东大金课 |《线性代数》
导语
课程是人才培养的核心要素。多年来，东北大学始终把本科教育放在核心地位，全力推进“四金一新”建设，高度重视课程建设和课程管理，不断增容“金课”，打造特色一流本科教育课群阵地。在教育部公布的首批国家级一流本科课程中，学校共有39门课程获得认定。为进一步提升课程建设质量，推广分享一流本科课程建设经验，示范带动一流本科课程建设，特开辟东大金课专栏。今天让我们一同走进教育部首批国家级一流本科课程——《线性代数》。
● 一、课程目标 ●
通过线性代数的学习，使学生具有社会责任和担当、职业素养和社会主义核心价值观。在知识探究、素养训练，创新能力培养、社会主义价值观形成等方面达到如下目标：
目标1: 掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本计算方法等等知识结构。
目标2: 具有数学抽象、逻辑推理、数学思维和数学模型等基本的数学素养。
目标3: 具有宽阔的视野和创新能力，并具备利用线性代数及相关数学思想和方法分析和解决复杂问题的能力。
● 二、课程团队情况简介 ●
姓名 | 科目 | 职务 | 职称 |
宋叔尼 | 理学院 | 副处长 | 教授 |
陆小军 | 理学院 | 副主任 | 讲师 |
刘静宜 | 理学院 | 教师 | 讲师 |
阎家斌 | 理学院 | 教师 | 副教授 |
郭阳 | 理学院 | 教师 | 副教授 |
张雪 | 数学 | 副主任 | 副教授 |
●三、课程建设情况 ●
1.课程发展的历史沿革
线性代数是高等学校理工科各专业和经济管理类专业的一门重要基础课，它是学习其他课程的基础。
随着计算机的迅速发展，线性代数是自然科学，经济科学和工程技术领域中广泛应用的数学工具，许多实际问题可以直接或通过离散化、线性化等转化成为矩阵的问题或线性方程组的问题，因而，线性代数的理论和方法得到了广泛的应用。在学校及学生所在各学院的大力支持下，线性代数的课程建设稳步发展，大致可以分为如下阶段。
(1) 建设初始阶段
上世纪70年代到80年代初，理、工科及管理等专业陆续开设线性代数课程。教师由任高等数学课程的教师兼任。教材由任课教师自编发展到集体编写的内部发行讲义，任课教师自行组织考试。
上世纪80年代中到90年代初，数学系组建了分析与代数教研室，指导线性代数课程的教学工作，该课程的教学逐步由数学专业任课教师兼任。随着讲授线性代数课程逐步增多，教学经验不断丰富，按照国家教委制定的教学大纲，数学系组织编写了《线性代数》教材，东北大学出版社正式出版，1986年至1993年全校使用该教材。
(2) 规范建设阶段
1994年成立了以数学系副主任为组长的线性代数课程指导小组，指导和检查教学工作。开始形成了稳定的教师队伍。
“线性代数”课程采用同济大学主编的《线性代数》教材，统一规范化管理，施行考、教分离、统一考试、统一评卷，实行CAI辅助教学。
1996年，线性代数课程被评为东北大学优秀课，得到了学校的重点支持。
(3) 全面建设阶段
原有的工程数学教学体系已不能完全适应二十一世纪工程科学和技术对数学的要求，而线性代数课程内容是研究生入学考试高等数学中的一部分，面对时代的挑战，我们本着立足现实，面向未来的思路，在线性代数课程建设方面，体现以教学内容和课程体系为建设核心，拓宽和加强数学基础，提高学生的数学素养，提高学生应用数学解决实际问题的意识、兴趣和能力，改革教学方法和教学手段，努力培养学生的创新精神和创新能力。
2. 教学方法改革
随着信息技术的迅速发展，2008年以来，我们集中力量进行了线性代数课程信息化建设，自主构建了线性代数的“过程化”学习平台，包括预约系统、学习系统和测试系统，在系统中，除通常的选择填空题外，还有嵌入到系统中自动生成的填空题和解答题。学生可以进入学习系统自主练习，系统会自动批改并给出习题的解析，以利于学生了解自己对所学知识点的掌握情况。根据教学进度，任课教师可以按章节的知识点发布测试题，学生按教师设定的时间预约测试，并自动给出成绩。这样，教师能及时了解学生自主学习的情况，对教学安排及时做出调整并对学生的学习进行引导。
为了实现从“以教师为中心向以学生为中心”教学模式的转变，达到培养能力、传授知识的教育模式。2015年底我们开始了线性代数MOOC的建设，精心设计并配以丰富的教学资源、驻点问题、章节测验、作业以及课堂讨论。2016年9月，线性代数MOOC在“中国大学MOOC”平台上线，2017年12月首批被教育部认定的国家精品在线开放课程。辽宁省的多所高校通过东北大学线性代数MOOC课程的学习，取得跨校修读学分，在校内外取得了良好的反响。
东北大学线性代数课程的教学将线性代数MOOC，自主构建的线性代数的“过程化”学习平台，教师课堂教学以及期末能力测试构成有机整体，使学生学习方式由“个人学习”向“以个性化学习和团队学习相结合”模式的转变；由“单一的”课堂教学向“多种形式多种层次叠加” 的教学模式转变；同时，借助于线性代数MOOC课程平台，为青年教师的备课提供了一种可借鉴的模式, 并建立起了与学生互动，帮助学生梳理课上知识和反思学习内容。
随着学校提高对数学的重视程度，教师上课状况将得到根本改善，例如探讨更有效的教学手段应用于线性代数教学？利用线性代数国际化MOOC平台，扩展学生视野。在条件容许情况下，组织教师探讨线上线下的混合式教学等等。
3. 教学内容改革及教材建设
近30年来，我们一直注重教材建设。
1. 90年代初，在原有校内讲义基础上，在东北大学出版社出版了《线性代数》教材。
2. 2005年将空间解析几何融入线性代数课程之中，在高等教育出版社出版了《线性代数与空间解析几何》教材。2010年被评为辽宁省精品教材。
3. 为适应新形势的发展，通过改造原教材，2014年在高等教育出版社出版了《线性代数及其应用》教材，教材利用中学生熟悉的解二、三阶线性代数方程组引出二、三阶行列式，并通过比较，归纳引入高阶行列式，同时在每一章给出了与教材内容关联的应用，并将难点内容后移。2017年被评为东北大学百种优质教材。
4. 2018年进一步获东北大学百种优质教材建设立项，2020年出版了《线性代数及其应用》新形态教材，教材中教学内容由浅入深，n维向量运算、内积等概念放在向量组的内容中；Schimidt正交化方法作为向量组等价的例子，在用正交化方法化对称矩阵成对角矩阵时就无需再准备，这样可以把一般向量空间放到最后一章。作业的设置方面，自测题可使学生练习并判别自己做题的正确性。习题也融入数学应用的内容，并在考试时明确要求加入应用题。通过将问题适当简化，在原有每章的最后一节给出应用实例2-4个的基础上，增加了第八章：线性代数在现代信息技术中的应用。试图通过对实际应用的讨论，拓展学生的视野，培养学生解决实际问题的能力。
5. 预计2021年将出版《线性代数》数字化教材，教材在现有教材的基础上，将引入MOOC的部分思想，同时增加互动环节，同时也可以通过班级进行管理。另外，根据需要，在适当时机将现有的教材继续修订完善，进一步充实数字化教学资源。
● 四、课程特色与创新 ●
1. 课程体系与内容建设
(1)改造课程体系和内容，例如：用归纳的思想给出高阶行列式定义，把Schimidt正交化方法作为向量组等价的例子，这样在用正交化方法化对称矩阵成对角矩阵时无需准备。
(2) 通过将问题适当简化，每章给出2-4个应用实例,在线性代数中融入数学建模的内容。(3)课程资源建设：在毕博网上为学生提供了电子教案、并结合MATLAB等编程工具解决部分实际问题。
2. 自主开发了网络在线学习和测试系统
系统以选择题，填空题和计算题为基本题型，其中选择题用题库的方式，填空题和计算题则采用系统自动生成。学生可以随时登录系统，进行自主学习，学习相应内容后可进行测试，提交时系统直接给出分数，并给出参考答案和试题解析，提交的测试卷保存在服务器中备查。教师可通过日志了解学生学习过程情况，调阅学生的测试卷，以及时准确地了解学生的学习状态。
3. 依托MOOC平台构建线上线下混合教学模式
学生可以利用MOOC平台进行有效预习、方便复习，同时可以向老师及时提问，老师可以随时了解学生基本知识的掌握情况。通过MOOC平台的建设，不断更新教师的教学观念和教学方法。
学课程团队围绕课堂教学，利用团队自己开发的自主学习系统以及构建的MOOC在线学习平台，对课程进行了全面的改革：(1) 教师在MOOC上每单元布置2-4道理论性推理题和计算题，学生提交该作业上传到MOOC，并完成批改同学的作业，相互学习。(2) 完成一个单元的学习后，学生可以利用自主学习系统检测自己掌握知识程度，并通过测试系统完成单元知识的测试。(3) 根据教师掌握学生单元测试的情况，有针对性的与学生交流，对学习困难的学生找出原因，并鼓励学习好的学生进行课下思维训练。(4) 课程结业前，组织学生进行水平综合测试，有针对性地提高学生对基本概念的理解与综合计算能力，这部分仍然由测试系统完成。(5) 组织学生参加能力综合测试，包括具有考研难度的证明题，计算题和小型模型应用题。
这种利用互联网的现代化教育技术改革经典的教学方式是检查教师教学和强化学生过程学习的有效方法，在不降低考试难度的情况下，这种方法有效地提高了学生学习成绩，同时由于把数学课程教学与数学建模的有机结合，提高了学生的数学建模能力，取得了很好的效果。
● 五、学生评价 ●
1.学生学习评价构成
(1)线上自主学习作业，约占总成绩的10%
学生在线上实现自主预习、复习，如果遇到课上没弄清楚的问题，可以在线上反复观看视频，在讨论区讨论交流，并根据课程进度，学生提交作业，参加互相评阅，题目以计算、证明、应用类综合题型为主，以此提高学生的自主学习、自我管理的能力，提高学生分析问题、解决问题的能力。
(2)课堂提问、交流、讨论等，约占总成绩10％
日常的考核包括一是老师考核学生的课堂表现；二是老师提出一些思考性问题，以考核学生的个性和能力和教师与学生的沟通与交流。
(3)在线单元测验（机考），约占总成绩的15%
根据教学进度，系统对单元内容开放一定时间，学生上网学习并完成该单元的选择、填空、计算等的测试，系统给出学生成绩，并且给出解答过程，保存备查。教师能通过网络动态地了解学生自主学习情况，对教学安排及时做出调整，对学生的自主学习进行引导。
(4)水平综合测试（机考），约占总成绩15％
时间大约1.5个小时，督促学生掌握线性代数的基本知识和基本计算，测试的内容侧重于必须掌握和领会的一些基本概念和计算方法等。由计算机自动记录学生考试成绩。
(5)能力测试（笔考），约占总成绩50％
侧重考核学生创新和应用能力。使学生可以充分地展示自己的聪明才智与创造个性；考试的内容尽量具有挑战性、竞争性，能充分激发学生的创新意识，能激励学生不遗余力地去探讨、钻研。
2.课程评价相关说明
(1)过程学习
如果在一年级的教学过程中能够做一些强制性的引导，培养学生的控制能力，使学生养成良好的学习自觉性，同时，在大班上课的环境下，老师能够真正了解学生的学习状况，形成有针对性的指导。为此，我们设想利用现代化网络环境，借助于信息化手段，探讨学生过程化自主学习的模式，即提供网络环境，学生进行单元自主学习，当学生自己觉得达到较高水平后，可进行单元测试，以检验学生学习的效果。这在“某个层面上”能够很好实现督促学生自主学习的目的。可以公平而真实地反映学生的知识掌握情况，同时老师可根据学生的单元学习与测试情况，有针对性的与学生交流。这样，虽然教师上课班级较大，但教师能够了解学生的真实学习状况，特别是对学习很不好的部分同学可以有针对性指导。
(2)水平综合测试
当课程教学内容完成一大部分或基本完成后，组织学生集中在机房进行水平综合测试（含基本概念和基本计算题，包括选择题、填空题等）。确保学生掌握课程的基本内容。
经过上述平时单元测试和水平综合测试后，对于比较努力的学生，已经基本及格，他将没有负担地迎接课程的能力测试。
(3)课程能力测试
从某种意义上讲，这是传统的纸质考试，但该套试题中包含较多具有一定难度的试题，大多具有考研的难度以及与实际应用关联的小型模型题，希望通过这种综合能力测试，达到提高学生的考研能力和学生对知识的应用能力。这种考试能够区分出学生的能力。
在学生状况基本未发生变化的情况下，这种考核模式还会延续多年，即将继续采用慕课、网络考试系统、期末闭卷笔试的方式进行考核评价，并且随着教学手段的不断进步，会紧跟时代的步伐，不断丰富考核评价的方法。
素材提供 |线性代数课程团队
设计课程团队
编辑 | 施丽铭
美编 | 施丽铭
运维 | 汤春仁
责编 | 姚艾君
主审 | 刘维