年级讨论班，我和郑志明都亲自带低年级讨论班，并选部分有才华的青年教师出力，带领学生们阅读一些略带科普性、但有思想性的数学论文或著作，最初由老师讲，很快就让学生们自己讲、自己找题目、自己组织。不到一年，学生们的学习积极性就非常高涨。我还记得学生们当时向我提的最多的要求是需要讨论班的教室。我去和时任数学所所长丁伟岳院士商量，数学所访问学者的办公室如果没有人在使用的话，就给学生们用作讨论之用，丁先生表示非常支持，并主动帮学生、带学生；同时，我们还利用一切可能创造接触数学前沿的机会。当时田刚院士开设的特别数学讲座、鄂维南院士与张平文院士进行计算数学人才培养体系改革等等，对本科生、研究生们开阔眼界、学习新知识都有很大的促进；为迎接世界数学家大会2002年在北京召开，张恭庆院士向国家建议，设立了2002人才工程，对这时期本科生研究生以及年轻教师等的成长有很大支持，一是资金可以直接支持低年级讨论班，二是该计划更邀请许多国际国内一流数学家来北大讲学开课，对同学们帮助很大。

2010年有人注意到、随后媒体也广为宣传的北大数学“黄金一代”，这些世界级的青年数学家，大致主要是指北大1999级的刘若川、许晨阳，2000级的恽之玮、张伟、袁新意、朱歆文，2001级的肖梁、鲁剑锋等。我相信，北大数院一定还会走出更多世界级的重要学者。目睹恽之玮、刘若川们这一批世界领先的拔尖数学家创造的辉煌，我觉着他们已然超越了北大数学的历史，今天以“黄金一代”形容他们，正如当年仅以“奥数金牌”“冠军”等称赞他们已经不够，我希望并相信他们会为数学和中华民族带来更多的惊喜。

三、展望

从年轻的学生到著名的数学家、令人敬仰的师长，张老师以坚毅的步伐参与了北大数学、中国数学四十余年来的蓬勃发展，始终思考中国数学和大学教育中的重大问题。让我们一起聆听张老师对于学者和教育的理解，对于中国数学未来的探求和憧憬。

Q：您觉得北大学者除了科研外，还有哪些需要重视的方面呢？

首先是教学方面。我们需要强调，课堂是神圣的，教学是神圣的，教师是神圣的。这是我在2002年学校教学表彰大会提出的三个神圣。这对于老师和学生双方面都有很高的要求。对于老师来说，一定要把教学放在特别重要的位置上，只专注科研而忽视教学的做法是不对的。特别是在北大，我深刻体验到教学相长的乐趣。在数学的教学中，思想的传递和交流才是最重要的，现代的多媒体设备应当只用来辅助，老师一定要认真备课，做好和学生的互动。对于学生来说，尊重课堂，尊重老师，是最起码的在校行为准则，在课上自由散漫绝对要不得。

其次是学者的人文素养。一个人做事情要有能力、有思想，但同样重要的是要有情怀、有激情。有了激情才能动员大家，感染大家，带领团队一同前进。为了培养这种激情，需要有科学的、艺术的、文学的各方面的综合素养。

Q：现代数学的体系变得越来越庞大，每个分支都有大量精细的结果和问题，分支之间又紧密相连。在这样的背景下，学生们在学习阶段要怎样做才最合适呢？

我一直秉持的一个观点是，数学领域并不是像许多人想象的那样越来越孤立；相反，今天任何一个重大数学问题的解决都需要许多数学领域的方法、思想综合作战，数学家们之间的沟通交流与合作也越来越重要。学生们绝对不能“几何是几何，代数是代数”，关起门来只关心自己的事，而应该有更宏观的数学观点，“条条大路通罗马”。数学研究固然类似挖井，越挖越深，好的数学家却不会把自己变成井底之蛙。

我们在本科生课程设计上也应该强化这一点，把“数学是统一的整体”的观点传递给学生。老师作为领路人的作用是巨大的。

以我自己上的课为例，我教抽象代数的时候，平时注意从分析、几何、物理等不同领域汲取思想和例子。考试时也会有一个题目本质上是分析或几何的题目，但形式上是代数的问题。比如，我以前出过一道题，问[0，1]闭区间上的所有实连续函数在函数的加法和乘法下构成的交换环，它的极大理想是什么样子？这种题目占分不多，含金量高一点。所以说，要拿满分也是一件很困难的事情。

Q：您在从事数学研究的几十年中，对数学的看法有什么新的体会吗？对中国数学，特别是代数学的发展又有什么样的展望呢？

除了数学的统一性外，主要是吴文俊先生提出的“中国古代数学的主流性”的观点给我启发颇大。他是我特别敬仰的一位数学家，不光在拓扑学上作出过重大突破，对数学的机械化以及中国古代数学史的研究也都是开创性的。

传统的观点认为，中国古代数学强调算法而非演绎推理，对现代主流数学发展没有直接的贡献。但吴先生认为，中国古代数学就是主流数学，更强调用代数的观点看待问题，也就是把各问题转化为解方程问题，是机械化的基础；而西方的演绎推理体系擅长用几何的观点看待问题，是公理化的。二者在数学发展的历史长河中的地位应当是对等的。  

现在，计算机的应用改变了过去手工计算的局限性。我们可以把现实问题数学化，再把数学问题代数化。计算机的推理方法与数学家是不同的，代数在信息化的新时代应该有更大的作用。也有越来越多的人认识到这一点。而且算法在未来数学发展中越发重要。我相信，信息化的浪潮已经且更大地改变数学研究和数学思维的方式。 

放眼未来，如何使中国的数学总体上走到世界前列，引领数学的发展？这值得所有的中国数学家思考。我认为吴文俊先生的理论和思想是我们前进的指路明灯。

张继平院士现任北京大学数学学院教授、北京国际数学研究中心副主任，数学及其应用教育部重点实验室主任，北京数学会理事长。现为Asia-European J.Math和《数学学报》副主编，Communications in Algebra等5种重要期刊编委。曾任中国数学会副理事长，教育部科技委数理学部常务副主任，Algebra Colloquium主编，1998年至2008年任北京大学数学科学学院院长，为数学学院世界一流学科建设和新一代数学拔尖人才培养做出重要贡献。

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来源：北京国际数学研究中心

作者：徐林霄

编辑：任  燃