“一段很长旅程的开始” | 专访12级博士院友胡凯博

Original 北大数院北京大学数学科学学院

据美国工业与应用数学学会（SIAM）官网消息，北京大学数学科学学院12级院友胡凯博获得2023年美国工业与应用数学学会计算科学与工程早期职业奖，以表彰他对有限元外微分，尤其是磁流体力学（MHD) 中的保结构数值算法所作出的杰出贡献。数学科学学院特别专访胡凯博院友，听他讲述与数学的故事—— “一段很长旅程的开始”。

胡凯博，2012年获南开大学理学学士学位，2012年至2017年就读于北京大学数学科学学院/北京大学北京国际数学研究中心，获博士学位。现任牛津大学Royal Society University Research Fellow*。博士在读期间，他以优异成绩连续三年获得北京大学博士研究生校长奖学金。

* 皇家学会大学研究员项目(Royal Society University Research Fellowship, URF) 是面向在英国工作的早期职业科学家最有声望的奖项和基金之一。URF获得者由皇家学会判断为“有在相应领域成为领导者的潜力”, 并且受资助在英国任选的大学或研究机构工作。

Q：请您简单介绍一下目前的研究方向和兴趣？其困难之处在哪里？

胡凯博：我目前的研究主要是“有限元外微分”——在数值计算中保持连续问题的物理和几何结构。我在北大读博士时的工作主要关注磁流体力学，最近很大一部分兴趣是关注张量值问题（比如力学中的应力和应变，几何中的度量和曲率）。

一个困难之处在于，这是一个跨学科的领域——一方面，发现和保持结构需要很多数学分支，比如我们最近的一个工作需要用同调代数联系不同问题中的分析和离散结构，以及我们现在的一个课题是张量有限元，而系统地刻画和保持张量（比如黎曼曲率等）的对称性不可避免地需要表示论的语言；另一方面，对于具体问题，需要经常与物理和工程专家沟通，不同领域的语言可能是很不同的。

我目前很多时间其实是在学习其他数学和物理分支的工作，这也是这个领域对我来说最有趣的地方。

Q：获得SIAM计算科学与工程早期职业奖，您有什么感想？

胡凯博：觉得很幸运。另外，“计算科学与工程”是一个比较大的社区，可能我的研究兴趣在其中是偏理论的一端，因此我觉得这个奖项是这个社区对保结构方法和有限元外微分的兴趣和认可。

Q：您是如何接触到有限元外微分这个领域的？

胡凯博：我一直对物理感兴趣，本科第一年在软件专业，后来转到了数学。所以“计算数学”这个方向对我个人来说是“最佳逼近”。

本科的时候，我花了不少时间读阿诺德的经典力学和拓扑流体，开始对几何力学感兴趣，然后了解到冯康先生的保结构方法和辛几何算法，后来我的博士生导师给了我Arnold, Falk和Winther关于有限元外微分的文章。

Q：您对于自己未来的发展，以及在目前的研究方向的探索上有怎样的展望？

胡凯博：连续和离散一直是数学和物理的一个核心问题。比如，今年得到 Abel 奖的Sullivan在Lie-Størmer 中心 (一个关注计算数学中基本结构的研究中心) 做的报告中讲了流体的几何、拓扑和离散化 (Arnold告诉我Sullivan曾经和他讨论过有限元外微分)。Yau和合作者最近做了很多关于图上几何分析和计算共形几何的工作。

出于量子化和计算的需求，物理学家提出了很多离散理论，比如离散引力、格点规范场论和离散微分几何。曾经听物理学家开玩家说，这些理论对连续问题的收敛性是“不能问的问题”，这可能恰好是数值分析很有意思的课题。Christiansen 的一篇文章中把量子和数值引力中的一种离散方案 (Regge calculus) 解释成有限元，我觉得这是一个种子工作。现在“Regge 单元”已经在一些流行的有限元软件包 (比如FEniCS) 中实现，并且用于板壳问题的计算。反之，最近一些人开始从有限元的角度研究离散几何和物理系统的构造和分析，这些问题应该不久会有更多结果。这也是我关注的方向：离散化和离散理论，再到具体问题 (连续介质力学、引力波、规范理论、离散几何)。数值相对论在引力波探测中起到关键作用。其中，爱因斯坦方程是一个非常复杂的非线性偏微分方程系统。数学结构在算法突破上起了至关重要的作用 (这个故事中的关键人物 Pretorius 在今年的 ICM 作了大会报告)，这是我主要关注的一个应用。对于流体和磁流体问题 (特别是在湍流和相对论时空情形下)，我最近比较感兴趣拓扑和几何不变量在计算中的作用。如果更宽泛一点, 我想可以引用 Lie-Størmer 中心网站上的三个问题：

1. What are the underlying foundations of structured and efficient computations in mathematics?

数学中结构化和高效计算的基础是什么?

2. How does symmetry, respectively order, facilitate and structure computational processes? 对称性和序如何辅助和结构化计算过程?

3. Which modern algebraic structures build new bridges between the continuous and the discrete? 何种现代代数结构建立起连续和离散之间新的桥梁?

爱因斯坦方程和Regge calculus也是我在北大时，导师给我的一个”长期问题”。可能这只是一段很长旅程的开始。

“一段很长旅程”

于北大数学出发

胡凯博院友在此

度过了博士研究生的难忘时光

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独特而难忘

在读研期间，我感受到北大数学的浓厚的学术氛围。

研究生培养方面，北大数学有着完整的课程系统，比如当时在计算科学系，我修了数值代数、并行计算、有限元、应用偏微分方程等课程，参与了很多学院和中心举办的暑期学校和研讨会，现在看来，内容是很前沿的。北大还有非常宽松包容的学术环境，允许研究生自由地选课，追求自己的兴趣。除了计算系的课程，我当时在学院还修了一些“纯数学”的课程，以及在工学院修了两门连续介质力学课程，这些课程对我帮助很大。

总体而言，博士研究生阶段的课程和学术训练是很全面、扎实的。北大的老师和同学们是一个非常有趣的群体，在学术上活跃而有想法。数院和中心有着非常好的讨论氛围，比如胡俊老师的讨论班，以及不同方向的同学之间的讨论等等，他们中的很多人现在也已经做出了出色的工作。校园生活方面，百周年讲堂有很多高质量的演出。

总之, 在北大求学，是一段很独特和难忘的体验。

2017年

从北京国际数学研究中心博士毕业时

胡凯博院友也曾留下

真挚而生动的毕业感言

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期待与未知

我很幸运，在BICMR遇到了许多世界一流的学者，相识了很多有趣的同学和朋友。在这样安静的地方专心做数学是很大的享受。

现在面对一个新的开始。一切又像五年前：充满期待和未知。也许在之后的时间里，我会经常回想起在数学中心的日子：黑板上的讨论，写第一篇论文时花费的精力，从中心到宿舍的夜路，甲乙丙实验室的欢乐……感谢BICMR。

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奖项介绍

美国工业与应用数学学会（SIAM）计算科学与工程早期职业奖（The SIAM Activity Group on Computational Science and Engineering Early Career Prize）创立于2016年，该奖项每两年于美国工业与应用数学学会计算科学与工程大会颁发一次，旨在表彰博士毕业未满7年，通过数学和计算工具在解决工程问题方面做出突出贡献，处于职业生涯早期的研究者。

截至目前，该奖项已颁发四届，北京大学数学科学学院2003级院友林霖为该奖项首届得主，奖项设立以来获奖的两位华人数学家均为北京大学数学科学学院院友。